Simulation 1 (Kapitel 1 & 2)

Die Struktur von diskreten Zufallsvariablen kann mit Hilfe der kumulativen Verteilungsfunktion und der Wahrscheinlichkeitsmassefunktion beschrieben werden. Die Struktur von kontinuierlichen Zufallsvariablen wird mit Hilfe der kumulativen Verteilungsfunktion und der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion beschrieben.

Zentrale Mittel zur Beschreibung einer Zufallsvariablen sind die Varianz, Schiefe, Wölbung und Verteilung.

Die Verteilungsfunktion gibt an, wie sich die Werte einer Zufallsvariablen verteilen. Die Verteilungsfunktion wird zum Erzeugen von Zufallswerten in SLX verwendet. Verteilungsfunktionen sind kumulativ und beschreiben den Zusammenhang zwischen einer Variablen und deren Verteilungen.

1. Gleichverteilung
2. Exponentialverteilung
3. Normalverteilung
4. Dreiecksverteilung
5. Logarithmische Verteilung

Pseudozufallsvariablen sind keine "echten" Zufallsvariablen, sondern sind durch einen deterministischen Algorithmus erzeugte Zufallswerte. Die Simulation ist somit wiederholbar.

Über einen (Zufallszahlen-)Generator werden gleichverteilte Zahlen im Intervall (0,1) erzeugt. Dieser Zufallszahlenstrom ist Input für eine Zufallsvariable (Random Variable) einer bestimmten Verteilung.

Die Eingabedatenanalyse erfolgt in 4 Schritten:

1. Sammeln von Daten
   Das Sammeln von Daten über das Untersuchungsobjekt wird meist an Hilfskräfte abgageben (z.B. mit Stoppuhr am Bankschalter). Schwierikeiten sind unter anderem das Systemverständnis und das Erkennen von Abhängigkeiten und Autokorrelationen.
2. Schätzen des Verteilungstyps:
   Finden einer geeigneten Verteilungsfunktion durch aufstellen von Vermutungen und anschließender Überprüfung auf Korrektheit.
   - Zeichnen eines Histogramms der Daten
   - Generierung eines Quantile-Quantile-Plots
3. Parameterschätzung:
   Nutzung von Mittelwerten und Varianz zur Bestimmung der korrekten Parameter.
4. Qualitätsüberprüfung:
   Test zur Überprüfung der Übereinstimmung der Daten mit der angenommenen Verteilung (z.B. Kolmogorov-Smirnov-Test und Chi-Quadrat-Test). Bei sehr kleinen Weten nehmen die Tests fast alle Verteilungen an; bei sehr großen Werten lehnen die Tests fast alle Verteilungen ab.

Typische Ergebnisgrößen sind:

• maximale / durchschnittliche Warteschlangenlänge
• maximale / minimale Bedienzeit
• Anzahl der Kunden im System
• Wartezeit
• Anzahl bearbeiteter Kunden
• Mittelwert, Streuung etc.

Zur Bestimmung der Ergebnisgrößen werden diese in drei Gruppen eingeteilt:

1. Beobachtungsdaten:
   Die Werte verändern sich nur zu diskreten Zeitpunkten, Beobachtungen sind also unabhängig von der Simulationszeit.
2. Zeitgewichtete Daten:
   Der Wert verändert sich kontinuierlich mit der Simulationszeit.
3. Nutzerspezifische Daten

Die Ursache liegt in den stochastischen Eigenschaften der Ereignisgrößen. Bei einem einmaligen Durchlauf werden keine Veränderungen und Verteilungen in dem Maße berücksichtigt, wie bei mehreren Durchläufen. Somit können keine aussagekräftigen Mittelwerte gebildert werden.

Unter einer Replikation versteht man die Durchführung der Simulation mit verschiedenen Startwerten für die Zufallsgeneratoren. Dadurch werden anders angeordnete Werte erzeugt. Die Bildung von Mittelwerten über die Ergebnisse der einzelnen Testläufe liefern aussagekräftigere Ergebnisse.

Terminierende Simulationen:

Bei dieser Klasse läuft die Simulation für eine bestimmte Zeit T und endet mit einem spezifischen Enderignis E. Das simulierte System startet zum Zeitpunkt 0 unter vordefinierten Initialbedingungen und endet zum Zeitpunkt T.

