Quanti Methoden
Basis Wissen Statistik - Quantitative Methoden
Basis Wissen Statistik - Quantitative Methoden
Chi² - Prüfgröße für Unabhängigkeitstest
Setzt man für die erwartete Häufigkeit bei Vorliegen von Unabhängigkeit:
Erwartete Werte= n*jk = (nj. * n.k) / n = n0rs = (nr. * n.s) / n = Summe der Zeile * Summer der Spalte / N
Residuen = (n*jk - njk) = ( nrs - nors) - (Tatsächlicher Wert - erwarteter Wert)
Alles wichtig Prüfgröße für Unabhängigkeitstest - X²
χ² = Summe aller (quardierter Residuen / erwarteter Wert=n0rs)
Chi-Quadrat-Verteilung
Die Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden beschreibt die Verteilung der Summe n stochastisch unabhängiger quadrierter standardnormalverteilter Zufallsvariablen
- wird aus Tabelle Abgelesen!
Vierfeldertest
Vorgehensweise - Generell bei Tests
1.Erstellen/ Ablesen einer Nullhypothese H0 und ihrer Alternativhypothese H1
2.Bestimmung des kritischen Bereiches zu SIgnifikanzniveau α,
3.Berechnung der Testgröße oder Teststatistik T aus der Stichprobe
4.Treffen der Testentscheidung
2. Bestimmung des kritischen Bereiches:
Ablesen aus Tabelle: Freiheitsgrade bei Chi² : df = (r-1) * (c-1) r = Anzahl Reihen, C = Anzahl Spalten
Für 2x2 Tabelle u. p=0,95 - C-Wert für X² = 3,48.
3. Berechnung der Testgröße: siehe Bild - tobs
4.) Treffen der Testentscheidung
a) .Liegt tobs nicht in K (kritischen Bereich), so wird H0 beibehalten.
1.2.Liegt tobs in K, so lehnt man H0 zugunsten von H1 ab.
- Kritischer Bereich K ( recht von C-Wert also muss t > C sein
Anova / Varianzanalyse
• Normalverteilung der Grundgesamtheit
Annahme: wenn unsere Stichprobe & auch die GG annähernd normalverteilt sind
• Varianzhomogenität
Varianzen in den einzelnen Gruppen sollten gleich sein. (überprüfen mit Levene‘s Test)
• ANOVA ist relativ robust gegenüber diesen Annahmen
Bei leichter Abweichung von Normalverteilung & Varianzhomogenität ist AVOVA trotzdem durchführbar. Wenn mehrere Annahmen grob verletzt sind → nicht parametrisches Verfahren verwenden
- Vergleich von Mittelwerten von mehr als 2 Gruppen (UV= nominal, AV = Metrisch)
• yij, 1≤i≤k, 1≤j≤ni
• Hierbei ist yij der j-te Beobachtungswert in der i-ten Gruppe.
• Insgesamt gibt es ni Beobachtungswerte in der i-ten Gruppe, und k verschiedene Gruppen.
• n = n1 + . . . + nk = Gesamtzahl der Beobachtungswerte.
k = Anzahl der Gruppen, i = Nummer der Gruppe, j = Beobachete
H0: zwischen den Erwartungswerten der Gruppen kein Unterschied besteht. (Mittelwerte sind gleich)
H1: zwischen mindestens zwei Erwartungswerten (Mittelwerte) der Gruppen ein Unterschied besteht.
yji = Einzelwert
y(quer)j = Mittelwert der Gruppen
y(quer) = Mittelwert
einfaktorielle Anova
• Bei einer einfaktoriellen Varianzanalyse untersucht man den Einfluss einer unabhängigen Variable (Faktor) mit k verschiedenen Gruppen auf die Ausprägungen einer Zufallsvariablen.
• Dazu werden die Mittelwerte der Ausprägungen für die Gruppen miteinander verglichen, und zwar vergleicht man die Varianz zwischen den Gruppen mit der Varianz innerhalb der Gruppen.
• Weil die totale Varianz sich zusammensetzt aus den zwei genannten Komponenten, spricht man von Varianzanalyse. Die einfaktorielle ANOVA ist die Verallgemeinerung des t-Tests im Falle mehr als zwei Gruppen. Für k=2 ist sie äquivalent mit dem t-Test.
Varianzzerlegung
SS T = Gesamt, Jeder Messwert - Gesamtmittel²
SSB = Erklärte Varianz, Jeder Gruppen Mittelwert - Gesamtmittel ²
SSW = nicht Erklärte, Jeder Einzelen Messwert aus der Gruppen - Gruppenmittelwert u. dann addieren
Gesamtvarianz = Streung alle Werte um den Gesamtmittelwert
Erklärte Varianz = Streunng der Gruppenmittelwerte um den Gesamtmittelwert, kann durch UV erklärt werden
nicht erklärte Varianz = die Streuung der Werte innerhalb der Gruppe um den Gruppenmittelwert, kann nicht durch die UV erklärt werden, geht auf andere Faktoren zurück
y(quer) = Summe alle Einzelwerte alle Gruppen / Anzahl aller Beobachtungen
y (quer)i = 1/ni * summe aller Werte
Teststatistik - Varianzanalyse
Ist die mittlere Streuung Zwischen den Stichproben groß im Verhältnis zur mittleren Streuung innerhalb der Stichproben, so wird die Nullhypothese identischer Erwartungeswerte abgelehnt.
Unter der Nullhypothese ist die Teststatistik F-verteilt mit k - 1 und n - 1 Freitheitsgraden. (k = Anzahl der Gruppen)
Dafür ist die Anova Tabelle nötig.
