Quanti Methoden
Basis Wissen Statistik - Quantitative Methoden
Basis Wissen Statistik - Quantitative Methoden
Chi² - Prüfgröße für Unabhängigkeitstest
Setzt man für die erwartete Häufigkeit bei Vorliegen von Unabhängigkeit:
Erwartete Werte= n*jk = (nj. * n.k) / n = n0rs = (nr. * n.s) / n = Summe der Zeile * Summer der Spalte / N
Residuen = (n*jk - njk) = ( nrs - nors) - (Tatsächlicher Wert - erwarteter Wert)
Alles wichtig Prüfgröße für Unabhängigkeitstest - X²
χ² = Summe aller (quardierter Residuen / erwarteter Wert=n0rs)
Chi-Quadrat-Verteilung
Die Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden beschreibt die Verteilung der Summe n stochastisch unabhängiger quadrierter standardnormalverteilter Zufallsvariablen
- wird aus Tabelle Abgelesen!
Vierfeldertest
Vorgehensweise - Generell bei Tests
1.Erstellen/ Ablesen einer Nullhypothese H0 und ihrer Alternativhypothese H1
2.Bestimmung des kritischen Bereiches zu SIgnifikanzniveau α,
3.Berechnung der Testgröße oder Teststatistik T aus der Stichprobe
4.Treffen der Testentscheidung
2. Bestimmung des kritischen Bereiches:
Ablesen aus Tabelle: Freiheitsgrade bei Chi² : df = (r-1) * (c-1) r = Anzahl Reihen, C = Anzahl Spalten
Für 2x2 Tabelle u. p=0,95 - C-Wert für X² = 3,48.
3. Berechnung der Testgröße: siehe Bild - tobs
4.) Treffen der Testentscheidung
a) .Liegt tobs nicht in K (kritischen Bereich), so wird H0 beibehalten.
1.2.Liegt tobs in K, so lehnt man H0 zugunsten von H1 ab.
- Kritischer Bereich K ( recht von C-Wert also muss t > C sein
Anova / Varianzanalyse
• Normalverteilung der Grundgesamtheit
Annahme: wenn unsere Stichprobe & auch die GG annähernd normalverteilt sind
• Varianzhomogenität
Varianzen in den einzelnen Gruppen sollten gleich sein. (überprüfen mit Levene‘s Test)
• ANOVA ist relativ robust gegenüber diesen Annahmen
Bei leichter Abweichung von Normalverteilung & Varianzhomogenität ist AVOVA trotzdem durchführbar. Wenn mehrere Annahmen grob verletzt sind → nicht parametrisches Verfahren verwenden
- Vergleich von Mittelwerten von mehr als 2 Gruppen (UV= nominal, AV = Metrisch)
• yij, 1≤i≤k, 1≤j≤ni
• Hierbei ist yij der j-te Beobachtungswert in der i-ten Gruppe.
• Insgesamt gibt es ni Beobachtungswerte in der i-ten Gruppe, und k verschiedene Gruppen.
• n = n1 + . . . + nk = Gesamtzahl der Beobachtungswerte.
k = Anzahl der Gruppen, i = Nummer der Gruppe, j = Beobachete
H0: zwischen den Erwartungswerten der Gruppen kein Unterschied besteht. (Mittelwerte sind gleich)
H1: zwischen mindestens zwei Erwartungswerten (Mittelwerte) der Gruppen ein Unterschied besteht.
yji = Einzelwert
y(quer)j = Mittelwert der Gruppen
y(quer) = Mittelwert
einfaktorielle Anova
• Bei einer einfaktoriellen Varianzanalyse untersucht man den Einfluss einer unabhängigen Variable (Faktor) mit k verschiedenen Gruppen auf die Ausprägungen einer Zufallsvariablen.
• Dazu werden die Mittelwerte der Ausprägungen für die Gruppen miteinander verglichen, und zwar vergleicht man die Varianz zwischen den Gruppen mit der Varianz innerhalb der Gruppen.
• Weil die totale Varianz sich zusammensetzt aus den zwei genannten Komponenten, spricht man von Varianzanalyse. Die einfaktorielle ANOVA ist die Verallgemeinerung des t-Tests im Falle mehr als zwei Gruppen. Für k=2 ist sie äquivalent mit dem t-Test.
Varianzzerlegung
SS T = Gesamt, Jeder Messwert - Gesamtmittel²
SSB = Erklärte Varianz, Jeder Gruppen Mittelwert - Gesamtmittel ²
SSW = nicht Erklärte, Jeder Einzelen Messwert aus der Gruppen - Gruppenmittelwert u. dann addieren
Gesamtvarianz = Streung alle Werte um den Gesamtmittelwert
Erklärte Varianz = Streunng der Gruppenmittelwerte um den Gesamtmittelwert, kann durch UV erklärt werden
nicht erklärte Varianz = die Streuung der Werte innerhalb der Gruppe um den Gruppenmittelwert, kann nicht durch die UV erklärt werden, geht auf andere Faktoren zurück
y(quer) = Summe alle Einzelwerte alle Gruppen / Anzahl aller Beobachtungen
y (quer)i = 1/ni * summe aller Werte
Teststatistik - Varianzanalyse
Ist die mittlere Streuung Zwischen den Stichproben groß im Verhältnis zur mittleren Streuung innerhalb der Stichproben, so wird die Nullhypothese identischer Erwartungeswerte abgelehnt.
Unter der Nullhypothese ist die Teststatistik F-verteilt mit k - 1 und n - 1 Freitheitsgraden. (k = Anzahl der Gruppen)
Dafür ist die Anova Tabelle nötig.
MSS = mittlere Quadratsumme -eig wie erklärte u. nicht erklärte Varianz
aber erklärte Varianz * 1 / k-1 mit k= Anzahl der Gruppen (z.b. 3 ) = 1 /3-1 = 1/2
nicht erklärte Varianz * 1/ n-k mit n = gesamt Anzahl u. k = Gruppen Anzahl z.b. n = 31 u. n = 3
1 /31-3 = 1/28
- der Wert der Teststatistik wird dann mit dem F-Wert, der aus der Tabelle der F-Verteilung abgelesen werden kann, dafür df1/ fz - Zähler freiheitsgrad = k-1 mit k = Gruppen anzahle
df2/fn = Nennerfreiheitsgrad = n-k mit n = Fallanzahl, K = Gruppenanzahl,
alpha wie immer 0,05 deswegen 1-0,05 = 0,95
- wenn F- Wert > T-Wert (Teststatistik) H0 beibehalten
- rechte von F-WErt = Kritischer bereich wenn T > F - H0 ablehen
Anova Tabelle
Korrelation
- besteht ein Linearer zusammenhang ja / nein?