Ziel der Simulation ist das Schätzen des Mittelswertes. Daher werden zur genauereren Bestimmung des Mittelswertes mehrere unabhängige Simulationsdurchläufe (Replikationen) durchgeführt.

Nicht-terminierende Simulationen:

In dieser Klasse bildet die Simulation ein System ab, das ständig weiterläuft (oder zumindest über sehr lange Zeit). Die Simulation startet zum Zeitpunkt 0 unter definierten Initialbedingungen und endet zu einem vom Simulationsexperten spezifizierten Zeitpunkt T.

Ziel der Simulation ist das Studieren des Verhaltens des stationären bzw. engeschwungenen Systems. Die Ergebnisse sollen nicht durch Initialbedingungen beeinflusst werden.

Die Grenzwertanalyse wird mit Hilfe des Limes durchgeführt. Anfangswerte dürfen nicht beachtet werden. Die Erhöhung der Anzahl der Durchläufe verringert zwar das Konfidenzintervall, beseitigt aber nie die Abweichung durch Initialisierungswerte. Der Grund hierfür ist die Streichung von Daten aus der transienten Phase, d.h. das Löschen von Werten aus der Initialisierungsphase. Die Probleme werden mit Hilfe der sog. Batch-Means-Methode umgangen.

Simulationsprojekte können in drei Phasen eingeteilt werden:

1. Vorbereitung:

• Aufgabe und Ziel formulieren
• Aufwand abschätzen
• Daten ermitteln, aufbereiten und abstimmen
• Analytische Grobschätzung
• Simulationsmodell erstellen und verifizieren

2. Durchführung:

• Simulationsexperimente planen
• Simulationsexperimente durchführen
• Simulationsexperimente validieren

3. Auswertung:

• Ergebnisaufbereitung
• Ergebnisinterpretation
• Dokumentation

Vergleichskriterien:

• Leistungsgrößen der Systeme
• Mittelwerte θ (i=1,2) der Leistungsgröße θ für das System 1 und 2
• Voraussetzung: Punktschätzung für θ aus den einzelnen Simulationsläufen sind „gute“ Schätzungen

Ziel der Untersuchungen mittels Simulation :

Punktschätzung sowie das entsprechende Konfidenzintervall für die Differenz θ1 - θ2

1. Festlegungen treffen (Laufzeit, Anzahl Läufe
2. Modellierung beider Systeme
3. Formale Beschreibung der Ergebnisse -> Siehe Auswertungen in SLX
4. 4. Entscheidung über die Vorzugsvariante: Variante mit geringerer Verweilzeit der Autos -> Berechnung der Punktschätzung für die Differenz q

Berechnung des Konfidenzintervalls für diese Differenz

Beantwortung der folgenden Fragen:

1. Wie groß ist der Mittelwert für diese Differenz und wie genau ist die Schätzung für diesen Mittelwert?

- Punktschätzung und Konfidenzintervall

2. Gibt es einen signifikanten Unterschied zwischen den beiden Systemen?

- Mögliche „Lagen“ des Konfidenzintervalls

Vorteile:

• Wenig Programmierkenntnisse erforderliche
• Schnelle Erstellung des Simulationsmodells möglich
• Datengetriebene Modellierung
• Parametrisierbare Eigenschaften
• Grafische Komponenten (GUI)
• Animationen leichter zu erstellen

Nachteile:

• Einschränkungen durch vordefinierte Bausteine
• Programmierung notwendig, wenn Bausteine nicht ausreichend Funktionalität haben
• Lösungen häufig zu speziell
• Abhängigkeit, da Erstellung des Frameworks durch Experten notwendig
• Komplexe Einarbeitung

Verifikation ist die Überprüfung, ob ein Modell von einer Beschreibungsart in eine andere Beschreibungsart korrekt transformiert wurde

• Überprüfung der korrekten Überführung des des Konzeptes in das Simulationsprogramm
• Ist das Modell richtig? / „Are we creating the model
• Untersuchung, ob das Simulationsprogramm so arbeitet, wie es im konzeptionellen Modell beabsichtigt war.

