Quanti Methoden

Setzt man für die erwartete Häufigkeit bei Vorliegen von Unabhängigkeit:  

Erwartete Werte= n^*_jk = (n_j. * n_.k) / n  = n_0rs =  (nr_. * n_.s) / n = Summe der Zeile * Summer der Spalte / N 

Residuen = (n^*_jk - n_jk) = ( n_{rs -} n_{ors) - (Tatsächlicher Wert - erwarteter Wert)}

Alles wichtig Prüfgröße für Unabhängigkeitstest - X² 

χ² = Summe aller (quardierter Residuen / erwarteter Wert=n_0rs) 

Die Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden beschreibt die Verteilung der Summe n stochastisch unabhängiger quadrierter standardnormalverteilter Zufallsvariablen

- wird aus Tabelle Abgelesen!

Vorgehensweise - Generell bei Tests 
1.Erstellen/ Ablesen einer Nullhypothese H0 und ihrer Alternativhypothese H1
2.Bestimmung des kritischen Bereiches zu SIgnifikanzniveau α,
3.Berechnung der Testgröße oder Teststatistik T aus der Stichprobe
4.Treffen der Testentscheidung

2. Bestimmung des kritischen Bereiches:

Ablesen aus Tabelle:  Freiheitsgrade bei Chi² : df = (r-1) * (c-1) r = Anzahl Reihen, C = Anzahl Spalten

Für 2x2 Tabelle u. p=0,95 - C-Wert für X² = 3,48. 

3. Berechnung der Testgröße: siehe Bild - t_obs

4.) Treffen der Testentscheidung
a) .Liegt t_obs nicht in K (kritischen Bereich), so wird H0 beibehalten.
1.2.Liegt t_obs in K, so lehnt man H0 zugunsten von H1 ab.

- Kritischer Bereich K ( recht von C-Wert also muss t > C sein 

• Normalverteilung der Grundgesamtheit
Annahme: wenn unsere Stichprobe & auch die GG annähernd normalverteilt sind
• Varianzhomogenität
Varianzen in den einzelnen Gruppen sollten gleich sein. (überprüfen mit Levene‘s Test)
• ANOVA ist relativ robust gegenüber diesen Annahmen
Bei leichter Abweichung von Normalverteilung & Varianzhomogenität ist AVOVA trotzdem durchführbar. Wenn mehrere Annahmen grob verletzt sind → nicht parametrisches Verfahren verwenden

- Vergleich von Mittelwerten von mehr als 2 Gruppen (UV= nominal, AV = Metrisch) 

• yij, 1≤i≤k, 1≤j≤ni
• Hierbei ist yij der j-te Beobachtungswert in der i-ten Gruppe.
• Insgesamt gibt es ni Beobachtungswerte in der i-ten Gruppe, und k verschiedene Gruppen.
• n = n1 + . . . + nk = Gesamtzahl der Beobachtungswerte.
k = Anzahl der Gruppen, i = Nummer der Gruppe, j = Beobachete

H0: zwischen den Erwartungswerten der Gruppen kein Unterschied besteht. (Mittelwerte sind gleich)
H1: zwischen mindestens zwei Erwartungswerten (Mittelwerte) der Gruppen ein Unterschied besteht. 

yji = Einzelwert 

y(quer)j = Mittelwert der Gruppen

y(quer) = Mittelwert

• Bei einer einfaktoriellen Varianzanalyse untersucht man den Einfluss einer unabhängigen Variable (Faktor) mit k verschiedenen Gruppen auf die Ausprägungen einer Zufallsvariablen.

• Dazu werden die Mittelwerte der Ausprägungen für die Gruppen miteinander verglichen, und zwar vergleicht man die Varianz zwischen den Gruppen mit der Varianz innerhalb der Gruppen.

• Weil die totale Varianz sich zusammensetzt aus den zwei genannten Komponenten, spricht man von Varianzanalyse. Die einfaktorielle ANOVA ist die Verallgemeinerung des t-Tests im Falle mehr als zwei Gruppen. Für k=2 ist sie äquivalent mit dem t-Test.