- anhand einer Punktewolke erkennbar
Kovarianz
Definition: Sind X und Y zwei Zufallsvariablen, die quadratisch integrierbar sind, d. h. die Erwartungswerte E E(X²) und E (Y²) existieren, dann heißt:
Cov(X,Y ) := E((X − E(X))(Y − E(Y ))) die Kovarianz von X und Y.
Korrelationskoeffizient
• Der Korrelationskoeffizient ist ein dimensionsloses Maß für den Grad des linearen Zusammenhangs zwischen zwei mindestens intervallskalierten Merkmalen.
• Er kann Werte zwischen −1 und 1 annehmen.
• Bei einem Wert von +1 (bzw. −1) besteht ein vollständig positiver (bzw. negativer) linearer Zusammenhang zwischen den betrachteten Merkmalen.
• Wenn der Korrelationskoeffizient den Wert 0 aufweist, hängen die beiden Merkmale überhaupt nicht linear voneinander ab
r nach Pearson:
Für metrisch skalierte Merkmale stellt der Korrelationskoeffizient rxy oder kurz r nach Pearson ein Maß für die lineare Abhängigkeit 2 Variablen dar.
Für zwei quadratisch integrierbare Zufallsvariablen X und Y mit jeweils positiver Varianz ist der
Korrelationskoeffizient durch definiert:
r = \(x = {{cov(X,Y)} \over \sqrt{ Var(X) * Var(Y)} }\) Var(X)/ (Y) = Varianz Gruppe X/Y ( jeder Wert - Mittelwert )² (nicht * 1/n)
mit con( X,Y) = [(Xi - x(quer)]* [yi - y(quer)] = bei jedem i z.b. i=1 erste Spalte und dann alle diese Werte Addieren und i - ist bei x und y gleich!!!
[(Xi - x(quer)] = x* und [yi - y(quer)] = y*
n = 9 dann:
con(X,Y) = [(X1 - x(quer)]* [y1 - y(quer)] + [(X2 - x(quer)]* [y2 - y(quer)] +... + [(x9 - x(quer)]* [y9 - y(quer)]
Probleme der Korrelation
- ist blin gegenüber anderen als Linearen Zusammenhängen
Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman ( Rho)
• Für Variablen, die stark von der Normalverteilung abweichen, und auch ordinalskalierte Variablen,
eignet sich der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman.
• Hier werden die einzelnen Beobachtungen von x bzw. y der Größe nach geordnet.
• Jedem Wert wird seine Rangzahl zugewiesen.
Aus diesen Rängen wird der Korrelationskoeffizent nachPearson errechnet. Man erhält so den Korrelationskoeffizenten nach Spearman-Pearson ( rsp)
also: rg = Rang - der selbst errechnet wird - dann in Pearson einsetzen
- statistisch schwierig, weil ordinal wie metrisch behandelt wird, bzw. künstlich eine Intervallskalierung erstellt wird
Schritte für Spearmans rs
1. Anordnung festlegen:
- Stoffmenge x : zu gering < optimal < zu gross
- Note y : sehr gut < gut < befriedigend < ausreichend < mangelhaft < ungenügend
2. Rang berechnen:
- Probanden haben selbe ausprägung gewählt (gut), 3 Leute= Häufigkeit, eig Nummer 2,3,4 (da einmal Sehr gut angegeben wurde) - berechnng des Rangs: alle Nummer addieren / Häufigkeit = Rang hier: 2+3+4/ 3 = 3 (siehe Bild)
3. rsp berechnen:
- hierbei kombi der Probande, angaben zur Stoffmenge u. Noten mit Rang
- errechnen Mittelwert beider Gruppen
- x* = xi-X(quer) errechnen (auch für y)
- für Con(X,Y) = Summe [xi-x(quer)]* [yi-y(quer)]
- Var(X)/(Y)= Summe jedes [xi-x(quer)]²
Regression
Idee: Gerade in die Punktewolke legen, die Zu allen Messwerten, den kleinsten möglichen Abstand hat um den "wahren" Wert zu finden, er unbekannt ist
- ist ein statistisches Analyseverfahren. Ziel ist es, Beziehungen zwischen einer abhängigen und einer oder mehreren unabhängigen Variablen festzustellen.
- Allgemein wird eine metrische Variable Y betrachtet, die von einer zweiten Variablen x abhängt
• Im Falle der wahrscheinlichkeitstheoretisch basierten Regression sind die beobachteten Variablen mit
einem zufälligen Fehler ε behaftet.
• Dies wird durch Y = f(x) + ε modelliert.
• Die „wahren“ Zusammenhänge zwischen Y und f(x) sind demnach nicht bekannt und müssen geschätzt
oder prognostiziert werden
Ansatz Regression
• Man betrachtet 2 Variablen Y und x, die vermutlich ungefähr in einem linearen Zusammenhang stehen
mit Y≈α+βx
• Der funktionale Zusammenhang Y = f(x) zwischen x und Y kann nicht exakt festgestellt werden, da α + βx von einer Störgröße ε überlagert wird.
• Diese Störgröße ε ist als Zufallsvariable (der GG) konzipiert, die nichterfassbare Einflüsse (menschliches Verhalten oder Messungenauigkeiten oder ähnliches) darstellt
• Es ergibt sich also das Modell Y=α+βX+ε oder komponentenweise yi=α+βxi+εi
• Da α und β nicht bekannt sind, kann y nicht in die Komponenten α + βx und ε zerlegt werden. Eine
mathematische Schätzung für die Parameter α und β durch a und b gefunden werden, damit ergibt sich yi=a+bxi+ei mit dem Residuum ei der Stichprobe.
• Das Residuum gibt die Differenz zwischen der Regressionsgerade a + bxi und den Messwerten yi an.
Minimum-Quadrat-Methode
Man minimiert die summierten Quadrate der Residuen,
RSS = SSRes =\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} = e_i^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (y_i - (a+bx_i))^2\to min \) bezüglich a und b.
Durch partielles Differenzieren und Nullsetzen der Ableitungen erster Ordnung erhält man ein System
von Normalgleichungen.
Regressionskoeffizienten
Die gesuchten Regressionskoeffizienten sind die Lösungen:
b = SSxy / SSxx (siehe bild)
- also SSxy = Summe aller (xi − x )*(yi − y), SSxx = Summe (xi − x )² (die beiden 1/n kürzen sich raus)
a = y(quer) − bx(quer) = Mittelwert Y - b* Mittelwert X
mit als arithmetischem Mittel der x-Werte und als arithmetischem Mittel der y-Werte. SSxy stellt die
empirische Kovarianz zwischen den xi und yi dar. SSxx bezeichnet die empirische Varianz der xi.