Validierung ist die kontinuierliche Überprüfung, ob die Modelle das Verhalten des abgebildeten Systems hinreichend genau wiedergeben.

• Repräsentiert das erstellte Modell das reale System akkurat?
• Ist es das richtige Modell? / „Are we creating the right model?“
• Modellierer muss diese Frage nach der „Gültigkeit“ seines Modells beantworten

Vorgehensweise im Detail:

• Erstelle ein Simulationsmodell
• Das Modell wird mit historischen Eingabedaten gespeist (d.h. wirklich aufgetretene Ankunftszeiten, keine angenäherten Verteilungsfunktionen)
  • Teile hierzu Daten in mehrere, statistisch unabhängige Teile
  • „Justage“: Nutzung des ersten Teils der Daten zur Feinabstimmung des Modells (Speise diese Daten als Eingangsdaten, vergleiche Ausgangsdaten, ggf. Anpassung von Parametern oder Strategien)
  • Validiere Modell mit anderen Teilen der aufgezeichneten Daten als Eingabedaten
  • Falls Test negativ, Modellmodifikation (Achtung: Dieser Teil der Daten wird dann auch zu „Justagedaten“ und ist nicht mehr für Validierungszwecke verwendbar)
  • Falls Test mit anderen Teilen positiv: Validität bestätigt
• Modifizierung des Modells, damit es den Daten entspricht -> mehr Vertrauen
• Wenig Bereitschaft, ein vorhandenes System zu analysieren
  • „Verschwendung von Zeit und Geld“
  • Gegenargumentation:
    • Ein nicht validiertes Modell produziert Ergebnisse, die nicht zuverlässig sind.
• Gefahr der Methodik: Nutzung gleicher Datenquelle für Justierung und Prüfung des Modells birgt Gefahr der Nichterkennung systematischer Fehler

Bei dem Festwerttest wird das Modell mit konstanten Werten (z.B. nur ein Produkt aus dem Produktionsprogram, Bearbeitungszeit ohne Schwankungen) getestet. Dabei werden zunächst Hypothesen definiert, wie sich das deterministische Modell verhalten wird. Anschlließend erfolgt die Überprüfung dieser Hypothesen.

Beispiel manuelle Montagelinie:

Werden die Verteilungszeiten für Bearbeitungszeiten durch feste Werte ersetzt, so bestimmt die Station mit der höchsten Bearbeitungszeit den Durchsatz der Linie. Der Durchsatz der Montagelinie kann so leicht ohne Simulation berechnet werden.

Bei diesem Verfahren wird das Modell anhand von Extremwerten für Eingabedaten und Parameter überprüft. Das Ziel ist die bessere Vorhersagbarkeit des Verhaltens.

Beispiel:

Ermittlung von Bearbeitungszeiten in der Theorie, sprich durch Berechnungen und anschließende Simulation mit Extremwerten für die Eingabedaten.

Die Sensitivitätsanalyse misst die Abhängigkeit von Ergebnisgrößen von Eingabeparametern.

• Geg.:
  • Ausgabegröße O
  • Eingabeparameter I
• Sensitivität S = dO / dI
• Beispiel: Einfache Warteschlange mit fester Ankunftsrate
• I: Bedienrate
• O: Durchschnittliche Warteschlangenlänge

Anwendung z.B. durch Befragung des Managements, ob sich bei Veränderungen von Eingabedaten das Modell so verhält, wie es im System erwartet wird

• Erhöhung der Ankunftsrate auf die Auslastung von Servern
• Management besitzt Vorstellungen über die Richtung der Veränderungen von Parametern

Sensitivitätstest bei large-scale Models 

• Viele mögliche Eingabeparameter und somit viele Möglichkeiten
• Versuche die kritischen Parameter zu identifizieren

Ein Modell ist eine vereinfachende Nachbildung wesentlicher Strukturen und Funktionen komplizierter und komplexer Gebilde der Wirklichkeit, um eine bestimmte Aufgabe zu lösen, deren Bewältigung am Original unmöglich oder unzweckmäßig ist.