MSS = mittlere Quadratsumme -eig wie erklärte u. nicht erklärte Varianz
aber erklärte Varianz * 1 / k-1 mit k= Anzahl der Gruppen (z.b. 3 ) = 1 /3-1 = 1/2
nicht erklärte Varianz * 1/ n-k mit n = gesamt Anzahl u. k = Gruppen Anzahl z.b. n = 31 u. n = 3
1 /31-3 = 1/28
- der Wert der Teststatistik wird dann mit dem F-Wert, der aus der Tabelle der F-Verteilung abgelesen werden kann, dafür df1/ fz - Zähler freiheitsgrad = k-1 mit k = Gruppen anzahle
df2/fn = Nennerfreiheitsgrad = n-k mit n = Fallanzahl, K = Gruppenanzahl,
alpha wie immer 0,05 deswegen 1-0,05 = 0,95
- wenn F- Wert > T-Wert (Teststatistik) H0 beibehalten
- rechte von F-WErt = Kritischer bereich wenn T > F - H0 ablehen
Anova Tabelle
Korrelation
- besteht ein Linearer zusammenhang ja / nein?
- anhand einer Punktewolke erkennbar
Kovarianz
Definition: Sind X und Y zwei Zufallsvariablen, die quadratisch integrierbar sind, d. h. die Erwartungswerte E E(X²) und E (Y²) existieren, dann heißt:
Cov(X,Y ) := E((X − E(X))(Y − E(Y ))) die Kovarianz von X und Y.
Korrelationskoeffizient
• Der Korrelationskoeffizient ist ein dimensionsloses Maß für den Grad des linearen Zusammenhangs zwischen zwei mindestens intervallskalierten Merkmalen.
• Er kann Werte zwischen −1 und 1 annehmen.
• Bei einem Wert von +1 (bzw. −1) besteht ein vollständig positiver (bzw. negativer) linearer Zusammenhang zwischen den betrachteten Merkmalen.
• Wenn der Korrelationskoeffizient den Wert 0 aufweist, hängen die beiden Merkmale überhaupt nicht linear voneinander ab
r nach Pearson:
Für metrisch skalierte Merkmale stellt der Korrelationskoeffizient rxy oder kurz r nach Pearson ein Maß für die lineare Abhängigkeit 2 Variablen dar.
Für zwei quadratisch integrierbare Zufallsvariablen X und Y mit jeweils positiver Varianz ist der
Korrelationskoeffizient durch definiert:
r = \(x = {{cov(X,Y)} \over \sqrt{ Var(X) * Var(Y)} }\) Var(X)/ (Y) = Varianz Gruppe X/Y ( jeder Wert - Mittelwert )² (nicht * 1/n)
mit con( X,Y) = [(Xi - x(quer)]* [yi - y(quer)] = bei jedem i z.b. i=1 erste Spalte und dann alle diese Werte Addieren und i - ist bei x und y gleich!!!
[(Xi - x(quer)] = x* und [yi - y(quer)] = y*
n = 9 dann:
con(X,Y) = [(X1 - x(quer)]* [y1 - y(quer)] + [(X2 - x(quer)]* [y2 - y(quer)] +... + [(x9 - x(quer)]* [y9 - y(quer)]
Probleme der Korrelation
- ist blin gegenüber anderen als Linearen Zusammenhängen
Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman ( Rho)
• Für Variablen, die stark von der Normalverteilung abweichen, und auch ordinalskalierte Variablen,
eignet sich der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman.
• Hier werden die einzelnen Beobachtungen von x bzw. y der Größe nach geordnet.
• Jedem Wert wird seine Rangzahl zugewiesen.
Aus diesen Rängen wird der Korrelationskoeffizent nachPearson errechnet. Man erhält so den Korrelationskoeffizenten nach Spearman-Pearson ( rsp)
also: rg = Rang - der selbst errechnet wird - dann in Pearson einsetzen
- statistisch schwierig, weil ordinal wie metrisch behandelt wird, bzw. künstlich eine Intervallskalierung erstellt wird
Schritte für Spearmans rs
1. Anordnung festlegen:
- Stoffmenge x : zu gering < optimal < zu gross
- Note y : sehr gut < gut < befriedigend < ausreichend < mangelhaft < ungenügend
2. Rang berechnen:
- Probanden haben selbe ausprägung gewählt (gut), 3 Leute= Häufigkeit, eig Nummer 2,3,4 (da einmal Sehr gut angegeben wurde) - berechnng des Rangs: alle Nummer addieren / Häufigkeit = Rang hier: 2+3+4/ 3 = 3 (siehe Bild)
3. rsp berechnen:
- hierbei kombi der Probande, angaben zur Stoffmenge u. Noten mit Rang
- errechnen Mittelwert beider Gruppen
- x* = xi-X(quer) errechnen (auch für y)
- für Con(X,Y) = Summe [xi-x(quer)]* [yi-y(quer)]
- Var(X)/(Y)= Summe jedes [xi-x(quer)]²
Regression
Idee: Gerade in die Punktewolke legen, die Zu allen Messwerten, den kleinsten möglichen Abstand hat um den "wahren" Wert zu finden, er unbekannt ist
- ist ein statistisches Analyseverfahren. Ziel ist es, Beziehungen zwischen einer abhängigen und einer oder mehreren unabhängigen Variablen festzustellen.
- Allgemein wird eine metrische Variable Y betrachtet, die von einer zweiten Variablen x abhängt
• Im Falle der wahrscheinlichkeitstheoretisch basierten Regression sind die beobachteten Variablen mit
einem zufälligen Fehler ε behaftet.
• Dies wird durch Y = f(x) + ε modelliert.
• Die „wahren“ Zusammenhänge zwischen Y und f(x) sind demnach nicht bekannt und müssen geschätzt
oder prognostiziert werden
Ansatz Regression
• Man betrachtet 2 Variablen Y und x, die vermutlich ungefähr in einem linearen Zusammenhang stehen
mit Y≈α+βx
• Der funktionale Zusammenhang Y = f(x) zwischen x und Y kann nicht exakt festgestellt werden, da α + βx von einer Störgröße ε überlagert wird.