SS _T = Gesamt, Jeder Messwert - Gesamtmittel²
SS_B = Erklärte Varianz, Jeder Gruppen Mittelwert - Gesamtmittel ² 
SS_W = nicht Erklärte, Jeder Einzelen Messwert aus der Gruppen - Gruppenmittelwert u. dann addieren 

Gesamtvarianz = Streung alle Werte um den Gesamtmittelwert

Erklärte Varianz = Streunng der Gruppenmittelwerte um den Gesamtmittelwert, kann durch UV erklärt werden

nicht erklärte Varianz = die Streuung der Werte innerhalb der Gruppe um den Gruppenmittelwert, kann nicht durch die UV erklärt werden, geht auf andere Faktoren zurück

y(quer) = Summe alle Einzelwerte alle Gruppen / Anzahl aller Beobachtungen 

y (quer)i = 1/ni * summe aller Werte 

Ist die mittlere Streuung Zwischen den Stichproben groß im Verhältnis zur mittleren Streuung innerhalb der Stichproben, so wird die Nullhypothese identischer Erwartungeswerte abgelehnt.
Unter der Nullhypothese ist die Teststatistik F-verteilt mit k - 1 und n - 1 Freitheitsgraden. (k = Anzahl der Gruppen) 

Dafür ist die Anova Tabelle nötig. 

MSS = mittlere Quadratsumme -eig wie erklärte u. nicht erklärte Varianz 

aber erklärte Varianz * 1 / k-1  mit k= Anzahl der Gruppen (z.b. 3 ) = 1 /3-1 = 1/2 

nicht erklärte Varianz * 1/ n-k mit n = gesamt Anzahl u. k = Gruppen Anzahl z.b. n = 31 u. n = 3

1 /31-3 = 1/28 

- der Wert der Teststatistik wird dann mit dem F-Wert, der aus der Tabelle der F-Verteilung abgelesen werden kann, dafür df1/ fz - Zähler freiheitsgrad = k-1 mit k = Gruppen anzahle 
df2/fn = Nennerfreiheitsgrad = n-k  mit n = Fallanzahl, K = Gruppenanzahl, 
alpha wie immer 0,05  deswegen 1-0,05 = 0,95

- wenn F- Wert > T-Wert (Teststatistik) H0 beibehalten 

- rechte von F-WErt = Kritischer bereich wenn T > F - H0 ablehen 

- besteht ein Linearer zusammenhang ja / nein?

- anhand einer Punktewolke erkennbar

Definition: Sind X und Y zwei Zufallsvariablen, die quadratisch integrierbar sind, d. h. die Erwartungswerte E E(X²) und E (Y²) existieren, dann heißt:

Cov(X,Y ) := E((X − E(X))(Y − E(Y ))) die Kovarianz von X und Y.

• Der Korrelationskoeffizient ist ein dimensionsloses Maß für den Grad des linearen Zusammenhangs zwischen zwei mindestens intervallskalierten Merkmalen.
• Er kann Werte zwischen −1 und 1 annehmen.
• Bei einem Wert von +1 (bzw. −1) besteht ein vollständig positiver (bzw. negativer) linearer Zusammenhang zwischen den betrachteten Merkmalen.
• Wenn der Korrelationskoeffizient den Wert 0 aufweist, hängen die beiden Merkmale überhaupt nicht linear voneinander ab

r nach Pearson: 

Für metrisch skalierte Merkmale stellt der Korrelationskoeffizient r_xy oder kurz r nach Pearson ein Maß für die lineare Abhängigkeit  2 Variablen dar. 

Für zwei quadratisch integrierbare Zufallsvariablen X und Y mit jeweils positiver Varianz ist der
Korrelationskoeffizient durch definiert:

r = \(x = {{cov(X,Y)} \over \sqrt{ Var(X) * Var(Y)} }\)  Var(X)/ (Y) = Varianz Gruppe X/Y ( jeder Wert - Mittelwert )² (nicht * 1/n) 

mit con( X,Y) = [(Xi - x(quer)]* [yi - y(quer)] = bei jedem i z.b. i=1 erste Spalte und dann alle diese Werte Addieren und i - ist bei x und y gleich!!! 

