Numerische Mathematik und Statistik - Fragen zur Statistik
Fragen zur Statistik
Fragen zur Statistik
45. Wie hängt die Größe eines Konfidenzintervalls vom Stichprobenumfang / Vertrauensniveau / von der Irrtumswahrscheinlichkeit ab?
Stichprobenumfang: je größer n, desto kleiner das Konfidenzintervall
Vertrauensintervall: je größer y (Gammezeichen), desto größer das Konfidenzintervall
Irrtumswahrscheinlichkeit: je größe a (Alphazeichen), desto kleiner das Konfidenzintervall
46. Von welcher Diagrammform macht man Gebrauch, um die WErte einer zweidimensionalen Stichprobe zu veranschaulichen?
47. Wann nennt man zwei Größen korreliert?
Wenn zwischen den beiden Größen ein Zusammenhang besteht.
48. Welche der folgenden Größen ist dimensionslos: der Korrelationskoeffizient, der empirische Korrelationskoeffizient, die Kovarianz, die empirische Kovarianz?
Der empirische Korrelationskoeffizient und der Korrelationskoeffizient sind einheiten- / dimensionslos.
49. Wie ist der Korrelationskoeffizient / der empirische Korrelationskoeffizient / die Kovarianz / die empirische Kovarianz definiert (Formel mit Erläuterung der Symbole)?
(siehe Bild)
50. Was verwendet man als Schätzwert für die Kovarianz / den Korrelationskoeffizienten einer zweidimensionalen Grundgesamtheit (in Worten und Formel)?
Schätzwert für Kovarianz: empirische Kovarianz
Schätzwert für Korrelationskoeffizient: empirische Korrelationskoeffizient
51. Wofür ist ein Korrelationskoeffizient / empirischer Korrelationskoeffizient für die Zufallsgrößen X und Y ein Maß?
Aus dem Korrelationskoeffizienten p ist ein linearer Zusammenhang zwischen den Zufallsgrößen X und Y einer Grundgesamtheit erkennbar.
Für normalverteilte X und Y gilt noch stochastische Unabhängigkeit bei p=0.
Der empirische Korrelationskoeffizient r ist ein Maß für die lineare Abhängigkeit zwischen den Zufallsgrößen X und Y einer Stichprobe.
52. Welche Werte kann der empirische Korrelationskoeffizient annehmen?
-1 ≤ r ≤ 1
53. Welche Werte kann der Korrelationskoeffizient der Grundgesamtheit annehmen?
-1 ≤ p ≤ 1
54. Welche Aussagen folgen aus bestimmten Werten eines empirischen Korrelationskoeffizienten für die Zufallsgrößen X und Y?
Wenn | r | = 1
Die Stichprobenpunkte liegen auf einer Geraden
r = -1
negative Steigung der Geraden
r = 1
Steigung positiv
r = 0
zwischen X und Y besteht kein linearer Zusammenhang
Je näher | r | an 1 liegt, desto besser lassen sich die Stichproben durch eine Gerade annähern
55. Der Korrelationskoeffizient einer zweidimensionalen Stichprobe beträgt -0,99.
Ist es sinnvoll, für die beiden Zufallsgrößen eine Regressionsparabel zu berechnen? (Begründung)
Nein.
Je näher | r | an 1 liegt, desto besser lassen sich die Stichproben durch eine Gerade annähern.
56. Welche Größe muss den Wert 0 annehmen, wenn die beiden Zufallsgrößen X und Y stochastisch unabhängig sind (in Worten und als Formel)?
Korrelationskoeffizient p = σxy / ( σx σy ) einer Grundgesamtheit
57. Mit Hilfe welcher Methode wird eine Regressionsgerade / Ausgleichsgerade berechnet?
Die Gaußsche Methode der kleinsten Quadrate
58. Beschreiben Sie 2 mögliche Vorgehensweisen für die nichtlineare Regression!
Methode der kleinsten Quadrate
Transformation in ein lineares Regressionsproblem
(siehe Bild)
59. Wie kann man das vollständige Messergebnis / die Messunsicherheit für eine physikalische Größe Y angeben?
Geben Sie in Worten an, was die dabei verwendeten Symbole bedeuten!
(siehe Bild)
60. Welche Beziehung besteht zwischen dem vollständigen Messergebnis und Vertrauensintervallen für die gemessene Größe?
X = x (Mittelwert) ± t * sx(Mittelwert)
t ist das Quantil der Student- oder t-Verteilung
61. Welche Beziehung besteht zwischen der Standardabweichung der Messwerte und der Standardabweichung des Mittelwerts?
(siehe Formel/Bild)
62. Wie ist der absolute / relative Fehler / Maximalfehler definiert?
(siehe Bild)
63. Zwei Näherungen für denselben exakten Wert mit demselben absoluten Fehler sind immer identisch.
Stimmt diese Aussage?