• Diese Störgröße ε ist als Zufallsvariable (der GG) konzipiert, die nichterfassbare Einflüsse (menschliches Verhalten oder Messungenauigkeiten oder ähnliches) darstellt
• Es ergibt sich also das Modell Y=α+βX+ε oder komponentenweise yi=α+βxi+εi
• Da α und β nicht bekannt sind, kann y nicht in die Komponenten α + βx und ε zerlegt werden. Eine
mathematische Schätzung für die Parameter α und β durch a und b gefunden werden, damit ergibt sich yi=a+bxi+ei mit dem Residuum ei der Stichprobe.
• Das Residuum gibt die Differenz zwischen der Regressionsgerade a + bxi und den Messwerten yi an.
Minimum-Quadrat-Methode
Man minimiert die summierten Quadrate der Residuen,
RSS = SSRes =\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} = e_i^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (y_i - (a+bx_i))^2\to min \) bezüglich a und b.
Durch partielles Differenzieren und Nullsetzen der Ableitungen erster Ordnung erhält man ein System
von Normalgleichungen.
Regressionskoeffizienten
Die gesuchten Regressionskoeffizienten sind die Lösungen:
b = SSxy / SSxx (siehe bild)
- also SSxy = Summe aller (xi − x )*(yi − y), SSxx = Summe (xi − x )² (die beiden 1/n kürzen sich raus)
a = y(quer) − bx(quer) = Mittelwert Y - b* Mittelwert X
mit als arithmetischem Mittel der x-Werte und als arithmetischem Mittel der y-Werte. SSxy stellt die
empirische Kovarianz zwischen den xi und yi dar. SSxx bezeichnet die empirische Varianz der xi.
Bestimmtheitsmaß R²
• R² (auch Determinationskoeffizient) ist Anteil der Variation der durch die lineare Regression erklärt wird
• 0 (oder 0 %): kein linearer Zusammenhang
• 1 (oder 100%): perfekter linearer Zusammenhang
- der Zusammenhang von R² und r - r ist die Wurzel von R²
kleines r - r² - wird aus statistsichen Sachen gelöst, Korrellationskoeffizient, R² = hat ne verbindung zu kein r,
r² = 1- (variation der Residuen / Variation von Y) = 1- [Summe (Yi −Yˆi) ² / (Yi −Y(quer))²]
Variation Residuen = Summe der Y-Wert minus y Schätzer ins quadrat,
y schätzer = x-Wert in Geradengleichung von r (yi = b*x + a) einzusetzen u. so für jeden x wert einen y schätz wert zu erhalten
- jeder dieser schätzwerte wird vom passenden y Wert (in der Zeile) abgezogen und dann quadriert
Antwortsatz:
x% dervVariation der Beobachtungswerte wird durch das lineare Modell erklärt. Nur 100-x% der Variation bleiben unerklärt und haben unter Umständen andere Einflussfaktoren.
Die Grenzen von R²
60 % der Variation der Beobachtungswerte wird durch das lineare Modell erklärt. Nur 40% der Variation
bleiben unerklärt und haben unter Umständen andere Einflussfaktoren.
- R² zeigt zwar Qualität der linearen Approximation aber nicht, ob das Modell richtig spezifiziert wurde.
- sagt nichts darüber aus, ob die UV wirklich der Grund für die Änderungen in sind.
- Es nichts über die statistische Signifikanz des ermittelten Zusammenhangs aus.
- macht keine Aussage, ob Transformation der Daten die Erklärungskraft der Regression verbessert.
• hohes R² erlaubt eine gute Vorhersage.
• hohes R² gibt an, dass geschätzte Regressionslinie eine gute Approximation an die Daten darstellt
• R² nahe bei Null zeigt an, dass es keinen linearen Zusammenhang zwischen der AV & UVs gibt
objektiv
unabhängig vom Standpunkt des Statistikherstellers,
Statistikhersteller muss austauschbar sein,
jeder der bestimmtes (gleiche) Verfahren anwendet - kommt zum selben Schluss
reliabel
verlässlich, frei von Zufallsfehleren
- unter gleichen Rahmenbedingunge = gleiches Ergebnis
( - Maß für die Replizierbarkeit der Ergebnisse unter gleichen Bedingungen.)
valide
überkontextuell gültig
- Statsistik ist dann valide, wenn sie Gewicht für Aussage/ Theorie/ Feststellung hat
- Belastbarkeit der Operationalisierung - wird das gemessen, was gemessen werden soll (Rechentest zu nur + u. - soll etwas über alle Grundrechenarten aussagen = nicht valide)
- Belastbarkeit der Aussage/ Schlussfolgerung der Messung
= Wie weit trifft zu das UV (X) die AV (Y) beeinflusst?
signifikant
bedeutend
- Wahrscheinlichkeit, dass die Aussage der Statistik durch Zufall so zustande kommt, nur gering ist.
- Signifikanz deutet auf (möglichen) Zusammenhang zwischen Messgößen (UV & AV) hin
Deskriptive Statistik
- beschreibende / empirische Stat.
- Zusammenfassung/ Ordnung von Beobachtungen
Definition: vorliegende Daten werden in geeigneter Weise beschrieben u. zusammengefasst
Werkzuege: Tabellen, Diagramme, Grafiken, Lage- und Streuungsparameter
Erkenntnisse: untersuchte Datensatz kann genau beschrieben werden. Verschiedene Variable können zu Kenngrößen/ Kennzahlen zusammengefasst werden
Diagramme
Definition: grafische Darstellung v. Daten/ Sachverhalten oder Informationen
Arten: z.B. Streudiagramm, Liniendiagramm (Verbunden Punkte) , Stabdiagramm (Strich nach oben, je danach wie oft Wert vorhanden etc.), Säulendiagramm, Balkendiagramm, Kreisdiagramm, Histogramm, Zeitreihe
- ohne zusätzliche Textinformationen lesen beziehungsweise interpretieren
- nicht manipulativ
Infografiken
Definition: visuelle Repräsentation von Gesamtzusammenhängen in einer Abbildung
Anwendung: in visuellen Medien = Printmedien u. Fernsehen. Bzw. Schul- und Lehrbüchern
- durch einen erklärenden Text, der sich innerhalb der Abbildung befindet, ergänzt
- Bildelemente nicht ohne zusätzliche Erläuterung in Form eines Textbausteins verständlich
- kann manipulativ wirken im gegensatz zum Diagramm
Explorative Statistik
- hypothesengenerierende Stat.