Bestimmtheitsmaß R²
• R² (auch Determinationskoeffizient) ist Anteil der Variation der durch die lineare Regression erklärt wird
• 0 (oder 0 %): kein linearer Zusammenhang
• 1 (oder 100%): perfekter linearer Zusammenhang
- der Zusammenhang von R² und r - r ist die Wurzel von R²
kleines r - r² - wird aus statistsichen Sachen gelöst, Korrellationskoeffizient, R² = hat ne verbindung zu kein r,
r² = 1- (variation der Residuen / Variation von Y) = 1- [Summe (Yi −Yˆi) ² / (Yi −Y(quer))²]
Variation Residuen = Summe der Y-Wert minus y Schätzer ins quadrat,
y schätzer = x-Wert in Geradengleichung von r (yi = b*x + a) einzusetzen u. so für jeden x wert einen y schätz wert zu erhalten
- jeder dieser schätzwerte wird vom passenden y Wert (in der Zeile) abgezogen und dann quadriert
Antwortsatz:
x% dervVariation der Beobachtungswerte wird durch das lineare Modell erklärt. Nur 100-x% der Variation bleiben unerklärt und haben unter Umständen andere Einflussfaktoren.
Die Grenzen von R²
60 % der Variation der Beobachtungswerte wird durch das lineare Modell erklärt. Nur 40% der Variation
bleiben unerklärt und haben unter Umständen andere Einflussfaktoren.
- R² zeigt zwar Qualität der linearen Approximation aber nicht, ob das Modell richtig spezifiziert wurde.
- sagt nichts darüber aus, ob die UV wirklich der Grund für die Änderungen in sind.
- Es nichts über die statistische Signifikanz des ermittelten Zusammenhangs aus.
- macht keine Aussage, ob Transformation der Daten die Erklärungskraft der Regression verbessert.
• hohes R² erlaubt eine gute Vorhersage.
• hohes R² gibt an, dass geschätzte Regressionslinie eine gute Approximation an die Daten darstellt
• R² nahe bei Null zeigt an, dass es keinen linearen Zusammenhang zwischen der AV & UVs gibt
objektiv
unabhängig vom Standpunkt des Statistikherstellers,
Statistikhersteller muss austauschbar sein,
jeder der bestimmtes (gleiche) Verfahren anwendet - kommt zum selben Schluss
reliabel
verlässlich, frei von Zufallsfehleren
- unter gleichen Rahmenbedingunge = gleiches Ergebnis
( - Maß für die Replizierbarkeit der Ergebnisse unter gleichen Bedingungen.)
valide
überkontextuell gültig
- Statsistik ist dann valide, wenn sie Gewicht für Aussage/ Theorie/ Feststellung hat
- Belastbarkeit der Operationalisierung - wird das gemessen, was gemessen werden soll (Rechentest zu nur + u. - soll etwas über alle Grundrechenarten aussagen = nicht valide)
- Belastbarkeit der Aussage/ Schlussfolgerung der Messung
= Wie weit trifft zu das UV (X) die AV (Y) beeinflusst?
signifikant
bedeutend
- Wahrscheinlichkeit, dass die Aussage der Statistik durch Zufall so zustande kommt, nur gering ist.
- Signifikanz deutet auf (möglichen) Zusammenhang zwischen Messgößen (UV & AV) hin
Deskriptive Statistik
- beschreibende / empirische Stat.
- Zusammenfassung/ Ordnung von Beobachtungen
Definition: vorliegende Daten werden in geeigneter Weise beschrieben u. zusammengefasst
Werkzuege: Tabellen, Diagramme, Grafiken, Lage- und Streuungsparameter
Erkenntnisse: untersuchte Datensatz kann genau beschrieben werden. Verschiedene Variable können zu Kenngrößen/ Kennzahlen zusammengefasst werden
Diagramme
Definition: grafische Darstellung v. Daten/ Sachverhalten oder Informationen
Arten: z.B. Streudiagramm, Liniendiagramm (Verbunden Punkte) , Stabdiagramm (Strich nach oben, je danach wie oft Wert vorhanden etc.), Säulendiagramm, Balkendiagramm, Kreisdiagramm, Histogramm, Zeitreihe
- ohne zusätzliche Textinformationen lesen beziehungsweise interpretieren
- nicht manipulativ
Infografiken
Definition: visuelle Repräsentation von Gesamtzusammenhängen in einer Abbildung
Anwendung: in visuellen Medien = Printmedien u. Fernsehen. Bzw. Schul- und Lehrbüchern
- durch einen erklärenden Text, der sich innerhalb der Abbildung befindet, ergänzt
- Bildelemente nicht ohne zusätzliche Erläuterung in Form eines Textbausteins verständlich
- kann manipulativ wirken im gegensatz zum Diagramm
Explorative Statistik
- hypothesengenerierende Stat.
Definition: sucht systematisch mögliche Zusammenhänge (oder Unterschiede) zwischen Daten (mittels deskriptiver Verfahren und induktiver Test-Methoden)
Werkzeuge: interaktive statistische Grafik.
Erkenntisse: Ansatzpunkte für neue Hypothesen- die dann weiter mit der induktiven Statistik untersucht werden können.
Induktive Statistik
- schließende/ Inferenzstatistik
- Verallgemeinerung von Beobachtungen (Signifikanz)
- Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten mit denen Aussagen für die Grundgesamtheit gelten
Definition: leitet aus den Daten einer Stichprobe Eigenschaften einer Grundgesamtheit ab.
Werkzeuge: Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätzverfahren, Testverfahren
Erkenntisse: Zusammenhänge und Aussagen über die Stichprobe können auf die Grundgesamtheit verallgemeinert werden.
Grundgesamtheit und Untersuchungseinheit
Die Grundgesamtheit bezeichnen wir mit Ω. ( z.B. Schüler der Klasse 7c)
Die Untersuchungseinheit ( auch Element, Objekt, Individum) bezeichnen wir mit ω. (z.B.Max H. )
Die Grundgesamtheit Ω ist die Menge ihrer Elemente ω.
Zufallsstichprobe
- Eine aus der Grundgesamtheit Ω nach dem Zufallsprinzip herausgegriffene Teilmenge mit n Elementen ω heißt Zufallsstichprobe vom Umfang n
- Die Auswahl der Elemente muss wahllos und unabhängig voneinander geschehen, d.h. alle ω ∈ Ω müssen die gleiche Chance haben ausgewählt zu werden.