[(Xi - x(quer)] = x* und [yi - y(quer)] = y* 

n = 9 dann:

con(X,Y) = [(X1 - x(quer)]* [y1 - y(quer)] + [(X2 - x(quer)]* [y2 - y(quer)] +... + [(x9 - x(quer)]* [y9 - y(quer)]

- ist blin gegenüber anderen als Linearen Zusammenhängen 

• Für Variablen, die stark von der Normalverteilung abweichen, und auch ordinalskalierte Variablen,
eignet sich der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman.
• Hier werden die einzelnen Beobachtungen von x bzw. y der Größe nach geordnet.
• Jedem Wert wird seine Rangzahl zugewiesen.

Aus diesen Rängen wird der Korrelationskoeffizent nachPearson errechnet. Man erhält so den Korrelationskoeffizenten nach Spearman-Pearson ( r_sp)

also: rg = Rang - der selbst errechnet wird - dann in Pearson einsetzen

- statistisch schwierig, weil ordinal wie metrisch behandelt wird, bzw. künstlich eine Intervallskalierung erstellt wird

1. Anordnung festlegen:

- Stoffmenge x : zu gering < optimal < zu gross
- Note y : sehr gut < gut < befriedigend < ausreichend < mangelhaft < ungenügend

2. Rang berechnen:

- Probanden haben selbe ausprägung gewählt (gut), 3 Leute= Häufigkeit, eig Nummer 2,3,4 (da einmal Sehr gut angegeben wurde) - berechnng des Rangs: alle Nummer addieren / Häufigkeit = Rang  hier: 2+3+4/ 3 = 3 (siehe Bild) 

3. r_sp berechnen: 

- hierbei kombi der Probande, angaben zur Stoffmenge u. Noten mit Rang 

- errechnen Mittelwert beider Gruppen

- x* = xi-X(quer) errechnen (auch für y)

- für Con(X,Y) = Summe [xi-x(quer)]* [yi-y(quer)]

- Var(X)/(Y)= Summe jedes [xi-x(quer)]²

Idee: Gerade in die Punktewolke legen, die Zu allen Messwerten, den kleinsten möglichen Abstand hat um den "wahren" Wert zu finden, er unbekannt ist

- ist ein statistisches Analyseverfahren. Ziel ist es, Beziehungen zwischen einer abhängigen und einer oder mehreren unabhängigen Variablen festzustellen.
- Allgemein wird eine metrische Variable Y betrachtet, die von einer zweiten Variablen x abhängt

• Im Falle der wahrscheinlichkeitstheoretisch basierten Regression sind die beobachteten Variablen mit
einem zufälligen Fehler ε behaftet.
• Dies wird durch Y = f(x) +  ε   modelliert.
• Die „wahren“ Zusammenhänge zwischen Y und f(x) sind demnach nicht bekannt und müssen geschätzt
oder prognostiziert werden

• Man betrachtet 2 Variablen Y und x, die vermutlich ungefähr in einem linearen Zusammenhang stehen 

 mit Y≈α+βx 

• Der funktionale Zusammenhang Y = f(x) zwischen x und Y kann nicht exakt festgestellt werden, da α + βx von einer Störgröße ε überlagert wird.

• Diese Störgröße ε ist als Zufallsvariable (der GG) konzipiert, die nichterfassbare Einflüsse (menschliches Verhalten oder Messungenauigkeiten oder ähnliches) darstellt

• Es ergibt sich also das Modell Y=α+βX+ε oder komponentenweise yi=α+βxi+εi
• Da α und β nicht bekannt sind, kann y nicht in die Komponenten α + βx und ε zerlegt werden. Eine
mathematische Schätzung für die Parameter α und β durch a und b gefunden werden, damit ergibt sich yi=a+bxi+ei mit dem Residuum ei der Stichprobe.