Definition: sucht systematisch mögliche Zusammenhänge (oder Unterschiede) zwischen Daten (mittels deskriptiver Verfahren und induktiver Test-Methoden)
Werkzeuge: interaktive statistische Grafik.
Erkenntisse: Ansatzpunkte für neue Hypothesen- die dann weiter mit der induktiven Statistik untersucht werden können.
Induktive Statistik
- schließende/ Inferenzstatistik
- Verallgemeinerung von Beobachtungen (Signifikanz)
- Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten mit denen Aussagen für die Grundgesamtheit gelten
Definition: leitet aus den Daten einer Stichprobe Eigenschaften einer Grundgesamtheit ab.
Werkzeuge: Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätzverfahren, Testverfahren
Erkenntisse: Zusammenhänge und Aussagen über die Stichprobe können auf die Grundgesamtheit verallgemeinert werden.
Grundgesamtheit und Untersuchungseinheit
Die Grundgesamtheit bezeichnen wir mit Ω. ( z.B. Schüler der Klasse 7c)
Die Untersuchungseinheit ( auch Element, Objekt, Individum) bezeichnen wir mit ω. (z.B.Max H. )
Die Grundgesamtheit Ω ist die Menge ihrer Elemente ω.
Zufallsstichprobe
- Eine aus der Grundgesamtheit Ω nach dem Zufallsprinzip herausgegriffene Teilmenge mit n Elementen ω heißt Zufallsstichprobe vom Umfang n
- Die Auswahl der Elemente muss wahllos und unabhängig voneinander geschehen, d.h. alle ω ∈ Ω müssen die gleiche Chance haben ausgewählt zu werden.
--> ω ∈ Ω = ω (klein Omega) sind Eltemente ( Teile) von Ω (Omega)
- Die beobachteten Merkmalswerte (Ausprägungen) x1,x2,x3,...,xn der n Elemente ω sind Realisierungen = Stichprobenwerte xi = x1, x2...xn
Absolute Häufigkeit
Absolute Häufigkeit ni = Anzahl der in Stichprobe vorkommenden gleichen Merkmalsausprägung.
D.h. kommt der Stichprobenwert xi genau ni-mal in der Stichprobe vor so heißt diese Zahl ni absolute Häufigkeit des Stichprobenwertes xi (i = 1, 2, 3, ...,k mit \(k \leq n\)).
Relative Häufigkeiten
Dividiert man die absolute Häufigkeit ni durch die Anzahl der Stichprobenwerte so erhält man die relative Häufigkeit hi :
wobei gilt: hi = ni/ n
0 < hi ≤1 und \(\displaystyle\sum_{i=1}^{k} h_i\) = h1 + h2 + ...+ hk = 1
hi liegt zwischen 0 u. 1 u. alle hi (relativen Häufigkeiten addiert ergeben 1
Häufigkeitsfunktion f (x)
Die Verteilung der einzelnen Stichprobenwerte xi in einer geordneten Stichprobe vom Umfang n mit k = verschiedenen Werten x1, x2, x3 läßt sich durch die Häufigkeitsfunktion beschreiben.
Merkmale und Ausprägungen
An Untersuchungseinheiten/ Probanden (ω) werden Merkmale(Xn) und deren Ausprägungen (xn) erhoben.
Merkmal X1 = Anzahl der Verweise
Ausprägung x des Merkmals X = 1; Man schreiben: Anzahl der Verweise(Max H.) = 1
Oder allgemein: X(ω) = x [also X(Max Huber) = 1]
Zu einer Untersuchungseinheit kann es viele Merkmale geben. - Bsp. X1 = „Anzahl Verweise“, X2 = „Fach“, X3= „Alter“ usw
Schreibweise: X(ω) = ( X1 (ω), X2 (ω), X3 (ω)) also X(Max Huber) = ( 1, Mathematik, 13)
Nominal skaliertes Merkmal
- Ausprägungen = Namen
- Verschiedenheit
- keine Rangfolge, keine gleich großen Abstände zwischen den Messpunkten, kein Nullpunkt
- geringster Informationsgehalt
- Transformierbarkeit
entweder X (ω1) = X (ω2) oder X (ω1) ≠ X (ω2)
Lage- u. Streuungsmaße: Modus/ Modalwert u. Range/ Spannweite
Bsp.: Namen, GEschlecht, Nationalität, Steuerklassen, Autotypen usw.
Ordinal skaliertes Merkmal
- Ausprägungen sind Namen, die sich anordnen lassen.