--> ω ∈ Ω = ω (klein Omega) sind Eltemente ( Teile) von Ω (Omega)
- Die beobachteten Merkmalswerte (Ausprägungen) x1,x2,x3,...,xn der n Elemente ω sind Realisierungen = Stichprobenwerte xi = x1, x2...xn
Absolute Häufigkeit
Absolute Häufigkeit ni = Anzahl der in Stichprobe vorkommenden gleichen Merkmalsausprägung.
D.h. kommt der Stichprobenwert xi genau ni-mal in der Stichprobe vor so heißt diese Zahl ni absolute Häufigkeit des Stichprobenwertes xi (i = 1, 2, 3, ...,k mit \(k \leq n\)).
Relative Häufigkeiten
Dividiert man die absolute Häufigkeit ni durch die Anzahl der Stichprobenwerte so erhält man die relative Häufigkeit hi :
wobei gilt: hi = ni/ n
0 < hi ≤1 und \(\displaystyle\sum_{i=1}^{k} h_i\) = h1 + h2 + ...+ hk = 1
hi liegt zwischen 0 u. 1 u. alle hi (relativen Häufigkeiten addiert ergeben 1
Häufigkeitsfunktion f (x)
Die Verteilung der einzelnen Stichprobenwerte xi in einer geordneten Stichprobe vom Umfang n mit k = verschiedenen Werten x1, x2, x3 läßt sich durch die Häufigkeitsfunktion beschreiben.
Merkmale und Ausprägungen
An Untersuchungseinheiten/ Probanden (ω) werden Merkmale(Xn) und deren Ausprägungen (xn) erhoben.
Merkmal X1 = Anzahl der Verweise
Ausprägung x des Merkmals X = 1; Man schreiben: Anzahl der Verweise(Max H.) = 1
Oder allgemein: X(ω) = x [also X(Max Huber) = 1]
Zu einer Untersuchungseinheit kann es viele Merkmale geben. - Bsp. X1 = „Anzahl Verweise“, X2 = „Fach“, X3= „Alter“ usw
Schreibweise: X(ω) = ( X1 (ω), X2 (ω), X3 (ω)) also X(Max Huber) = ( 1, Mathematik, 13)
Nominal skaliertes Merkmal
- Ausprägungen = Namen
- Verschiedenheit
- keine Rangfolge, keine gleich großen Abstände zwischen den Messpunkten, kein Nullpunkt
- geringster Informationsgehalt
- Transformierbarkeit
entweder X (ω1) = X (ω2) oder X (ω1) ≠ X (ω2)
Lage- u. Streuungsmaße: Modus/ Modalwert u. Range/ Spannweite
Bsp.: Namen, GEschlecht, Nationalität, Steuerklassen, Autotypen usw.
Ordinal skaliertes Merkmal
- Ausprägungen sind Namen, die sich anordnen lassen.
- Verschiedenheit, Rangfolge
- keine gleich großen Abstände zwischen den Messpunkten, kein exis?erender Nullpunkt
entweder X (ω1) ≤ X (ω2) oder X (ω1) ≥ X (ω2)
- Lage- u. Streuungsmaße: Median u. Interquartilsabstand
Bsp.:Uni-Ranking, Bundesligatabelle, Schulnoten, Klassen im Flugzeug, Schadstoffklassen
Intervall skaliert
- kardinal / metrisch
- Seine Ausprägungen sind Maße
- Verschiedenheit, Rangfolge, gleich große, Abstände zwischen den Messpunkten
- kein Nullpunkt
X (ω1) − X (ω2)
Lage- u, Streungsmaße: Mittelwert & Variation, Varianz, Standardabweichung
z.B. Temperatur in Celsius oder Fahrenheit, IQ-Test
proportional skalierte Merkmale
- kardinal/ Metrisch
- Seine Ausprägungen sind Maße
- Verschiedenheit, Rangfolge, gleich große Abstände zwischen den Messpunkten & Nullpunkt
- höchster Informationsgehalt
X (ω2)= n * X (ω1)
Lage- u. Streungsmaße: Mittelwert & Variation, Varianz, Standardabweichung
z.B. Masse, Zeit, Temperatur in Kelvin, Länge, Einkommen
Merkmale
Ein Merkmal X ist eine Abbildung von Ω in eine Menge M : X : Ω→ M mit X (ω) = x ∈ X(Ω) ( = Ausprägungen x ist ein Element von Merkmalen X der Grundgesamtheit Ω)
Wenn die Wertemenge X(Ω)={X(ω) | ω ∈ Ω}
- eine Menge ohne weitere Struktur ist, so ist X ein nominales Merkmal.
- Ist X(Ω) eine geordnete Menge, so ist X ein ordinales Merkmal
- Ist X(Ω)⊂ IRk und übernimmt X(Ω) die euklidische Metrik, so ist X ein k-dimensionales quantitatives oder kardinales Merkmal ( X(Ω)⊂ IRk = im Raum unserer Anschauung, euklidische Metrik = gleiche/ proportionale abstände
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Flashcards
Kombinatorik
= Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Bestimmung der Zahl möglicher Anordnungen oder Auswahlen von
• unterscheidbaren oder nicht unterscheidbaren Objekten
• mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge
Permutation
= Veränderung der Anordnung einer Menge durch Vertauschen ihrer Elemente.
- In Mathe = bijektive Selbstabbildung einer in der Regel endlichen Menge. Umgangssprachlich findet der Begriff bisweilen auch als Synonym für „Anordnung“ Verwendung.
Bsp.:
- „ANGSTBUDE“ entsteht aus „BUNDESTAG“ durch Permutation der Buchstaben (Anagramm).
- Das Mischen der Karten eines Kartenspiels = Permutation auf der Menge der Karten.
Die Anzahl der Permutationen von n verschiedenen Elementen ist n!. Das Ausrufezeichen steht für „Fakultät“.
Wie viele möglichkeiten gibt es Objekte unterschiedlich zu ordnen?
Eine Anordnung von n Elementen in einer bestimmten Reihenfolge heißt Permutation. Für die Anzahl P(n)der möglichen Permutationen gilt dann:
1. Alle n Elemente sind voneinander verschieden:
P(n) = n!
2.Unter den n Elementen befinden sich jeweils n1, n2, ... nk einander gleiche Elemente:
P ( n; n1, n2, ... nk) = \(x = {n! \over n_1! n_2! ... n_k!}\)
( ohne das x - Fehler!)
n1 + n2+ .... + nk = n und - k ist kleiner/ gleich n
Bsp. 6! = 6*5*4*3*2*1 = 720 Möglichkeiten, sechs unterscheidbare Objekte anzuordnen.