Nein, da der absolute Fehler nur der Betrag des Fehler ist, kann die Näherung
x0 = x + | x0 | oder
x0 = x - | x0 | sein
64. Ist der relative Fehler immer kleiner als der absolute Fehler (Begründung)?
Nein. Für | x0 | < 1, x0 ungleich 0 ist tatsächlich der relative Fehler größer als der absolute Fehler, da x0 im Nenner liegt. Der Wert x0 sei eine Näherung für den Wert x.
1. Welche Aufgabe hat die Statistik?
Aussagen über Merkmale einer Menge von Objekten
2. Nennen Sie konkrete Fragenstellungen aus unterschiedlichen Anwedungsgebieten, die mit Hilfe der Statistik beantwortet werden können!
Anwendungsgebiete:
- Marktforschung
- Qualitätssicherung
- Berechnungsgrundlagen für Versicherungen (z.B. Lebens-, Unfall-, Kranken-, Kfz-Versicherung, Betriebshaftpflichtversicherung einschl. Versicherung gegen Kosten durch verursachte Umweltschäden)
- Prognosen (z.B. Bevölkerungswachstum für Stadtplanung, Wahlprognosen)
- Ursachenforschung, Aufdecken von Zusammenhängen (z.B. Parameterschätzung in Funktionen, die technische Zusammenhänge wiederspiegeln)
Konkrete Fragestellungen:
- Wie viel Prozent der Firmen mit bis zu 200 Mitarbeitern nutzen betriebswirtschaftlich Standardsoftware? (Antwort: 47%. Grundlage für Entwicklung einer Marktstrategie)
- Welche Lebensdauer haben Glühlampen eines bestimmten Typs?
- Wie hoch ist die Lebenserwartung einer 1965 geborenen Frau?
- Hängen Häufigkeit und Schwere von Autounfällen vom Alter des Fahrers ab?
- Wie hoch ist die Inflationsrate?
3. Welche Besonderheit weist die mathematische (schließende) Statistik gegenüber der beschreibenen Statistik auf?
beschreibene(deskriptive) Statistik:
- Erfassung und Aufarbeitung von Daten einer Menge von Objekten
beurteilende (induktive, schließende, mathematische) Statistik:
- Aussagen über Merkmale einer Menge von Objekten, ohne jedes einzelne Objekt zu untersuchen
4. Nennen Sie Gründe, um die Ausprägung eines Merkmales nicht für jedes einzelne Objekt einer Grundgesamtheit zu prüfen! (beurteilende Statistik)
- hoher Zeit- und Kostenaufwand
- große (eventuell unendliche) Anzahl von Objekten
- Objekte existieren eventuell noch nicht alle
- Objekte werden beim Test zerstört
5. Was versteht man unter einer Grundgesamtheit?
Gesamtheit gleichartiger Objekte, die hinsichtlich eines bestimmten Merkmals untersucht werden sollen
6. Nennen Sie ein mathematisches Modell, das in der Statistik für die Darstellung von Grundgesamtheit und Stichproben verwendet wird!
Das Urnenmodell: Urne enthält n (Anzahl) Kugel (Grundgesamtheit)
Merkmale der Kugeln: Farbe
Stichprobe durch Entnahme von Kugeln aus der Urne
7. Welche Wahrscheinlichkeit hat das unmögliche Ereignis?
Unmögliches Ereignis Ø: P(Ø) = 0 (für 0%)
8. Welche Wahrscheinlichkeit hat das sicherer Ereignis?
Sicheres Ereignis Ω: P(Ω) = 1 (für 100%)
9. Welches ist der kleinste/größte Wert, den die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses annehmen kann?
Kleinster Wert : 0 (für 0%)
Größter Wert : 1 (für 100%)
10. Wie lautet die Definition des Begriffes Permutation / Kombination / Variation, ggf. mit / ohne Wiederholung?
Permutation: Anordnung der n Elemente in einer bestimmten Reihenfolge.
(z.B. Eine BonBon Tüte mit der Vorgabe erst ein Grünes und dann ein Blaues BonBon zu ziehen)
Kombination: Kombinationen sind ungeordnete Stichproben.
- Ohne Wiederholung: Menge von k Elementen, die nacheinander und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge aus den n Elementen ausgewählt werden, wobei jedes Element höchstens einmal ausgewählt werden darf.
