Statistique

1. Loi additives
2. Loi multiplicative

• aditions des probabilité

Elle permet de calculer la probabilité d’occurrence conjointe de deux ou plusieurs événements indépendants. le produit de leur probabilité individuelle

• Qu’une personne ait deux caractéristique en même temps
• Notation : P(A) ∩ P(E)
• ∩ = intersection ou « et » = indique la cooccurrence de 2 conditions

• Elles mettent en évidence toutes les valeurs possibles d’une variable aléatoire et les probabilités associées à ces valeurs
•  Du moment que le chercheur connaît ces valeurs et leurs probabilités associées, il peut prendre une décision

1. Distribution de probabilité pour des variables discrètes (catégorielle)
   1. Distribution binomiale :
2. Distribution de probabilité pour des variables continues
   1. Distribution normale

• Varie toujours de 0 à 1.
• L’ensemble des possibles = 1 (pour tous les X)
• Parfois plus pratique de travailler avec une distribution de probabilité cumulée

La distribution : Il existe un très grand nombre de variables qui peuvent être décrites à

partir de certaines caractéristiques théoriques:

• Ensemble des événements possibles est composé de 2 événements mutuellement exclusifs (vivant- mort / malade-sain…)

1. La permutation
2. La combinaison

• La permutation : Une permutation est une disposition ordonnée de tous les objets. L’objectif est de dénombrer toutes les situations où on dispose de la totalité des éléments dans un certain ordre.

Ex ; combien de mots de 5 lettres avec ABCDE. Si je veux 3 lettres (r=3)

• une combinaison est une disposition non ordonnée des p éléments distincts choisis parmi n éléments
•  la combinaison est caractérisée uniquement par le choix des objets
• la combinaison n’est pas caractérisée par l’ordre car événement identique (AB ou BA = la même chose)

une suite de variables aléatoires indépendantes qui suit ces conditions: 

• Chaque essai se solde par 2 événements mutuellement exclusifs. On peut les nommer arbitrairement «succès» ou «échec»
• La probabilité de succès est notée p reste constante pendant les essais. La probabilité d’un échec, 1-p, et noté q
• Les essais sont indépendants. La survenue d’un événement particulier pendant un essai n’influence pas le résultat d’un autre.

C nx X px q(n-x)

• Dans le cas d’une variable continue, on ne peut plus compter le nombre d’observations exactement égales à x (pas des catégorie)
• Par contre on peut considérer un intervalle
• La population devient infinie et la largeur des intervalles devient proche de 0
• Dans le cas d’une courbe, on n’a pas de boîtes. On a recourt à des calculs d’intégrales pour calculer l’aire entre 2 intervalles
• --> Distribution normale 

• Symétrie autour de la moyenne μ
•  La moyenne, la médiane et le mode sont donc équivalents
•  La distribution normale est une distribution de probabilités. L’aire totale sous la courbe vaut 1.
•  De par sa symétrie, 50% de la courbe se trouve de chaque côté de la moyenne μ
•  μ ± 1 écart-type è ~ 68% de l’aire sous la courbe
•  μ ± 2 écart-type è ~ 95% de l’aire sous la courbe
• μ ± 3 écart-type è ~ 99.7% de l’aire sous la courbe

• Pour définir une distribution normale on a besoin de la moyenne et de l’écart-type.
• Notée N(μ,σ)

!!! IMPOSSIBLE ! DU coup on va utiliser une distribution normale centrée et réduite à une standardisation de valeur z (Moyenne =0 et écart type =1)

Distribution de toutes les valeurs possibles que peut prendre une statistique, issues à partir d’échantillons de même taille et sélectionnés aléatoirement à partir de la même population. (Peut-être une différence de moyenne ou de probabilité mais peut être aussi de corrélation, écart-type etc..)

Toujours établi sur le fait qu’il n’y a PAS de différence de moyenne ou d’écart type etc…

1. À partir d’une population finie N, tirer aléatoirement tous les échantillons possibles de taille n.
2. Calculer la statistique d’intérêt pour chaque échantillon (Ex : différence de…)
3. Dénombrer chaque valeur possible et leur fréquence d’occurrence

• De là on va définir une probabilité de d’occurrence.