Urnenmodell ( Ziehungen mit u. ohne zurücklegen)
Bsp. Lotto:
Auswahl Möglichkeiten = 49*48*47*46*45*44 - weil immer eine Kugel rausgenommen wird u. nicht zurück gelegt wird
Reihenfolge der Ziehung ist für den Gewinn unerheblich !
Möglichkeiten der Permutationen = 6! = 6*5*4*3*2*1
Anzahl der Möglichleiten = (49*48*47*46*45*44) / (6*5*4*3*2*1) = 13 983 816
Binomialkoeffizient
Wenn aus n (z.B. 49)Objekten k (z.B. 6) ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
ausgewählt werden sollen, so gibt es jeweils die Klasse der k ausgewählten Objekte und die Klasse der (n-k) nicht ausgewählten Objekte, in der es auf die Reihenfolge nicht ankommt.
\(\frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{k}\)
- dabei Kürzen sich die Zahlen raus:
n = 6; k = 2
(6*5*4*3*2*1) / (2*1) (4*3*2*1) = 6*5 / (2*1)
Wahrscheinlichkeit Würfel KOmbinationen
- Normalverteilt
Mehrstufige Zufallsexperiment u. Baumdiagramm
- Tür wechseln oder nicht?
Fall 1: Wechseln verliert!!! p(Kandidat auf Tür eins) = ⅓
Fall 2: Wechseln gewinnt!!! p(Kandidat auf Tür zwei) = ⅓
Fall 3: Wechseln gewinnt!!! p(Kandidat auf Tür drei) = ⅓
- Wechseln ist in 2/3 der Fälle günstiger
mehrstufiges Zufallsexperiment = mehreren nacheinander ablaufenden Zufallsexperimenten
Pfadregeln
Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten längs bestimmter Pfade - Pfadregel möglich:
1.Die Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades werden multipliziert.
2.Führen mehrere Pfade zum gleichen Endergebnis, so addieren sich ihre Wahrscheinlichkeiten
Regeln für Wahrscheinlichkeiten
(1) Für das unmögliche Ereignis ∅ gilt: P(∅) = 0
(2) Für das zum Ereignis A kömplementäre Ereignis A gilt: P(A) = 1− P(A)
(3) Additionssatz für zwei beliebige Ereignisse A und B: P(A∪ B) = P(A)+ P(B)− P(A∩ B)
Folgerung: Additionssatz für sich gegenseitig auschließende Ereignisse A und B:
P(A∪ B) = P(A)+ P(B) , da A∩ B = ∅
Wahrscheinlichkeitsaxiome - nach Kolmogoroff
1. Axiom: 0 ≤ P(A) ≤ 1
2. Axiom: Für das sichere Ereignis Ω gilt: P(Ω) = 1
3. Axiom: Für sich paarweise gegenseitig ausschließende Ereignisse A1, A2, A3, ... gilt:
P(A1∪A2∪A3∪...) = P(A1) + P(A2)+ P(A3)+...
In der Praxis gilt: hn(A) eines Ereignisses A strebt bei immer grosser werdendem n gegen P(A).
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit P(A|B) für das Eintreten des Ereignisses A unter der Bedingung(Voraussetzung), dass das Ereignis B bereits eingetreten ist, beträgt:
P(A | B) = P(A ∩ B) /P(B) mit P(A) ≠ 0
P(A | B) = Bedingung
P(A ∩ B) = A und B treten gleichzeitig ein
Gesprochen: Bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B
Bsp: Würfel
A: Augenzahl „6“
B: gerade Augenzahl B = { 2, 4, 6 } (Bedingung)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine „6“ zu erhalten wenn bereits bekannt ist, das die gewürfelte Augenzahl gerade ist?
A∩B = 6 ⇒ P(A∩B)=1∕6 und P(B) = 1∕2
P(A | B) = A∩ B / B = 1/3 oder P(A | B) = P(A∩ B) / P(B) =(1/6) / (1/2) = 2/6 = 1/3
2
= 2
6
= 1
3
Stochastisch unabhängige Ereignisse
Ist das Eintreten eines Ereignisses B unabhängig davon, ob das Ereignis A bereits eingetreten ist
oder nicht und umgekehrt, so heißen die Ereignisse stochastisch unabhängig.
Es gilt dann: P(A∩ B) = P(A) ⋅P(B)
Herleitung:
P(A | B) = P(A∩ B) / P(B) ⇒ P(B)P(A | B) = P(A∩ B)
wenn P(A) von Bedingung B unabhängig ist folgt:
P(A | B) = P(A)⇒P(B)P(A) = P(A∩ B)
deshalb ist folgende Definition naheliegend:
P(A∩ B) = P(A) ⋅P(B)⇔stochastisch unabhängig
Eine Münze wird zweimal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten wir zunächst „Zahl“ und dann „Wappen“?
A: Zahl beim 1. Wurf ⇒ P(A) = 1/2
B: Wappen beim 2. Wurf ⇒ P(B) = 1/2
Die beiden Ereignisse sind unabhängig voneinander.
⇒ die Wahrscheinlichkeit P für A∩B d.h. zunächst „Zahl“ und dann „Wappen“ beträgt:
P(A∩B) = P(A)⋅P(B) = 1/2 ⋅1/2 = 1/4
Zufallsvariable
Definition: Eine Zufallsvariable X ist
➡eine Funktion, die jedem Elementarereignis ω aus der Ergebnismenge Ω genau eine reelle
Zahl X(ω) zuordnet.
➡Sie heißt diskret, wenn sie endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annehmen kann.
➡Sie heißt stetig wenn sie jeden Wert aus einem Intervall annehmen kann.
Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen
Definition: Die Verteilungsfunktion F(x) einer Zufallsvariablen X ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable einen Wert annimmt, der höchstens gleich einem vorgegebenen Zahlenwert x ist:
F(x) = P(X ≤ x)
Hinweis: Vergleiche Idee Summenhäufigkeitsfunktion F(t)
Binomialverteilung
Beispiel: Ein Korb enthält N Bälle, davon sind M rot und N − M grün. Die Wahrscheinlichkeit, einen
roten Ball zu ziehen, ist also p = M / N. Es werden einzeln und nacheinander insgesamt n Bälle
entnommen, untersucht und wieder zurückgelegt.N=7
M=3
N-M=7-3=4
p = M / N =3/7=0,43=43%
Insgesamt gibt es \(N^n\) Möglichkeiten für die Auswahl der Bälle, die Fee zieht n mal aus N
Bällen. Beispiel: N=7 und n=10 daraus folgt 710=282475249 Möglichkeiten
In \( \binom{n}{k}\)Mk (N −M )n-k Fällen werden rote Bälle
ausgewählt. Beispiel: N (Bälle)=7, M (rote Bälle/ Teil Menge) =3, n (Ziehungen) =10,k=5
daraus folgt: Anzahl der Möglichkeiten
\( \binom{10}{5}\)35(7 − 3)10-5 =(10 ⋅ 9⋅8 ⋅7⋅6)/ (5⋅4 ⋅3⋅2⋅1) 35 * 45 = 62705664
\( \binom{10}{5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} \)
für n = 10 u. N = 7
p = Anzahl der günstigen Ereignisse/ Anzahl der möglichen Ereignisse
p =62705664 / 710= 62705664 /282475249 = 0,22 = 22%
p(k) =wahrscheinlichkeit das k eintritt
repräsentative Stichprobe
- nötig für die Induktive Statistik (die von Stichprobe auf Population/GG schließen will)
- Stichproben, die hinsichtlich möglichst vieler Merkmale & Merkmalskombinationen der
Population gleichen
- weiter müssen alle Elemente/ Merkmalsträger die gleiche wahrscheinlichkeit haben ausgewählt zu werden für die Stichprobe
Teilbereiche Induktiver Statistik
1. Parameterschätzung (Punkt- und Intervallschätzung)
- In welchem Bereich liegen die in Stichprobe ermittelten Parameter in GG?
2. Signifikanztest (statistische Hypothesenprüfung)
Existieren die in Stichprobe ermittelten Zusammenhänge/Unterschiede auch in GG?
-denn mathematische Grundlage der induktiven Statistik = Wahrscheinlichkeitstheorie:
Typischerweise werden die vorhandenen Daten einer Stichprobe als Realisationen von
stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen interpretiert (H0) so dass wahrscheinlichkeitstheoretische Methoden zur Untersuchung des stochastischen Verhaltens der Beobachtungen anwendbar sind.
Hypothesentest
Forschungshypothesen (H1): - Vermutungen über den Untersuchungsgegenstand
1. Zusammenhangshypothesen: Je höher Interesse an politischen Nachrichten umso länger ist Nutzungsdauer von Nachrichtenwebseiten.
2. Unterschiedshypothesen: Männer nutzen politische Nachrichtenseiten länger als Frauen.
Statistische Hypothesen:
- Null- (H0) und Alternativhypothese (H1 = Forschungshypothese)
H1: Zeitungsleser unterscheiden sich von Nichtlesern in ihrem politischen Interesse.
H0: Zeitungsleser & –nichtleser unterscheiden sich nicht hinsichtlich politischen Interesses.
Hypothesentest
- Zentrales Instrument zur Prüfung von Hypothesen: Signifikanztests
= Mathematische Tests, die über die Gültigkeit und Ungültigkeit von Hypothesen entscheiden
Grundprinzip: Ermittlung der Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ergebnis (H1) auereten kann, wenn
eigentlich H0 in der Grundgesamtheit zutrifft (α-Fehler).
- Zusammenhänge, Unterschiede, etc. gelten als signifikant, wenn sie sich nur mit einer geringen Wahrscheinlichkeit zufällig ergeben haben können
- da absolute Sicherheit nie möglich ist -> Einigung auf eine nötige Maximalwahrscheinlichkeit
(=Signifikanzniveau) für Fehlentscheidungen („Irrtumswahrscheinlichkeit“)
Wissenschaftliche Konvention:
- Stichprobenergebnisse sind statistisch verlässlich, wenn α < 5 % (.05) bzw. 1 % (.01)
- p ≤ .05 (= maximal 5 % Irrtumswahrscheinlichkeit)
p = Irrtumswahrscheinlichkeit = das man sich irrt wenn man die H0 verwirft u. die H1 annimmt u. sagt Zusammenhang ist nicht durch Zufall entstanden
Fehler 1. Art bei Hypothesentest (Signifikanztest)
• Ein Fehler 1. Art besteht darin, eine Nullhypothese zurückzuweisen, obwohl sie wahr ist (beruhend auf falschpositiven Ergebnissen).
• oder α-Fehler. Mathematisch formuliert bezeichnet er die Wahrscheinlichkeit, dass die so genannte Null- bzw. Ausgangshypothese "H0" abgelehnt wird, obwohl sie richtig ist.
• Die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 1. Art zu machen, falls die Nullhypothese richtig ist, wird bei der Berechnung von Signifikanzen als Irrtumswahrscheinlichkeit bezeichnet. (legt man selbst fest - mind. 5% kann aber auch gerinder sein)
Fehler 2. Art beim Hypothesentest (Signifikanztest) - Beta-Fehler
• Fehler 2. Art wird beim statistischen Testen der Fehler bezeichnet, den man begeht, wenn man die Nullhypothese (H0) beibehält, obwohl die Alternativhypothese (H1) gilt.
• auch β-Fehler (Beta-Fehler) und Falsch-negativ-Entscheidung.
• Im Gegensatz zum Fehler 1. Art, der eintritt, wenn H0 fälschlicherweise abgelehnt wird, lässt sich die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art meist nicht berechnen.
Varianz von Zufallsvariablen
- Varianz σ2 (Mü) einer Zufallsvariable X ist ein Streuungsmaß von X =Maß für die Abweichung einer Zufallsvariable von ihrem Erwartungswert E[X].
- misst Streuung der Werte relativ zum Erwartungswert, dabei werden die Quadrate der Abweichungen entsprechend ihrer Wahrscheinlichkeit gewichtet.
- Dichten anders wenn Erwartungswert zwar gleiche aber unterschiedlichen Varianzen.
- geringere Varianz= Schmaler/ spitzer Kurve
- höhere Varianz = Breiterer Kurve
Satz von Moivre-Laplace
Nach dem Satz von Moivre-Laplace konvergiert die Binomialverteilung für n→∞und Wahrscheinlichkeiten 0 < p < 1 gegen die Normalverteilung. Ist Xn eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parameter n, dann gilt:
- soll mir sagen, je kleiner die Abstände zwischen Werten ( bzw. je größer n und je kleiner p wird), um so mehr wird die Verteilung zur Kurve bzw. zur Normalverteilung.
np(1-p)>9 d.h. ab 20 Fällen ist statistik möglich
Normalverteilung
- die Binominaldichte geht in Normalverteilung über
• oder Gauß-Verteilung = wichtiger Typ kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
• IWahrscheinlichkeitsdichte = Gauß-Funktion, Gauß-Kurve, Gauß-Glocke o.Glockenkurve
• Viele natur-, wirtschafts- und ingenieurswissenschaftliche Vorgänge lassen sich durch die Normalverteilung entweder exakt oder wenigstens in sehr guter Näherung beschreiben
(vor allem Prozesse, die in mehreren Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene Richtungen wirken).