(z.B. Tüte mit Bonbons, die nach dem Ziehen gegessen werden ;-) ) - Mit Wiederholung: Menge von k Elementen, die nacheinander und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge aus den n Elementen ausgewählt werden, wobei jedes Element beliebig oft ausgewählt werden darf (k>n möglich)
(BonBons werden nach dem Ziehen zurückgelegt)
Variation: Variationen sind geordnete Stichproben - wie Kombinationen, aber k zusätzlich der k ausgewählten Elemente in der Reihenfolge der Auswahl
- ohne Wiederholung
- Mit Wiederholung (k>n möglich)
11. Bei 45 Durchführungen eines Zufallsexperiments tritt das Ereignis C genau 20 mal auf. Wie groß ist die absolute / relative Häufigkeit des Ereignisses C?
Absolute Häufigkeit des Ereignisses A: n(A) = 20
Relative Häufigkeit des Ereignisses A: hn(A) = n(A)/n = 20/45 = 0,44 ( 44%)
12. Die Definition der Wahrscheinlichkeit beruht auf welcher für eine Stichprobe berechenbaren Größe?
P(A) = g(A)/m
g(A): Anzahl der Elementarereignisses, aus denen A zusammengesetzt ist
1/m: relative Häufigkeit des Elementarereignisses bei der Zufallsexperiment mit endlicher Ergebnismenge Ω = {w1, w2, …, wm }, wobei jedes Elementarereignis gleichmöglich ist
13. Was beinhalten die Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kolmogoroff?
Axiom 1:
0 <= P(A) <= 1 (Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 100%)
Axiom 2:
P(Ω) = 1
Axiom 3:
Für sich paarweise gegenseitig ausschließende Ereignisse A,B,C gilt:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)
14. Bei einem Zufallsexperiment setze sich die Ergebnismenge aus m Elementarereignissen, das Ereignis A aus g dieser Elementarereignisse zusammen. Welche Eigenschaft muss das Zufallsexperiment besitzen, damit die Wahrscheinlichkeit von A berechnet werden kann als P(A) = g/m?
Wie nennt man ein Zufallsexperiment, das diese Eigenschaft benutzt?
Laplace-Experiment.
Eigenschaft: jedes Elementarereignis muss gleichmöglich sein.
15. Unter welcher Voraussetzung gilt für die Ereignisse A1, A2, …, An die Formel
P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + P(…) + P(An)?
(siehe Frage 13 - nach Kolmogoroffs 3. Axiom)
A1, A2, …, An müssen sich paarweise gegenseitig ausschließende Ereignisse sein.
16. Wie lautet die allgmeine Berechnungsformel für die Wahrscheinlichkeit P(A ∪ B) bei gegebenen Ergebnissen A und B?
Formel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
(Wahrscheinlichkeit A + Wahrscheinlichkeit B - Schnittmenge beider Wahrscheinlichkeiten)
17. Unter welcher Voraussetzung gilt für zwei Ereignisse A, B die Formel P(A ∩ B) = P(A) * P(B)?
Die Ereignisse A und B müssen stochastisch unabhängig sein.
18. Das Ereignis B tritt genau dann ein, wenn das Ereignis A nicht eintritt.
Wie bezeichnet man das Ereignis B (in Worten) und wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit von B aus der von A (Formel)?
B heißt das komplementäre Ereignis zum Ereignis A
P(B) = 1 - P(A)
19. Wann bezeichnet man 2 Ereignisse als stochastisch unabhängig?
Zwei Ereignisse heißen stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten jedes der beiden Ereignisse unabhängig davon ist, ob das andere eingetreten ist.
20. Welches Ereignis (in Worten) bezeichnet das Ereignis A ∩ B bzw das Ereignis A ∪ B für zwei gegebene Ereignisse A und B?
A ∪ B : Das Ereignis, dass A und/oder B eintritt
A ∩ B : Das Ereignis, dass nur A oder nur B eintritt
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Flashcards
41. Von welcher Diagrammform macht man Gebrauch, um die relativen Klassenhäufigkeiten von Stichproben zu veranschaulichen?
42. Geben Sie die Formel für den Mittelwert / die Varianz / die Standardabweichung einer Stichprobe vom Umfang n an!
(siehe Bild)
43. Nennen Sie 3 Eigenschaften, die eine Schätzfunktion für einen Parameter einer Verteilung möglichst erfüllen sollte!
Die Schätzfunktion sollte konsistent, erwartungstreu und effizient sein.
44. Was ist ein Konfidenzintervall? (veraltet, auch Vertrauensintervall)
Das Intervall, in dem der gesuchte Parameter mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit y (Gammazeichen) liegt.
45. Wie hängt die Größe eines Konfidenzintervalls vom Stichprobenumfang / Vertrauensniveau / von der Irrtumswahrscheinlichkeit ab?