- Verschiedenheit, Rangfolge
- keine gleich großen Abstände zwischen den Messpunkten, kein exis?erender Nullpunkt
entweder X (ω1) ≤ X (ω2) oder X (ω1) ≥ X (ω2)
- Lage- u. Streuungsmaße: Median u. Interquartilsabstand
Bsp.:Uni-Ranking, Bundesligatabelle, Schulnoten, Klassen im Flugzeug, Schadstoffklassen
Intervall skaliert
- kardinal / metrisch
- Seine Ausprägungen sind Maße
- Verschiedenheit, Rangfolge, gleich große, Abstände zwischen den Messpunkten
- kein Nullpunkt
X (ω1) − X (ω2)
Lage- u, Streungsmaße: Mittelwert & Variation, Varianz, Standardabweichung
z.B. Temperatur in Celsius oder Fahrenheit, IQ-Test
proportional skalierte Merkmale
- kardinal/ Metrisch
- Seine Ausprägungen sind Maße
- Verschiedenheit, Rangfolge, gleich große Abstände zwischen den Messpunkten & Nullpunkt
- höchster Informationsgehalt
X (ω2)= n * X (ω1)
Lage- u. Streungsmaße: Mittelwert & Variation, Varianz, Standardabweichung
z.B. Masse, Zeit, Temperatur in Kelvin, Länge, Einkommen
Merkmale
Ein Merkmal X ist eine Abbildung von Ω in eine Menge M : X : Ω→ M mit X (ω) = x ∈ X(Ω) ( = Ausprägungen x ist ein Element von Merkmalen X der Grundgesamtheit Ω)
Wenn die Wertemenge X(Ω)={X(ω) | ω ∈ Ω}
- eine Menge ohne weitere Struktur ist, so ist X ein nominales Merkmal.
- Ist X(Ω) eine geordnete Menge, so ist X ein ordinales Merkmal
- Ist X(Ω)⊂ IRk und übernimmt X(Ω) die euklidische Metrik, so ist X ein k-dimensionales quantitatives oder kardinales Merkmal ( X(Ω)⊂ IRk = im Raum unserer Anschauung, euklidische Metrik = gleiche/ proportionale abstände
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Flashcards
objektiv
unabhängig vom Standpunkt des Statistikherstellers,
Statistikhersteller muss austauschbar sein,
jeder der bestimmtes (gleiche) Verfahren anwendet - kommt zum selben Schluss
reliabel
verlässlich, frei von Zufallsfehleren
- unter gleichen Rahmenbedingunge = gleiches Ergebnis
( - Maß für die Replizierbarkeit der Ergebnisse unter gleichen Bedingungen.)
valide
überkontextuell gültig
- Statsistik ist dann valide, wenn sie Gewicht für Aussage/ Theorie/ Feststellung hat
- Belastbarkeit der Operationalisierung - wird das gemessen, was gemessen werden soll (Rechentest zu nur + u. - soll etwas über alle Grundrechenarten aussagen = nicht valide)
- Belastbarkeit der Aussage/ Schlussfolgerung der Messung
= Wie weit trifft zu das UV (X) die AV (Y) beeinflusst?
signifikant
bedeutend
- Wahrscheinlichkeit, dass die Aussage der Statistik durch Zufall so zustande kommt, nur gering ist.
- Signifikanz deutet auf (möglichen) Zusammenhang zwischen Messgößen (UV & AV) hin
Deskriptive Statistik
- beschreibende / empirische Stat.
- Zusammenfassung/ Ordnung von Beobachtungen
Definition: vorliegende Daten werden in geeigneter Weise beschrieben u. zusammengefasst
Werkzuege: Tabellen, Diagramme, Grafiken, Lage- und Streuungsparameter
Erkenntnisse: untersuchte Datensatz kann genau beschrieben werden. Verschiedene Variable können zu Kenngrößen/ Kennzahlen zusammengefasst werden
Diagramme
Definition: grafische Darstellung v. Daten/ Sachverhalten oder Informationen
Arten: z.B. Streudiagramm, Liniendiagramm (Verbunden Punkte) , Stabdiagramm (Strich nach oben, je danach wie oft Wert vorhanden etc.), Säulendiagramm, Balkendiagramm, Kreisdiagramm, Histogramm, Zeitreihe
- ohne zusätzliche Textinformationen lesen beziehungsweise interpretieren
- nicht manipulativ
Infografiken
Definition: visuelle Repräsentation von Gesamtzusammenhängen in einer Abbildung
Anwendung: in visuellen Medien = Printmedien u. Fernsehen. Bzw. Schul- und Lehrbüchern
- durch einen erklärenden Text, der sich innerhalb der Abbildung befindet, ergänzt
- Bildelemente nicht ohne zusätzliche Erläuterung in Form eines Textbausteins verständlich
- kann manipulativ wirken im gegensatz zum Diagramm
Explorative Statistik
- hypothesengenerierende Stat.
Definition: sucht systematisch mögliche Zusammenhänge (oder Unterschiede) zwischen Daten (mittels deskriptiver Verfahren und induktiver Test-Methoden)
Werkzeuge: interaktive statistische Grafik.
Erkenntisse: Ansatzpunkte für neue Hypothesen- die dann weiter mit der induktiven Statistik untersucht werden können.
Induktive Statistik
- schließende/ Inferenzstatistik
- Verallgemeinerung von Beobachtungen (Signifikanz)
- Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten mit denen Aussagen für die Grundgesamtheit gelten
Definition: leitet aus den Daten einer Stichprobe Eigenschaften einer Grundgesamtheit ab.
Werkzeuge: Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätzverfahren, Testverfahren
Erkenntisse: Zusammenhänge und Aussagen über die Stichprobe können auf die Grundgesamtheit verallgemeinert werden.
Grundgesamtheit und Untersuchungseinheit
Die Grundgesamtheit bezeichnen wir mit Ω. ( z.B. Schüler der Klasse 7c)
Die Untersuchungseinheit ( auch Element, Objekt, Individum) bezeichnen wir mit ω. (z.B.Max H. )
Die Grundgesamtheit Ω ist die Menge ihrer Elemente ω.
Zufallsstichprobe
- Eine aus der Grundgesamtheit Ω nach dem Zufallsprinzip herausgegriffene Teilmenge mit n Elementen ω heißt Zufallsstichprobe vom Umfang n
- Die Auswahl der Elemente muss wahllos und unabhängig voneinander geschehen, d.h. alle ω ∈ Ω müssen die gleiche Chance haben ausgewählt zu werden.