F(t )=P(X ≤ t ) = \( \int_{\infty}^x \mathrm{}\) f(t )dt (- unendlichkeit, minus fehlt)
Zentraler Grenzwertsatz
- zeigt den mathematischen Hintergrund zur Normalverteilung
Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass eine Summe von n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen im Grenzwert n →∞ normalverteilt ist.
D. h. dass man Zufallsvariablen dann als normalverteilt ansehen kann, wenn sie durch Überlagerung einer großen Zahl von Einflüssen entstehen, wobei jede einzelne Einflussgröße einen im Verhältnis zur Gesamtsumme unbedeutenden Beitrag liefert.
Parameterschätzungen
Die Zufallsvariable X genüge einer Wahrscheinlichkeits-Verteilung mit der vom Typ her bekannten Verteilung F(x), deren Parameter jedoch unbekannt sind.
Mit Hilfe der Parameterschätzungen möchte man nun den unbekannten Parameter näherungsweise bestimmen(„Punktschätzung“) und Konfidenz- oder
Vertrauensintervalle angeben, in denen der unbekannte Parameter mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit vermutet werden darf („Intervallschätzung“).
Eigenschaften von Schätzfunktionen
Schätzfunktionen werden als „optimal“ angesehen wenn sie folgende Eigenschaften besitzen:
• erwartungstreu d.h. ihr Parameter ist gleich dem zu schätzenden wahren Parameter
• konsistent (passend) d.h. sie konvergiert mit zunehmenden Stichprobenumfang n gegen den wahren Parameter (je größer N umso besser)
• effizient (wirksam) d.h. es gibt bei gleichem Stichprobenumfang n keine andere erwartungstreuere Schätzfunktion
Schätzung von Erwartungswert und Varianz
Voraussetzung: die Zufallvariablen X1, X2, ..., Xn genügen alle der gleichen Verteilung mit dem Erwartungswert μ und der Varianz σ2
• Schätzfunktionen für den Erwartungswert & Varianz sind erwartungstreu & konsistent, die
Schätzfunktion für den Erwartungswert ist auch effizient
• Sind alle Zufallsvariablen Xi außerdem noch normalverteilt so ist auch die Schätzfunktion für den Erwartungswert - normalverteilte Zufallsgrösse für die gilt:
E(\(\bar{X}\)) = μ und Var(\(\bar{X}\)) = σ2/ n
Dies gilt näherungsweise auch für beliebig verteilte Zufallsvariablen.
Erwartungswert = Mittelwert
Varianz = theoretische Varianz - aber Standardabweichung ist auch nötig
Konfidenz- oder Vertrauensintervalle
• ermöglichen Aussagen über Genauigkeit 6 Zuverlässigkeit von Parameterschätzungen.
• Mit vorgegebenen Wahrscheinlichkeit γ lässt sich aus konkreten Stichprobe Konfidenzintervall bestimmen, in dem wahre aber unbekannte Wert des Parameters vermutet wird.
• Die vorgegebene Wahrscheinlichkeit γ wird als Vertrauens-niveau bezeichnet. Die Grösse α = 1- γ heißt Irrtumswahrscheinlichkeit.
• Verschiedene Stichproben führen zu verschiedenen Vertrauensintervallen.
• Vor der Durchführung der Stichprobe besteht die Wahrscheinlichkeit γ = 1- α, ein Intervall zu erhalten, das den unbekannten Parameter überdeckt. Nach Durchführung darf man darauf vertrauen, dass nach einer Vielzahl von durchgeführten Stichproben der wahre Parameter innerhalb des Vertrauensintervalls liegt.
• Der wahre Wert des Parameters muss also nicht im Vertrauensintervall liegen- kann auch ausserhalb liegen mit Wahrscheinlichkeit α = 1- γ - dann Falschaussage ( Fehler 1.Art)
• In der Praxis übliche Werte für γ sind 0,95 = 95% oder 0,99 = 99%.
- Je grösser γ, umso breiter ist das Vertrauensintervall und umso unschärfer ist die Aussage.
Intervall liegt zwischen den INtervallgeren Cu = Untere Grenze u. Co = obere Grenze
zum Vergleich zweier Funktionen/ TAbellen/ Stichproben mit selben Mittelwert, aber wenn Standardabweichung unteschiedlich ist - andere Werte
Normierung
Zwei Glockenkurven mit dem gleichen σ (Standardabweichung?) , aber unterschiedlichen μ (MÜ - Erwartungswert) haben gleich aussehende Graphen, die jedoch auf der x -Achse um die Differenz der μ -Werte zueinander verschoben sind. Jede Normalverteilung lässt sich mit Hilfe der linearen Substitution: z = t − μ/ σ
auf folgende Form bringen von der sich zeigen lasst, das die Fläche unter ihr 1 entspricht:
Transformation zur Standardnormalverteilung Φ
Eine Normalverteilung mit beliebigen μ und und σ der Verteilungsfunktion F(x) hat die nachfolgende Beziehung zur N(0,1)-Verteilung: F(x) = Φ *[( x−μ) /σ]
Geometrisch betrachtet entspricht die durchgeführte Substitution einer flächentreuen Transformation der Glockenkurve N(μ;σ) zur Glockenkurve N(0;1).
Tabelle:
Aus der Tabelle kann die Wahrscheinlichkeit für die Standardnormalverteilung
ermittelt werden.
- Aufgrund des Zusammenhanges Φ(−z) = −Φ(z) sind hier nur positiven Werte zu finden.