• Das Residuum gibt die Differenz zwischen der Regressionsgerade a + bxi und den Messwerten yi an.

Man minimiert die summierten Quadrate der Residuen,

RSS = SSRes =\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} = e_i^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (y_i - (a+bx_i))^2\to min \) bezüglich a und b.

Durch partielles Differenzieren und Nullsetzen der Ableitungen erster Ordnung erhält man ein System
von Normalgleichungen.

Die gesuchten Regressionskoeffizienten sind die Lösungen: 

b = SS_xy / SS_xx (siehe bild)

- also SSxy = Summe aller (xi − x )*(yi − y), SSxx = Summe (xi − x )² (die beiden 1/n kürzen sich raus) 

a = y(quer) − bx(quer) = Mittelwert Y - b* Mittelwert X

mit als arithmetischem Mittel der x-Werte und als arithmetischem Mittel der y-Werte. SSxy stellt die
empirische Kovarianz zwischen den xi und yi dar. SSxx bezeichnet die empirische Varianz der xi.

• R² (auch Determinationskoeffizient) ist Anteil der Variation der durch die lineare Regression erklärt wird
• 0 (oder 0 %): kein linearer Zusammenhang
• 1 (oder 100%): perfekter linearer Zusammenhang

- der Zusammenhang von R² und r - r ist die Wurzel von R²

kleines r - r² - wird aus statistsichen Sachen gelöst, Korrellationskoeffizient, R² = hat ne verbindung zu kein r, 

r² =  1- (variation der Residuen / Variation von Y) = 1- [Summe (Yi −Yˆ_i) ² / (Yi −Y(quer))²]

Variation Residuen = Summe der Y-Wert minus y Schätzer ins quadrat, 

y schätzer = x-Wert in Geradengleichung von r (yi = b*x + a) einzusetzen u. so für jeden x wert einen y schätz wert zu erhalten

- jeder dieser schätzwerte wird vom passenden y Wert (in der Zeile) abgezogen und dann quadriert

Antwortsatz: 

 x% dervVariation der Beobachtungswerte wird durch das lineare Modell erklärt. Nur 100-x% der Variation bleiben unerklärt und haben unter Umständen andere Einflussfaktoren.

60 % der Variation der Beobachtungswerte wird durch das lineare Modell erklärt. Nur 40% der Variation
bleiben unerklärt und haben unter Umständen andere Einflussfaktoren.

- R² zeigt zwar Qualität der linearen Approximation aber nicht, ob das Modell richtig spezifiziert wurde.

- sagt nichts darüber aus, ob die UV wirklich der Grund für die Änderungen in sind.

- Es nichts über die statistische Signifikanz des ermittelten Zusammenhangs aus.

- macht keine Aussage, ob Transformation der Daten die Erklärungskraft der Regression verbessert.

• hohes R² erlaubt eine gute Vorhersage.
• hohes R² gibt an, dass geschätzte Regressionslinie eine gute Approximation an die Daten darstellt
• R² nahe bei Null zeigt an, dass es keinen linearen Zusammenhang zwischen der AV & UVs gibt

verlässlich, frei von Zufallsfehleren 

- unter gleichen Rahmenbedingunge = gleiches Ergebnis

( - Maß für die Replizierbarkeit der Ergebnisse unter gleichen Bedingungen.)

überkontextuell gültig

- Statsistik ist dann valide, wenn sie Gewicht für Aussage/ Theorie/ Feststellung hat

- Belastbarkeit der Operationalisierung - wird das gemessen, was gemessen werden soll (Rechentest zu nur + u. - soll etwas über alle Grundrechenarten aussagen = nicht valide)

- Belastbarkeit der Aussage/ Schlussfolgerung der Messung

=  Wie weit trifft zu das UV (X) die AV (Y) beeinflusst? 

bedeutend

- Wahrscheinlichkeit, dass die Aussage der Statistik durch Zufall so zustande kommt, nur gering ist.