Stichprobenumfang: je größer n, desto kleiner das Konfidenzintervall
Vertrauensintervall: je größer y (Gammezeichen), desto größer das Konfidenzintervall
Irrtumswahrscheinlichkeit: je größe a (Alphazeichen), desto kleiner das Konfidenzintervall
46. Von welcher Diagrammform macht man Gebrauch, um die WErte einer zweidimensionalen Stichprobe zu veranschaulichen?
47. Wann nennt man zwei Größen korreliert?
Wenn zwischen den beiden Größen ein Zusammenhang besteht.
48. Welche der folgenden Größen ist dimensionslos: der Korrelationskoeffizient, der empirische Korrelationskoeffizient, die Kovarianz, die empirische Kovarianz?
Der empirische Korrelationskoeffizient und der Korrelationskoeffizient sind einheiten- / dimensionslos.
49. Wie ist der Korrelationskoeffizient / der empirische Korrelationskoeffizient / die Kovarianz / die empirische Kovarianz definiert (Formel mit Erläuterung der Symbole)?
(siehe Bild)
50. Was verwendet man als Schätzwert für die Kovarianz / den Korrelationskoeffizienten einer zweidimensionalen Grundgesamtheit (in Worten und Formel)?
Schätzwert für Kovarianz: empirische Kovarianz
Schätzwert für Korrelationskoeffizient: empirische Korrelationskoeffizient
51. Wofür ist ein Korrelationskoeffizient / empirischer Korrelationskoeffizient für die Zufallsgrößen X und Y ein Maß?
Aus dem Korrelationskoeffizienten p ist ein linearer Zusammenhang zwischen den Zufallsgrößen X und Y einer Grundgesamtheit erkennbar.
Für normalverteilte X und Y gilt noch stochastische Unabhängigkeit bei p=0.
Der empirische Korrelationskoeffizient r ist ein Maß für die lineare Abhängigkeit zwischen den Zufallsgrößen X und Y einer Stichprobe.
52. Welche Werte kann der empirische Korrelationskoeffizient annehmen?
-1 ≤ r ≤ 1
53. Welche Werte kann der Korrelationskoeffizient der Grundgesamtheit annehmen?
-1 ≤ p ≤ 1
54. Welche Aussagen folgen aus bestimmten Werten eines empirischen Korrelationskoeffizienten für die Zufallsgrößen X und Y?
Wenn | r | = 1
Die Stichprobenpunkte liegen auf einer Geraden
r = -1
negative Steigung der Geraden
r = 1
Steigung positiv
r = 0
zwischen X und Y besteht kein linearer Zusammenhang
Je näher | r | an 1 liegt, desto besser lassen sich die Stichproben durch eine Gerade annähern
55. Der Korrelationskoeffizient einer zweidimensionalen Stichprobe beträgt -0,99.
Ist es sinnvoll, für die beiden Zufallsgrößen eine Regressionsparabel zu berechnen? (Begründung)
Nein.
Je näher | r | an 1 liegt, desto besser lassen sich die Stichproben durch eine Gerade annähern.
56. Welche Größe muss den Wert 0 annehmen, wenn die beiden Zufallsgrößen X und Y stochastisch unabhängig sind (in Worten und als Formel)?
Korrelationskoeffizient p = σxy / ( σx σy ) einer Grundgesamtheit
57. Mit Hilfe welcher Methode wird eine Regressionsgerade / Ausgleichsgerade berechnet?
Die Gaußsche Methode der kleinsten Quadrate
58. Beschreiben Sie 2 mögliche Vorgehensweisen für die nichtlineare Regression!
Methode der kleinsten Quadrate
Transformation in ein lineares Regressionsproblem
(siehe Bild)
59. Wie kann man das vollständige Messergebnis / die Messunsicherheit für eine physikalische Größe Y angeben?
Geben Sie in Worten an, was die dabei verwendeten Symbole bedeuten!
(siehe Bild)
60. Welche Beziehung besteht zwischen dem vollständigen Messergebnis und Vertrauensintervallen für die gemessene Größe?
X = x (Mittelwert) ± t * sx(Mittelwert)
t ist das Quantil der Student- oder t-Verteilung
61. Welche Beziehung besteht zwischen der Standardabweichung der Messwerte und der Standardabweichung des Mittelwerts?
(siehe Formel/Bild)
62. Wie ist der absolute / relative Fehler / Maximalfehler definiert?
(siehe Bild)
63. Zwei Näherungen für denselben exakten Wert mit demselben absoluten Fehler sind immer identisch.
Stimmt diese Aussage?
Nein, da der absolute Fehler nur der Betrag des Fehler ist, kann die Näherung
x0 = x + | x0 | oder
x0 = x - | x0 | sein
64. Ist der relative Fehler immer kleiner als der absolute Fehler (Begründung)?
Nein. Für | x0 | < 1, x0 ungleich 0 ist tatsächlich der relative Fehler größer als der absolute Fehler, da x0 im Nenner liegt. Der Wert x0 sei eine Näherung für den Wert x.