--> ω ∈ Ω = ω (klein Omega) sind Eltemente ( Teile) von Ω (Omega)
- Die beobachteten Merkmalswerte (Ausprägungen) x1,x2,x3,...,xn der n Elemente ω sind Realisierungen = Stichprobenwerte xi = x1, x2...xn
Absolute Häufigkeit
Absolute Häufigkeit ni = Anzahl der in Stichprobe vorkommenden gleichen Merkmalsausprägung.
D.h. kommt der Stichprobenwert xi genau ni-mal in der Stichprobe vor so heißt diese Zahl ni absolute Häufigkeit des Stichprobenwertes xi (i = 1, 2, 3, ...,k mit \(k \leq n\)).
Relative Häufigkeiten
Dividiert man die absolute Häufigkeit ni durch die Anzahl der Stichprobenwerte so erhält man die relative Häufigkeit hi :
wobei gilt: hi = ni/ n
0 < hi ≤1 und \(\displaystyle\sum_{i=1}^{k} h_i\) = h1 + h2 + ...+ hk = 1
hi liegt zwischen 0 u. 1 u. alle hi (relativen Häufigkeiten addiert ergeben 1
Häufigkeitsfunktion f (x)
Die Verteilung der einzelnen Stichprobenwerte xi in einer geordneten Stichprobe vom Umfang n mit k = verschiedenen Werten x1, x2, x3 läßt sich durch die Häufigkeitsfunktion beschreiben.
Merkmale und Ausprägungen
An Untersuchungseinheiten/ Probanden (ω) werden Merkmale(Xn) und deren Ausprägungen (xn) erhoben.
Merkmal X1 = Anzahl der Verweise
Ausprägung x des Merkmals X = 1; Man schreiben: Anzahl der Verweise(Max H.) = 1
Oder allgemein: X(ω) = x [also X(Max Huber) = 1]
Zu einer Untersuchungseinheit kann es viele Merkmale geben. - Bsp. X1 = „Anzahl Verweise“, X2 = „Fach“, X3= „Alter“ usw
Schreibweise: X(ω) = ( X1 (ω), X2 (ω), X3 (ω)) also X(Max Huber) = ( 1, Mathematik, 13)
Nominal skaliertes Merkmal
- Ausprägungen = Namen
- Verschiedenheit
- keine Rangfolge, keine gleich großen Abstände zwischen den Messpunkten, kein Nullpunkt
- geringster Informationsgehalt
- Transformierbarkeit
entweder X (ω1) = X (ω2) oder X (ω1) ≠ X (ω2)
Lage- u. Streuungsmaße: Modus/ Modalwert u. Range/ Spannweite
Bsp.: Namen, GEschlecht, Nationalität, Steuerklassen, Autotypen usw.
Ordinal skaliertes Merkmal
- Ausprägungen sind Namen, die sich anordnen lassen.
- Verschiedenheit, Rangfolge
- keine gleich großen Abstände zwischen den Messpunkten, kein exis?erender Nullpunkt
entweder X (ω1) ≤ X (ω2) oder X (ω1) ≥ X (ω2)
- Lage- u. Streuungsmaße: Median u. Interquartilsabstand
Bsp.:Uni-Ranking, Bundesligatabelle, Schulnoten, Klassen im Flugzeug, Schadstoffklassen
Intervall skaliert
- kardinal / metrisch
- Seine Ausprägungen sind Maße
- Verschiedenheit, Rangfolge, gleich große, Abstände zwischen den Messpunkten
- kein Nullpunkt
X (ω1) − X (ω2)
Lage- u, Streungsmaße: Mittelwert & Variation, Varianz, Standardabweichung
z.B. Temperatur in Celsius oder Fahrenheit, IQ-Test
proportional skalierte Merkmale
- kardinal/ Metrisch
- Seine Ausprägungen sind Maße
- Verschiedenheit, Rangfolge, gleich große Abstände zwischen den Messpunkten & Nullpunkt
- höchster Informationsgehalt
X (ω2)= n * X (ω1)
Lage- u. Streungsmaße: Mittelwert & Variation, Varianz, Standardabweichung
z.B. Masse, Zeit, Temperatur in Kelvin, Länge, Einkommen
Merkmale
Ein Merkmal X ist eine Abbildung von Ω in eine Menge M : X : Ω→ M mit X (ω) = x ∈ X(Ω) ( = Ausprägungen x ist ein Element von Merkmalen X der Grundgesamtheit Ω)
Wenn die Wertemenge X(Ω)={X(ω) | ω ∈ Ω}
- eine Menge ohne weitere Struktur ist, so ist X ein nominales Merkmal.
- Ist X(Ω) eine geordnete Menge, so ist X ein ordinales Merkmal
- Ist X(Ω)⊂ IRk und übernimmt X(Ω) die euklidische Metrik, so ist X ein k-dimensionales quantitatives oder kardinales Merkmal ( X(Ω)⊂ IRk = im Raum unserer Anschauung, euklidische Metrik = gleiche/ proportionale abstände
Parameter
• In der Statistik fassen aggregierende Parameter oder Maßzahlen die wesentlichen Eigenschaften
einer Häufigkeitsverteilung, z. B. einer längeren Reihe von Messdaten, oder einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zusammen.
• Einige Parameter der deskriptiven Statistik entsprechen den Momenten von Zufallsvariablen.
• Wir unterscheiden Lage- und Streuparameter
Lagemaße
- geben Auskune über die zentrale Tendenz in Variablen
Alle Definitionen von Lageparametern zielen darauf ab, die Lage der Ausprägungen xi in Bezug auf die Messskala zu beschreiben und zu einer einzelnen Zahl(zentrale Tendenz) zusammenzufassen.