- z bis zum Zehntel in linken Randzeile der Tabelle & das Hundertstel findet sich in Kopfzeile
Für z ≥ 4 gilt Φ(z) ≈1
Beispiel - Konfidenzintervall
1.) Wahl ein bestimmtes Vertrauensniveau γ (Iübliche werte für γ sind 0,95 oder 0,99)
2.) Berechnung der Konstanten c aus der Bedingung P(-c≤T≤c) = γ für die t-Verteilung mit f = n - 1 Freiheitsgraden genügenden. (für symetische Intervalle)
T = (X(strich) − μ) / (S / Wurzel ( n) ⇒ P(−c ≤ T ≤ c) = 2T (c)−1 = 0,95 ⇒2T (c) = 1,95⇒T (c) = 0,975 aus Tabelle folgt: c = 2,131
- Aus Tabelle für T-Verteilung ablesen - dafür nötig:
Freiheitsgrade/ d.F = n -1 (in den Zeilen);
Vertraunesniveau γ = 0,95 (in den Spalten, ein-o. beidseitig, je nach Hypothese)
3.) Berechnung des Mittelwerts und der Varianz:
Mittelwert ( 1/n * (Summe aller werte); Varianz (1/ n-1) * (Summe jedes Wert - Mittelwert )²
4.) In Formel einsetzten:
\(\bar{x}- c*(\frac {s} {\sqrt{n}})≤ μ ≤ x +c*(\frac {s} {\sqrt{n}})\)
\(\bar{x}\)= Mittelwert; s = Standardabweichung (Wurzel v. S²); n = Anzahl; c = Wert aus Tabelle
Bsp. 96,08 ≤ μ ≤107,92
Parametrische Tests:
Bei Parametertests interessieren konkrete Werte wie Varianz oder Mittelwert
Nicht-parametrische Tests:
Bei parameterfreien Tests wird der Typ der Zufallsverteilung überprüft
Der „t-Test“
- für den Erwartungswert einer normalverteilten Stichprobe
- Voraussetzung - AV muss:
- Intervallskalenniveau haben (rechnet mit Mittelwerten), Normalverteilt sein, N = mind. 30
- DER BEGRIFF: gibts eig. nicht = beliebigen Hypothesentest mit t-verteilter Testprüfgröße
- DIE AUFGABE: Hypothesen über Erwartungswerte einer oder zweier normalverteilter Grundgesamtheiten getestet
Test für den unbekannten Erwartungswert μ einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz σ2
X sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit unbekannter Varianz σ2. Es soll geprüft werden, ob der ebenfalls unbekannte Mittelwert μ dem speziellen Wert μ0 (H0) entspricht.
- Auf Basis Zufallsstichprobe x1,x2,..,xn vom Umfang n soll die Nullhypothese μ=μ0 getestet werden.
Vergehensweise Test
Generelles Vorgehen bei der Konstruktion eines Tests:
1.Aufstellen/ betrachten einer Nullhypothese H0 und ihrer Alternativhypothese H1
Voraussetzungen
- Skalenniveau der Variablen prüfen (UV nominal; AV metrisch)
- Normalverteilung prüfen ( Modus = Median = Mittel, Schiefe & Kurtosis)
- Homogenität der Varianzen prüfen ( In SPSS)
2.Bestimmung des kritischen Bereiches K zum Signifikanzniveau α, das vor Realisation der Stichprobe feststehen muss. Der kritische Bereich wird aus den unter der Nullhypothese nur mit geringer Wahrscheinlichkeit auftretenden Werten der Teststatistik gebildet.
3.Berechnung der Testgröße oder Teststatistik T aus der Stichprobe
4.Treffen der Testentscheidung
Vorgehen Tests : Schritt 1
Formulierung der H0 u. H1:
- Für Stichprobe aus normalverteilten GG mit unbekanntem Erwartungswert μ & unbekannter Standardabweichung σ soll die
Nullhypothese H0:μ = μ0 - (mit einem festen vermuteten Wert μ0) gegen
Alternative H1:μ ≠ μ0 getestet werden.
Vorgehen Tests: Schritt 2 - Test und Prüfvariable
Berechnung des kritischen Wertes c aus der Bedingung P(-c≤T≤c) = γ für die t-Verteilung
mit f = n - 1 Freiheitsgraden genügenden Zufallsvariablen.
T = (\(\bar{x}\) − μ) /S / \(\sqrt{n}\) ⇒ P(−c ≤ T ≤ c)H0 = 1−α (z.B. 1-0,95=0,05 - kritischer Bereich = 5%)
• Bestimmung des kritischen Bereiches K zum Signifikanzniveau α.
• Signifikanzniveau α=5% d.h. wir akzeptieren 5% Fehlentscheidungen
• Für das 0,95-Quantil der t-Verteilung mit 10 − 1 = 9 Freiheitsgraden findet man mit Hilfe einer t-Tabelle oder eines Computerprogramms den Wert t(0,95;9) = 1,833.
Vorgehen Tests: 3.Schritt: Berechnung der Testgröße
Berechnung des Mittelwerts ( \(\bar{X}\) )und der Standartabweichung (S) der vorgegebenen konkreten
Stichprobe x1,x2,...,xn sowie des Test- und Prüfwertes der Testvariablen T:
\(T = {\bar{X} - μ \over S / \sqrt {n}}\)
μ = Erwartetungswert; in Aufgabenstellung gegeben
Vorgehen Tests: Schritt 4: Das Vertrauensintervall
- schauen ob Testgröße t aus Schritt 3 im kritischen Bereich, der durch T-Wert (der aus Tabelle abgelesen wurde) begrenzt wurd, liegt oder nicht.
Also kann H0 abgelehnt werden oder nicht?
t < T-Wert(c-WErt) oder t > T-Wert - abhängig von der Hypothese
Verschiede Testverfahren
(UV - Nominal)
Chi² : AV nominal/ Kategorial - Vergleich beobachten mit erwarteten Häufigkeiten)
U-Test : AV mind. ordninal und UV 2Gruppen
H-Test: AV mind. ordninal und UV > 2Gruppen
T-Test: AV mind. intervall und UV 2 Gruppen
F-Test/ Varianzanalyse: AV mind. intervall und UV > 2 Gruppen
T-Test bei einer Stichprobe
- Vergleich eines bekannten Mittelwertes mit dem einer Stichprobe.
Es gibt eine Gruppe, die mit einem bekannten Mittelwert verglichen wird:
- Entspricht das Durchschnittsalter der Studenten heute dem der Studenten im Jahr 2000?
T-Test bei abhängigen Stichproben
Vergleich der Migelwerte zweier abhängiger Stichproben (Eheleute, ELtern u. Kinder, Leute die selben Test mehrmals machen)
Es gibt eine Gruppe mit zwei unterschiedlichen Konditionen
- Bewertet der Spiegel die Berichterstagung zweier Themen unterschiedlich?
- Fällt Bewertung der Spannung einer Gruppe über Scream 1 anders aus als über Scream 2?
T-Test bei unabhängigen Stichproben
Vergleich der Mittelwerte zweier unabhängiger Stichproben
Es gibt zwei unterschiedliche Gruppen, mit unterschiedlichen Konditionen
- Stellt der Spiegel die Berichterstagung positiver dar als der Focus?
- Fällt Bewertung von Spannung höher bei Gruppe 1 (Scream 1 gesehen) oder bei Gruppe 2
(Scream 1 gesehen) aus?