• Abbildung:
  Ein Modell ist immer ein (repräsentatives) Abbild eines Systems.
• Abstraktion:
  Ein Modell erfasst nicht alle Eigenschaften des Originals, sondern nur solche, die dem Modellerschaffer bzw. dem Modellnutzer als zweckmäßig erschenen.
• Modellzweck:
  Ein Modell wird vom Modellerschaffer bzw. Modellnutzer innerhalb einer bestimmten Zeitspanne und zu einem bestimmten Zweck eingesetzt.

Ein (reales) System ist die allgemeine Bezeichnung für das Untersuchungsobjekt zu dem man ein Modell baut und nutzt.

Ein dynamisches System ist ein dynamisches System, das sich im Lauf der Zeit ändert. Es wird häufig auch als Prozess bezeichnet. Als Prozess wird aber auch die Folge der Veränderungen bezeichnet, welche sich in einem System ereignen.

Modelle können grundsätzlich in 6 Klassen eingeteilt werden:

1. Geometrische Modelle:
   Geometrische Modelle sind dadurch gekennzeichnet, dass sie geometrische Ähnlichkeiten zum Original aufweisen.
2. Physikalische Modelle:
   Phsysikalische Modelle nutzen pyhsikalische Effekte, die auch im Original auftreten.
3. Biologische Modelle:
   Ein biologisches Modell ist ein Modell, welches mit dem Original biologisch verwandt oder ähnlich ist.
4. Stoffliche Modelle:
   Stoffliche Modelle sind Modelle, in dem Stoffe benutzt werden, die auch im Original vorkommen.
5. Strukturelle Modelle:
   Strukturelle Modelle weisen strukturelle Ähnlichkeiten zum Original auf, d.h. es gibt gleich benannte Komponenten und gleiche Relationen zwischen ihnen.
6. Funktionelle Modelle:
   Ein Modell wird als funktionelles Modell klassifiziert, wenn seine Funktion, d.h. sein Input-Output-Verhalten, dem Original ähnlich ist.
    

Es gibt im Wesentlichen 7 Klassen von Modellen:

1. Stochastische Modelle:
   Wenn im Modell (und im Original) zufällige Einflüsse und Komponenten auftreten und z.B. Zufallsgeneratoren benutzt werden, um die im Original vorkommenden Zufallseinflüsse nachzubilden.
2. Deterministische Modelle:
   Sind Modelle, in denen es keine zufallsabhängigen Einflüsse gibt.
3. Statische Modelle:
   In einem statischen Modell treten keine zeitabhängigen Änderungen auf.
4. Dynamische Modelle:
   Dynamische Modelle unterliegen zeitabhängigen Veränderungen.
5. Kontinuierliche bzw. stetige Modelle:
   Ein Modell wird als kontinuierliches Modell bezeichnet, wenn alle in ihm auftretenden Größen stetige Funktionen der Zeit sind und keine sprunghaften Wert- oder Zustandsänderungen auftreten.
6. Diskrete Modelle:
   Diskrete Modelle sind Modelle, in denen sprunghafte Wert- oder Zustandsänderungen auftreten (bezieht sich auf den Zeitpunkt der Änderungen).
7. Kombinierte Modelle:
   Ein Modell wird als kombiniertes Modell bezeichnet, wenn es darin sprunghafte Wert- oder Zustandsänderungen und darüber hinaus nichtlineare, durch Differentialgleichungen abbildbare zeitabhängige Prozesse gibt.
    

• Nach Art der Abbildung
• Nach Art der Zustandsübergänge

Ein mathematisches Modell eines Systems oder eines im System ablaufenden Prozesses ist die Gesamtheit formaler Beziehungen, die den Zusammenhang der Zustandsvariablen mit anderen Systemparametern, den Anfangsbedingungen und Eingangsgrößen des Systems oder des Prozesses beschreiben.

Das mathematische Modell eines Systems heißt analytisches Modell, wenn es die Zusammenhänge zwischen den Zustandsvariablen, Parametern, Anfangsbedingungen und Eingangsinformationen des Systems in Form analytischer, d.h. funktionaler Ausdrücke (= in Form von Gleichungen) beschreibt.