In der deskriptiven Statistik nutzt man als Lageparameter:
• Arithmetisches Mittel
• Geometrisches Mittel
• Harmonisches Mittel
• Quantile: Median, Quartile, Dezile, Perzentile
• Modus = häfigster wert
Streuungsmaß - Streuungsparameter
- Zeigen das Ausmaß der Unterschiedlichkeit der Werte an
In der deskriptiven Statistik beschreibt man die
Streuung mit:
• Standardabweichung
• Spannweite
• Quantilsabstände
• Mittlerer Quartilsabstand
• empirische Varianz
Modus
Der Modus oder Modalwert ist
• bei einer empirischen Häufigkeitsverteilung der häufigste Wert,
• bei einer diskreten Zufallsvariable die Ausprägung mit der größten Wahrscheinlichkeit und
• bei einer stetigen Zufallsvariable die Maximumstelle der Dichtefunktion.
Kennwerte von Häufigkeiten/einfachen Verteilungen:
„häufigster Wert“
- es kann mehrere Modalwerte geben
- einsetzbar ab nominalem Skalenniveau (nominal, ordinal) – kaum gebräuchlich bei metrischem
Median
- teilt eine Liste von Werten in zwei Hälften gleicher Größe
- mind. Ordnialniveau nötig
• Alle Werte werden (aufsteigend) geordnet, nach größe
• Wenn die Anzahl der Werte ungerade ist, ist die mittlere Zahl der Median.
• Wenn die Anzahl der Werte gerade ist, wird der Median meist als Mittelwert der beiden mittleren Zahlen definiert, die dann Unter- und Obermedian heißen.
• Eine wichtige Eigenschaft des Medians ist Robustheit gegen Ausreißer.
In einer Reihe von statistischen Beobachtungen ergibt sich der Rang einer einzelnen Beobachtung x1...xi...xn als ihre Position i, wenn alle Beobachtungswerte der Größe nach geordnet und durch- nummeriert werden x(1)...x(i)...x(n).Der Median einer geordneten Stichprobe von Messwerten x(1)...x(i)...x(n) ist dann
also:
Für ungerades n: \(\tilde{X}\)= x(ni+1/2) - dabei ist
Für gerades n: \(\tilde{X}\) = 1/ 2 [ x(ni/2) +x (ni/2 +1)]
Arithmetisches Mittel
- „Durchschnig“ aller Ausprägungen einer Variable
- Summe aller Messwerte N dividiert durch die Anzahl der Messwerte
- Voraussetzung: mindestens Intervallskalenniveau
- Nachteil: anfällig für Ausreißer und Extremwerte
= der als Quotient aus der (dividiert) Summe aller beobachteten Werte xi und der Anzahl n der Werte definiert ist:
\(\bar{X}\)= \(x ={1\over n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i = {x_1 + x_2+... +x_n \over n}\)
Summe aller Werte - Mittelwert = 0
empirische Varianz
- berücksichgt alle Messwerte
- nur für metrische Daten
- Varianz steigt bei zunehmender Abweichung aller Werte vom Mittelwert
Varianz = Summe der quadrierten Abweichungen aller Messwerte vom arithmetrischen Mittel,
dividiert durch die Anzahl aller Messwerte
Die Stichprobenvarianz oder empirische Varianz ist ein Maß für die Streuung von Daten in der (deskriptiven) Statistik.
\(x = {1 \over n - 1} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} {(x_i - \bar{a})^2}\)
Durchschnigliche quadrierte Abweichung aller Werte vom Mittelwert. Wegen dem Quadrieren hat die Varianz eine andere Dimension als die Ausgangswerte
Standardabweichung
Die Stichprobenstandardabweichung oder empirische Standardabweichung ist die Wurzel aus der Stichprobenvarianz und hat die gleiche Maßeinheit wie die Beobachtungsdaten.
= positive Wurzel aus der Varianz
- Durchschnigliche, absolute Abweichung der Messwerte vom Mittelwert
- Indikator für die Breite einer Normalverteilung
s² = \(\sqrt{s^2}\)
Maß für die Streuung um den Mittelwert besitzt die gleiche Dimension wie die Ausgangswerte
Spannweite / Range
Die Spannweite ist das einfachste Streuungsmaß und berechnet sich einfach als Distanz zwischen dem größten und dem kleinsten Messwert:
R = xmax - xmin
R ist aufgrund der Tatsache, dass, unabhängig von der Stichprobengröße, nur zwei Werte (die so genannten Extremwerte) berücksichtigt werden, nicht robust gegenüber Ausreißern.
Verteilungsfunktion F (t)
Die Summe der relativen Häufigkeiten aller Stichprobenwerte, die kleiner oder gleich t sind,
heißt Summenhäufigkeitsfunktion F(t) der Stichprobe:
F (t) = \(\displaystyle\sum_{x_i\leq t}f(x_i) \)
Definition: Seien h1...hk die relativen Häufigkeiten der reellen Merkmalsausprägungen x1...xk einer Stichprobe ω1...ωk vom Umfang n . Dann heißt die durch
F (t) = \(\)
für alle t ∈ IR definierte Funktion die Empirische Verteilungsfunktion (zur Stichprobe).
Wertebereich [0, 1]
- kumulierte Häufigkeiten sind wichtig
- zwischen den Punkten sind Lücken, nur waagerechte Striche, da monoton steigende
Empirische Quantile
teilen die Daten einer Messreihe prozentual in zwei Teile, sodass p*100% der Daten links vom
Quantil und (1-p)*100% der Daten rechts vom Quantil liegen.
Angenommen die Messdaten sind geordnet in Form einer Rangliste gegeben. Die Formel für die Berechnung eines p-Quantils ist dann:
p = ein Anteilswert;
Bsp. Median hat p-WErt von o,5
Q1 - p = o,25 - p* 100 = 25%
Quartilsabstand
(lat. „Viertelwerte“) sind die Quantile Q.25, Q.50 (=Median) und Q.75, die auch als Q1 („unteres
Quartil“), Q2 („mittleres Quartil“) und Q3 („oberes
Quartil“) bezeichnet werden.
