Medizinische Bildgebung
Ultraschall, Röntgen, Computertomographie und MRT mit physikalischen Hintergründen
Ultraschall, Röntgen, Computertomographie und MRT mit physikalischen Hintergründen
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Cartes-fiches
Ultraschall:
Bildgebung: Doppler
(Abtastrate)
- Pulswiederholfrequenz nupr
- nupr ≈ 10 kHz << nuUS ≈ 1 MHz
Ultraschall:
Bildgebung: Sicherheit
mögliche schädigende Einflüsse:
- Kavitation
- auftretende Schalldrücke bei med. Geräten
- 1 Größenordnung unterhalb Auslöseschwelle in Gewebe
- Temperaturerhöhung
- eingestrahlte Leistung bei Pulverfahren
- ≈ 10mW
- kaum messbare Erwärmung
- bei CW-Dopplern u.U. Situation anders
- Energie begrenzen
- eingestrahlte Leistung bei Pulverfahren
Ultraschall:
Anwendungsgebiete
- Schwangerschaftsuntersuchung
- Fötus
- Uterus
- Eierstöcke
- Leber
- Niere
- Milz
- Bauchspeicheldrüse
- Blase
- Prostata
- Herz
- Blutgefäß-Stenosen
- Aneurysmen
Lambert-Beersches Gesetz
Eλ = I0/I1 = ελ · c · d
Faltungssatz
Formel
\(g(x) = s(x) * h(x) \circ-\bullet G(u) = S(u) \cdot H(u)\)
Faltungssatz
Bedeutung
Das Verhalten des Systems kann äquivalent durch
- Faltung im Zeit- bzw. Ortsbereich
- oder
- Multiplikation im Frequenzbereich
beschrieben werden
translationsinvariant
Abbildung ändert sich unter Translation nicht
Dirac-Funktion
- \(\delta\)-Distribution
- stetige, lineare Abbildung
- Abbildung eines Funktionenraumes der Testfunktion \(\epsilon\) in den zugrunde liegenden Körper\(\mathbb{K}\)
\(\delta\)-Distribution
Funktionenraum
- Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen
- \(\mathbb{K}\) entspricht entweder \(\mathbb{R}\) oder \(\mathbb{C}\)
\(\delta\)-Distribution
wesentliche Eigenschaften
- \(\delta (x-x_0) = \begin{cases}\infty &\text{falls } x = x_0\\ 0 &\text{sonst}\end{cases}\)
- \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x) \cdot\delta(x-x_0) dx= f(x_0)\)
- Siebeigenschaft
\(\delta\)-Distribution
Siebeigenschaft
- \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cdot\delta(x-x_0) dx = f(x_0)\)
- wird ein Signal mit dem Diracimpuls multipliziert, werden alle anderen Werte ausgeblendet, bis auf der Ort an dem der Impuls liegt
\(\delta\)-Distribution
weitere Eigenschaften
- Linearität
- Symmetrie
- Dehnung
\(\delta\)-Distribution
Linearität
\(c_1\delta(x) +c_2\delta(x) = (c_1+c_2)\cdot \delta(x)\)
\(\delta\)-Distribution
Symmetrie
\(\delta(-x) = \delta(x)\)
\(\delta\)-Distribution
Dehnung
\(\delta(bx) = \frac{1}{|b|}\cdot \delta(x)\)
Faltungsalgebra
Faltung
\(g(x) = f(x) * h(x) = \int f(y) h(x-y)dy\)
Faltungsalgebra
Identität
\(f(x) = f(x)*\delta(x) = \delta(x)*f(x)\)
Faltungsalgebra
Kommutativgesetz
\(f(x) *h(x) = h(x) *f(x)\)
Faltungsalgebra
Assoziativgesetz
\([f(x)*h(x)]*g(x) = f(x)*[h(x)*g(x)]\)
Faltungsalgebra
Distributivgesetz, Linearität
\(f(x) *[c_1h_1(x)+c_2h_2(x)] = c_1f(x)*h_1(x) + c_2f(x)*h_2(x)\)