- Signifikanz deutet auf (möglichen) Zusammenhang zwischen Messgößen (UV & AV) hin

- beschreibende / empirische Stat. 

- Zusammenfassung/ Ordnung von Beobachtungen

Definition: vorliegende Daten werden in geeigneter Weise beschrieben u. zusammengefasst

Werkzuege: Tabellen, Diagramme, Grafiken, Lage- und Streuungsparameter

Erkenntnisse: untersuchte Datensatz kann genau beschrieben werden. Verschiedene Variable können zu Kenngrößen/ Kennzahlen zusammengefasst werden

Definition: grafische Darstellung v. Daten/ Sachverhalten oder Informationen 

Arten: z.B. Streudiagramm, Liniendiagramm (Verbunden Punkte) , Stabdiagramm (Strich nach oben, je danach wie oft Wert vorhanden etc.), Säulendiagramm, Balkendiagramm, Kreisdiagramm, Histogramm, Zeitreihe

 - ohne zusätzliche Textinformationen lesen beziehungsweise interpretieren

- nicht manipulativ 

Definition: visuelle Repräsentation von Gesamtzusammenhängen in einer Abbildung

Anwendung: in visuellen Medien = Printmedien u. Fernsehen. Bzw. Schul- und Lehrbüchern 

- durch einen erklärenden Text, der sich innerhalb der Abbildung befindet, ergänzt

- Bildelemente nicht ohne zusätzliche Erläuterung in Form eines Textbausteins verständlich 

- kann manipulativ wirken im gegensatz zum Diagramm

- hypothesengenerierende Stat. 

Definition:  sucht systematisch mögliche Zusammenhänge (oder Unterschiede) zwischen Daten  (mittels deskriptiver Verfahren und induktiver Test-Methoden) 

Werkzeuge: interaktive statistische Grafik.

Erkenntisse: Ansatzpunkte für neue Hypothesen- die dann weiter mit der induktiven Statistik untersucht werden können.

- schließende/ Inferenzstatistik 

- Verallgemeinerung von Beobachtungen (Signifikanz) 

- Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten mit denen Aussagen für die Grundgesamtheit gelten

Definition: leitet aus den Daten einer Stichprobe Eigenschaften einer Grundgesamtheit ab.

Werkzeuge: Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätzverfahren, Testverfahren

Erkenntisse: Zusammenhänge und Aussagen über die Stichprobe können auf die Grundgesamtheit verallgemeinert werden.

Die Grundgesamtheit bezeichnen wir mit Ω. ( z.B. Schüler der Klasse 7c)

Die Untersuchungseinheit ( auch Element, Objekt, Individum) bezeichnen wir mit ω. (z.B.Max H. )

Die Grundgesamtheit Ω ist die Menge ihrer Elemente ω.

- Eine aus der Grundgesamtheit Ω nach dem Zufallsprinzip herausgegriffene Teilmenge mit n Elementen ω heißt Zufallsstichprobe vom Umfang n

- Die Auswahl der Elemente muss wahllos und unabhängig voneinander geschehen, d.h. alle ω ∈ Ω müssen die gleiche Chance haben ausgewählt zu werden. 

--> ω ∈ Ω  = ω (klein Omega) sind Eltemente ( Teile) von Ω (Omega)

- Die beobachteten Merkmalswerte (Ausprägungen) x1,x2,x3,...,xn der n Elemente ω sind Realisierungen  = Stichprobenwerte x_i = x1, x2...xn

Absolute Häufigkeit ni = Anzahl der in Stichprobe vorkommenden gleichen Merkmalsausprägung.

D.h. kommt der Stichprobenwert xi genau ni-mal in der Stichprobe vor so heißt diese Zahl ni absolute Häufigkeit des Stichprobenwertes xi (i = 1, 2, 3, ...,k mit \(k \leq n\)).