- (engl. interquartile range) bezeichnet die Differenz zwischen dem oberen und
dem unteren Quartil, also Q.75 − Q.25 und umfasst daher 50 % der Verteilung. Q3 - Q1
- wird als Streuungsmaß verwendet.
Boxplot
- ein Diagramm, der verschiedene Maße (zentralen
Tendenz, Streuung und Schiefe) in einem Diagramm zusammenfasst.
- Als „Whisker“, „Fühler“ oder "Antenne" werden die horizontalen/ vertikalen Linien bezeichnet.
- Die Länge der Whisker beträgt maximal das 1,5-fache des Quartilsabstands (1,5×IQR) und wird
immer durch einen Wert aus den Daten bestimmt.
- Werte, die über dieser Grenze liegen, werden separat in das Diagramm eingetragen
und als Ausreißer bezeichnet.
Gut für:
- Fehlerkennung bei metrischen Variablen mit vielen Ausprägungen durch Boxplot
- schnelle Übersicht über die Verteilung der Werte einer S?chprobe
- Vergleich von Verteilungen mehrerer (Teil-)Stichproben
- Hinweise auf mögliche Ausreißer und unplausible Werte in der Stichprobe
mögliche Werte:
- Extremwert= mehr als 3fache Interquar?lsabstand vom 75% Perzentil ( Stern)
- Ausreißer: mehr als 1,5facher Interquar?lsabstand vom 75% Perzentil (Punkt)
- Größter „nicht extremer Wert“ (bis 1,5facher Interquartilsabstand vom 75% Perzentil)
- Interquartilsabstand = 50% aller Werte liegen innerhalb dieses Bereiches (median)
- Kleinster „nicht extremer Wert“ (bis zu 1,5facher Interquartilsabstand vom 25 % Perzentil
- Extremwerte werden mit Fallnummer beschriftet, damit auffindbar in Datensatz
Wahrscheinlichkeitstheorie
oder -rechnung = Teilgebiet der Mathematik, das aus der Formalisierung der Modellierung und der Untersuchung von Zufallsgeschehen hervorgegangen ist.
mit mathematischen Statistik, die anhand von Beobachtungen zufälliger Vorgänge Aussagen über das zugrundeliegende Modell trifft, bildet sie das mathematische Teilgebiet der Stochastik.
zentralen Objekte = zufällige Ereignisse, Zufallsvariable und stochastische Prozesse.
Zufallsexperiment
In der Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnet ein Zufallsexperiment (auch Zufallsvorgang) grob
gesprochen einen Versuchsaufbau mit „zufälligem“ Ausgang. Er ermöglicht eine Serie von Durchführungen, also gleichwertigen und voneinander unabhängigen Versuchen.
Als Versuch versteht man hier einen Vorgang, der ein nicht vorhersagbares, erfassbares Ergebnis zur Folge hat, zum Beispiel das Werfen einer Münze oder eines Spielwürfels.
nötige Eigenschaften:
• Alle möglichen Ergebnisse des Experiments sind vorab bekannt ( Würfel zahlen 1-6 würfeln)
• Das Ergebnis eines einzelnen Experiments kann nicht vorhergesagt werden (Zufälligkeit).
• Das Experiment kann unter identischen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden.
Elementarereignis / Ereignisse u. Ereignisraum
= die möglichen sich gegenseitig ausschließenden Ergebnisse eines Zufallsexperiments
➡Symbolische Schreibweise: ω1,ω2,ω3,...
• Die Menge aller Elementarereignisse heißt Ergebnismenge des Zufallsexperiments.
➡Symbolische Schreibweise: Ω = {ω1,ω2,ω3,...}
• Alle möglichen Ergebnisse (Versuchsausgänge) eines Zufallsexperiments werden als Ereignisse bezeichnet. Ein Ereignis A ist daher immer eine Teilmenge der Ergebnismenge Ω.
• Die Menge aller Ereignisse heißt Ereignisraum Σ. Der Ereignisraum enthält also alle
Teilmengen der Ergebnismenge Ω und enthält somit auch Ω und die leere Menge
Bsp.:
- Zufallsvorgang: 1x Würfeln. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Zufallsvorgang: Augenfarbe der nächsten Person, die bei ne Casting Ω = {blau, grün, braun}
- Ereignisraum Würfel Σ - [1;6]
Verknüpfung von Ereignissen
A∪B - Entweder tritt A ein oder B oder A und B
A∩B - A und B treten gleichzeitig auf
Ā - A tritt nicht ein
Laplace - Experiment
- liegt vor, wenn alle m Elementarereignisse ω1,ω2,...,ωm die gleiche Wahrscheinlichkeit p=1/m besitzen. Für ein beliebiges Ereignis A gilt dann:
P(A) = (Anzahl der für A günstigen Fälle) / m - m = Anzahl der möglich Fälle von A
Absolute und relative Häufigkeiten in Zufallsexperimenten
Definition: Ein Zufallsexperiment wird n-mal durchgeführt, dabei tritt das Ereignis A genau n(A)-mal
ein. Dann heißt n(A) die absolute und hn(A)= n(A)/n die relative Häufigkeit des Ereignisses A.
Gesetz der großen Zahlen
Erfahrungsgemäß gilt: Wird die Anzahl n der Versuche laufend vergrößert, so stabilisiert sich im allgemeinen die relative Häufigkeit hn(A) eines Ereignisses A und schwankt immer weniger um einen Wert h(A).
• Beispiel: „ Wurf eines homogenen Würfels“ n = 100
-> gehäufiger gewürfelt wird um so gleich mäßiger werden die Zahlen, denn bei geringeren Würfen, kann es extremere Schwankungen geben ( n = 6, 3x 2 gewürfelt, 1x 3 u. 1x 5, bei n = 100 - eher gleiche Ergebnisse)