Faltungsalgebra
Differentiation
\(f'(x)= \frac{df(x)}{dx} : (f(x)*h(x))' = f'(x)*h(x) = f(x) * h'(x)\)
Faltungsalgebra
Kreuzkorrelation
\(g(x) = f(x) \otimes h(x) = \int f^*(y)h(y+x)dy = f^*(-x)*h(x)\)
mit \(f^*\): zu \(f\) konjugiert komplexe Funktion
Faltungsalgebra
Kreuzkorrelation
Aussage
Beschreibt die Ähnlichkeit der beiden Signale \(f(x)\) und \(h(x)\)
Dirac-Kamm
- beschreibt periodische Folge von Dirac-Stößen (\(\delta\)-Distribution)
- Abtastung ist Multiplikation mit Dirac-Kamm
- \(\operatorname{III} (x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(x-n)\)
Dirac-Kamm
Eigenschaften
- Dehnung
- Stauchung
- Fouriertransformation
- gestauchte Fouriertransformation
Dirac-Kamm
Dehnung
\(\operatorname{III}(ax) = \frac{1}{|a|}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(x-\frac{n}{a})\)
Dirac-Kamm
Stauchung
\(\operatorname{III}(\frac{x}{b})=|b|\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(x-bn)\)
Dirac-Kamm
Fouriertransformation
\(\operatorname{III}(x) \circ-\bullet\operatorname{III}(s)\)
Dirac-Kamm
gestauchte Fouriertransformation
\(\operatorname{III}(\frac{x}{a}) \circ - \bullet |a|\operatorname{III}(as)\)
Eigenfunktion
Definition
Eingangsfunktion, die vom System nur durch einen Amplitudenfaktor beeinflusst wird, ansonsten aber keine Formveränderung erfährt
Eigenfunktion
\(H(u)\)
- Eigenfunktion von \(h(x)\)
- \(H(u) = \int_{-\infty}^{\infty}h(x)e^{-i2\pi ux}dx = \mathcal{F}[h(x)](u)\)
Eigenfunktion
\(H\)
- ist die Fouriertransformierte von \(h\) (der Impulsantwort)
- und \(h\) sind äquivalente Beschreibungen eines stationären linearen Systems
Eingangssignale allgemein
Darstellung als
- Überlagerungen von harmonischen Funktionen
- bzw.
- gewichtete Summe von Eigenfunktionen des Systems \(\sigma_n(x)\)
- \(\sigma_n(x) = e^{i2\pi ux}\)
Fourier-Transformation
Formel
- \(S(u) = \int_{-\infty}^{\infty}s(x) e^{-i2\pi ux}dx\)
- Amplitudenfaktoren zu den einzelnen Frequenzen \(u\)
- auch \(s(x) \circ -\bullet S(u)\)
Fourier-Transformation
invers
\(s(x) = \int_{-\infty}^{infty}S(u) \underbrace{e^{+i2\pi ux}}_{\sigma_n(x)}du\)
Systemantwort
\(s(x)*h(x) = \int_{-\infty}^{\infty}h(\zeta)e^{i2\pi u(x-\zeta)}d\zeta\\ = e^{i2\pi u \zeta}\int_{-\infty}^{\infty}h(\zeta)e^{-i2\pi u \zeta}d\zeta = H\cdot s(x)\)
Fourier-Transformation
Kombination von \(s(x)\) als gewichtete Summe von Eigenfunktionen mit der Systemantwort
\(s(x)*h(x) = \int_{-\infty}^{\infty}S(u)e^{i2\pi ux}H(u)du\)
mit Fouriertransformation:
\(g(x) = s(x)*h(x) \circ -\bullet G(u) = S(u)\cdot H(u)\)
(Faltungssatz)
Fourier-Transformation
Eigenschaften
- Linearität
- Translation
- Streckung
- Muliplikation
Fourier-Transformation
Linearität
\(c_1\cdot s_1(x)+c_2\cdot s_2(x) \circ -\bullet c_1\cdot S_1(u) + c_2\cdot S_2(u)\)
Fourier-Transformation
Translation
\(s(x-x_0) \circ-\bullet S(u) \cdot e^{-i2\pi ux_0}\)