Dividiert man die absolute Häufigkeit ni durch die Anzahl der Stichprobenwerte so erhält man die relative Häufigkeit hi :
wobei gilt: hi = ni/ n

0 < hi ≤1 und \(\displaystyle\sum_{i=1}^{k} h_i\) = h1 + h2 + ...+ hk = 1 

hi liegt zwischen 0 u. 1  u. alle hi (relativen Häufigkeiten addiert ergeben 1
 

Die Verteilung der einzelnen Stichprobenwerte xi in einer geordneten Stichprobe vom Umfang n mit k = verschiedenen Werten x1, x2, x3 läßt sich durch die Häufigkeitsfunktion beschreiben. 
 

An Untersuchungseinheiten/ Probanden (ω) werden Merkmale(Xn) und deren Ausprägungen (xn) erhoben.

Merkmal X₁ = Anzahl der Verweise

Ausprägung x des Merkmals X = 1;  Man schreiben: Anzahl der Verweise(Max H.) = 1
Oder allgemein: X(ω) = x  [also X(Max Huber) = 1]

Zu einer Untersuchungseinheit kann es viele Merkmale geben. -  Bsp. X1 = „Anzahl Verweise“, X2 = „Fach“, X3= „Alter“ usw

Schreibweise: X(ω) = ( X1 (ω), X2 (ω), X3 (ω)) also X(Max Huber) = ( 1, Mathematik, 13)

- Ausprägungen = Namen

- Verschiedenheit

- keine Rangfolge, keine gleich großen Abstände zwischen den Messpunkten, kein Nullpunkt

- geringster Informationsgehalt

- Transformierbarkeit 

entweder X (ω1) = X (ω2) oder X (ω1) ≠ X (ω2)

Lage- u. Streuungsmaße: Modus/ Modalwert u. Range/ Spannweite

Bsp.: Namen, GEschlecht, Nationalität, Steuerklassen, Autotypen usw.

- Ausprägungen sind Namen, die sich anordnen lassen. 

- Verschiedenheit, Rangfolge

- keine gleich großen Abstände zwischen den Messpunkten, kein exis?erender Nullpunkt

entweder X (ω1) ≤ X (ω2) oder X (ω1) ≥ X (ω2)

- Lage- u. Streuungsmaße: Median u. Interquartilsabstand

Bsp.:Uni-Ranking, Bundesligatabelle, Schulnoten, Klassen im Flugzeug, Schadstoffklassen 

- kardinal / metrisch

- Seine Ausprägungen sind Maße

- Verschiedenheit, Rangfolge, gleich große, Abstände zwischen den Messpunkten

- kein Nullpunkt

X (ω1) − X (ω2)

Lage- u, Streungsmaße: Mittelwert & Variation, Varianz, Standardabweichung

z.B. Temperatur in Celsius oder Fahrenheit, IQ-Test

- kardinal/ Metrisch

- Seine Ausprägungen sind Maße

- Verschiedenheit, Rangfolge, gleich große Abstände zwischen den Messpunkten & Nullpunkt

- höchster Informationsgehalt

X (ω2)= n * X (ω1)

Lage- u. Streungsmaße: Mittelwert & Variation, Varianz, Standardabweichung

z.B. Masse, Zeit, Temperatur in Kelvin, Länge, Einkommen

Ein Merkmal X ist eine Abbildung von Ω in eine Menge M : X : Ω→ M mit X (ω) = x ∈ X(Ω) ( = Ausprägungen x ist ein Element von Merkmalen X der Grundgesamtheit  Ω)

Wenn die Wertemenge X(Ω)={X(ω) | ω ∈ Ω}

- eine Menge ohne weitere Struktur ist, so ist X ein nominales Merkmal.

- Ist X(Ω) eine geordnete Menge, so ist X ein ordinales Merkmal

-  Ist X(Ω)⊂ IRk und übernimmt X(Ω) die euklidische Metrik, so ist X ein k-dimensionales quantitatives oder kardinales Merkmal ( X(Ω)⊂ IRk = im Raum unserer Anschauung, euklidische Metrik = gleiche/ proportionale abstände