Das mathematische Modell eines Systems oder eines Prozesses heißt algorithmisches Modell, wenn es den originalen Prozessverlauf im System in Form struktur- und zeitgerechter Wertveränderung der einzelnen Zustandsvariablen mittels elementarer Operationen und Bedingungen in algorithmischer Verknüpfung widerspiegelt.

Es sind 8 Schritte nötig, um eine saubere und korrekte Modellierung des Originals zu erhalten:

1. Bestimmung der Aufgabenstellung für die Modellnutzung
2. Schaffung oder Auswahl eines Modells für ein Originalsystem
3. Prüfung und Sicherung der Übereinstimmung des Modells mit der Aufgabenstellung (=> Verifikation)
4. Beobachtung des Originalsystems mit dem Ziel der Gewinnung von Beobachtungswerten, die in das Modell als Eingangsdaten order Parameterwerte einzubeziehen sind
5. Die Überprüfung der Übereinstimmung von Modell und Original bezüglich der gestellten Aufgabe (=> Validierung)
6. Untersuchungen, Berechnungen und Experimente am Modell mit dem Ziel des Erkenntnisgewinns
7. Übertragung der Erkenntnisse auf das Original
8. Überprüfung der Gültigkeit der modellbezogenen Erkenntnisse für das Original

Die Simulation ist die Nachbildung eines Systems mit seinen dynamischen Prozesses in einem experimentierfähigen Modell, um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit übertragbar sind.

Simulationsmodelle sind dynamische Modelle, die in der Regel durch Computerprogramme realisiert sind. Während eines Simulationslaufs werden Zustandsänderungen in einer zeitlichen Reihenfolge nachgebildet, die dem Zeit- und Prozessablauf des Originals entspricht.

Merkmale oder Eigenschaften des Originals werden im Modell durch Modellparameter oder Modellvariablen dargestellt.

Im Original ablaufende Prozesse werden durch Algorithmen repräsentiert.

Kontinuierliche Simulation:

Bei der kontinuierlichen Simulation werden stetige Prozesse abgebildet. Dabei werden Differentialgleichungen zur Darstellung der Gesetzmäßigkeiten, die dem Prozess zugrunde liegen, genutzt.

Diskrete Simulation:

Bei der diskreten Simulation werden nach statistisch oder zufällig bemessenen Zeitintervallen bestimmte Ereignisse ausgelöst, die den nächsten Systemzustand bestimmen.

Simulationsmodelle beschreiben ein reales System durch Werte von Zustandsvariablen. Die möglichen Realisierung der Zustandsvariablen bilden einen n-dimensionalen Zustandsraum.

Zustandsvariablen sind dynamische Merkmale, die das Wesen und den inneren Zustand eines Systems beschreiben. Die Werte einer Zustandsvariablen zu einem Zeitpunkt t heißen Zustandswerte. Der Systemzustand wird durch die Realisierung aller Zustandswerte zum Zeitpunkt t beschrieben.

Die Bedienungstheorie ist die "Mathematik der Warteschlangen" (engl. queueing theory). Ein Bedienungssystem besteht immer aus ein oder mehren Bedienungskanälen (Servern), die von den eintreffenden Forderungen (z.B. Kunden) in Anspruch genommen.

In der Regel zufällige Ankunfts- und Bedienzeiten resultieren in zufälligen Wartezeiten für die Kunden und zufällige Stillstandzeiten für die Server.

=> Bedienungstheorie liefert die theoretische Basis für sehr viele Problemstellungen, die mit der diskreten Simulation gelöst werden.

• Kunden im Supermarkt
• Kunden in einer Bank
• Check-In am Flughafen
• Telefongespräche in einer Leitung
• Computerjobs auf einem Server
• Reparaturaufträge in einer Werkstatt
• ...

Ein Problem der Bedienungstheorie wird durch folgende Merkmale beschrieben:

• Kunden- bzw. Forderungsstrom
  • Zwischenankunftszeiten
  • (Un-)geduldige Kunden
  • Kundentypen
  • Einzelkunden oder Blöcke
• Bedienungsanlage
  • Systemkapazität
  • Anzahl der Server
  • Anordnung der Server
  • Wartedisziplin (FCFS, LCFS, RSS oder Prioritäten?)
  • Einzel- oder Parallelservice
  • Bedienungszeiten der Server