Natürliche Zahlen

•Verschiedene Modelle bzw. Darstellungsmöglichkeiten für die Bildung des Begriffs „Natürliche Zahl“

•Stellenwertsysteme

•Relationen

•Rechenoperationen im Bereich der natürlichen Zahlen 

•Kardinalzahlaspekt

Vergleichen durch paarweises Zuordnen

(Mächtigkeit von Mengen)

•Ordinalzahlaspekt

1. Zählzahlaspekt

Zählen weist einer Menge einen Zahlnamen (das letzte beim Abzählen ausgesprochene Zahlwort) zu.

Zählen ist ein elementarer Algorithmus: Die (auswendig gelernte) Zahlwortreihe benutzt den zeitlichen Rhythmus als Maßsystem. 

2. Ordnungszahlaspekt

Zählen jedem Element Nummer, einen Platz der Zahlwortreihe

•Maßzahlaspekt

Größen werden objektiv beschreibbar durch systematisches Auslegen (Messen) mit einer Einheitsgröße. Die Maßzahl gibt das Ergebnis des  Meßprozesses wieder. 

•Operatoraspekt

Zahlen beschreiben nicht nur Zustände (Größen), sondern auch Zustandsveränderungen

•Rechenzahlaspekt

Nach einer brauchbaren Gliederung einer Menge (bzw. Umformung einer zu messenden Größe) kann die gesuchte Zahl auch durch Rechnen, d.h. durch geschicktes Verbinden von Teilergebnissen, ermittelt werden. 
Rechnen erzeugt auch neue Zahlen: 
40 - 50 = ?

Algebraischer Aspekt

Algorithmischer Aspekt

•Codierungszahlaspekt 

Entweder über die Ziffern(-folge) oder  über die Zahl als Nummer kann eine nicht  zahlgebundene Situation in die  Zahlensprache übersetzt (codiert) werden. (Fußballnummer)

•Natürliche Zahlen ® Ganze Zahlen:

•Subtraktion wird uneingeschränkt ausführbar

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•Natürliche Zahlen ® Bruchzahlen:

•Division wird uneingeschränkt ausführbar

•(Ausnahme: Division durch 0)

•Für alle a, b, c Î Z gilt:

•(1) a + b = b + a                      (Kommutativgesetz)

•(2) (a + b) + c = a + (b + c)     (Assoziativgesetz)

•(3) a + 0 = 0 + a = a           (Neutrales Element)

•(4) a < b Þ a + c < b + c    (Monotoniegesetz)

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•Es gibt eine Kleinerrelation

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•Addition und Multiplikation sind abgeschlossen

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•Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz

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•Subtraktion ist ausführbar, wenn der Minuend größer/gleich dem Subtrahend

•Jede Bruchzahl hat unendlich viele Repräsentanten, Darstellung der natürlichen Zahl im Wesentlichen eindeutig

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•Multiplikation wirkt nicht stets vergrößernd

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•Division außer durch 0 ausführbar

•Bruchzahlen liegen dicht:

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•Zwischen je zwei verschiedenen Bruchzahlen liegen unendlich viele Bruchzahlen.

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•(Zwischen den natürlichen Zahlen 1 und 2 liegt keine natürliche Zahl 1 < a < 2)

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•Für alle a, b, c Î B gilt:

•(1) a × b = b × a  (Kommutativgesetz)

•(2) (a × b) × c = a × (b × c)  (Assoziativgesetz)

•(3) (a + b) ×c = a × c + b × c  (Distributivgesetz)

•(4) 1 × a = a × 1 = a  (Neutrales Element)

•(5) 0 × a = a × 0 = 0  (Multiplikation mit 0)

•(6) a × b = 0 Þ a = 0 Ú b = 0  (Nullteilerfreiheit)

•(7) a < b Ù 0 < c Þ a × c < b × c  (Monotoniegesetze)

•Ziel der Zahlbereichserweiterung:

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•Wir suchen nun einen Zahlenbereich, in dem beide dieser Rechenoperationen (Subtraktion und Division) uneingeschränkt ausführbar sind.

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•Für die dazu notwendige Zahlenbereichserweiterung können sowohl die Bruchzahlen als auch die ganzen Zahlen der Ausgangspunkt sein.