1. Moyenne (ou se trouve la distribution 1 ou 0)
2. Ecart-type (distribution autour de cette moyenne, grande ou petite)
3. Forme fonctionnelle (forme de l’histogramme)

Avec ces trois informations, on peut reconstruire une distribution d’échantillonnage au moyen des mathématiques. Et pour les construire, on se base sur deux théorèmes

1. La loi faible des grands nombres
2. Théorie central limite

1. la probabilité que la moyenne de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées s’éloigne de celle de la population, diminue quand on augmente la taille de l’échantillon. (Ex : lancer de pièce)
   1. Très important, car cela justifie le fait que l’on utilise la moyenne de l’échantillon pour estimer celle de la population. Important que l’échantillon soit grand pour converger vers une moyenne.

1. : La distribution d’échantillonnage (va faire des échantillon et des échantillons et des échantillons) de la moyenne, construite à partir d’échantillons de taille n issus d’une population dont la forme de la distribution est non normale avec une moyenne μ et une variance σ2, sera approximativement normalement distribuée avec une moyenne μ et une variance σ2/n quand la taille de l’échantillon est grande

La distribution approche une loi normale avec une moyenne de 0 et un écart-type de 1 quand n --> ∞ avec de grands échantillons.

1. Quand l’échantillon provient d’une population normalement distribuée

2. Quand l’échantillon provient d’une population non-normale et que l’échantillon est grand

3. Quand l’échantillon provient d’une population dont la forme fonctionnelle est inconnue et que l’échantillon est grand

• variables continues : n>=30, si sk+/- 1.5
• variables discrète dichotomique: nπ ≥ 5 et n(1- π) ≥5 (π= probabilité)

• La distribution de la moyenne est normalement distribuée
• La moyenne de la distribution (d’échantillonnage) est égale à la moyenne de la population à partir de laquelle sont issus les échantillons.
•  La variance de la distribution (d’échantillonnage) est égale à la variance de la population à partir de laquelle sont issus les échantillons.

A retenir : C’est que la moyenne de l’échantillon va se rapprocher de la moyenne de la population et de la moyenne de distribution d’échantillonnage. Ce n’est pas biaisé. Mais l’écart type on peut  l’amener tel quel mais on va devoir faire une correction (n-1 ou autre). On aura donc une dispersion différente entre les 3.

• Proportion d’une population : Pi
• Proportion de l’échantillon : P chapeau

Moyenne de la distribution (muPchapeau) sera égale à la proportion de la population

Démarche qui va nous permettre de prendre une décision :

• Hypothèse de recherche : notre question, notre interrogation qui va motiver une recherche
• Hypothèse statistique : Il faut faire un transfert entre l’hypothèse de recherche à celle de statistique. Hypothèses qui sont posées de telle manière qu’elles peuvent être évaluées par des techniques statistiques appropriées. Elle sera traduite via des variables et des calculs pour être testée. Les tests vont dépendre de l’opérationnalisation de nos variables.

But du test d’hypothèse : Aider le clinicien ou le chercheur à obtenir une conclusion quant à la population en examinant un échantillon issu de cette population (sinon trop cher !). Il s’agit d’une démarche qui consiste à rejeter ou non une hypothèse nulle à partir de données issues d’un échantillon sur la base de la probabilité de se tromper.

À partir de cet échantillon et des résultats obtenus, on tire des conclusions sur la population

1. Identification de la nature des données

2. Vérification des conditions d’application

3. Explicitation des hypothèses nulle et alternative

4. Choix du test statistique

5. Détermination de la distribution du test statistique

6. Détermination du seuil de significativité

7. Calcul du test statistique

8. Identification de la p-valeur et décision

 9. Conclusion

La nature des variables à tester doit être correctement identifiée!!! Continue, catégoriel nominal ou ordinal ?

 Il existe bcp de tests ! Chacun a ses conditions d’applications. (Exemple : différence moyenne, test z ou t test avec ces trois conditions)

il y a toujours 2 hypothèses à expliciter, elles sont complémentaires.

H0 à hypothèse nulle: hypothèse à tester

H1 à hypothèse alternative (si H0 on l’a rejeté) ou HA.

•  Décrite comme l’hypothèse que l’on souhaite rejeter
•  Décrite comme l’hypothèse où il n’y a pas de différence, pas d’association…
• C’est celle qu’on va rejeter ou pas rejeter

• Décrite comme celle qu’on aimerait prouver et qui correspond à notre hypothèse de recherche
• Il y a une différence

• si H0 n’est pas rejetée à donnée pas assez probante pour rejeter H0 (pas de différence)

  Si H0 est rejetée (belle différence entre H et F par ex) à on conclura que les données ne sont pas compatibles avec l’hypothèse nulle, alors on accepte H1.

H0 doit toujours contenir une indication d’égalité (=, ≥, ≤)