Mathe Thema 2: Größen; Längen

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Größenvorstellungen besitzen

o   Standardeinheiten aus den Bereichen Geldwerte, Längen, Zeitspannen, Gewichte und Rauminhalte kennen

o   Größen vergleichen, messen und schätzen

o   Repräsentanten für Standardeinheiten kennen, die im Alltag wichtig sind

o   Größenangaben in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen (umwandeln)

o   Im Alltag gebräuchliche einfache Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen kennen und verstehen

 Mit Größen in Sachsituationen umgehen

o   Mit geeigneten Einheiten und unterschiedlichen Messgeräten sachgerecht messen

o   Wichtige Bezugsgrößen aus der Erfahrungswelt zum Lösen von Sachproblemen heranziehen

o   In Sachsituationen angemessen mit Näherungswerten rechnen, dabei Größen begründet schätzen

o   Sachaufgaben mit Größen lösen

reale Gegenstände
↓
•„gleichwertige“Gegenstände werden nicht mehr unterschieden
↓
•Größe der betreffenden Art

•Geld (keine Größe im physikalischen Sinne)

•Länge

•Zeit

•Masse (allerdings als „Gewicht“bezeichnet)

•Volumen (allerdings nur „Hohlmaße“)

•Flächeninhalt (Vorüberlegungen in der Geometrie)

Größen und Messen:

•Größenvorstellungen besitzen

•mit Größen in Sachsituationen umgehen

•Standardeinheiten aus den Bereichen Geldwerte, Längen, Zeitspannen, Gewichte und Rauminhalte kennen,

•Größen vergleichen, messen und schätzen,

•Repräsentanten für Standardeinheiten kennen, die im Alltag wichtig sind,

•Größenangaben in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen (umwandeln),

•im Alltag gebräuchliche einfache Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen kennen und verstehen.

•mit geeigneten Einheiten und unterschiedlichen Messgeräten sachgerecht messen,

•wichtige Bezugsgrößen aus der Erfahrungswelt zum Lösen von Sachproblemen heranziehen,

•in Sachsituationen angemessen mit Näherungswerten rechnen, dabei Größen begründet schätzen,

•Sachaufgaben mit Größen lösen.

Größen selbst kann man sich nicht vorstellen.

•Es ist nur möglich, sich zugehörige Repräsentanten für Größen vorzustellen

•Beim Aufbau von Größenvorstellungen entstehen adäquate Abbilder von Repräsentanten von Größen im Bewusstsein des Menschen.

•Größenvorstellungen gehen stets aus konkreten Handlungserfahrungenund den damit verbundenen Wahrnehmungen hervor.

•Qualität der Vorstellungsbilder kann sehr verschieden sein

•abhängig von der Art, von der Häufigkeit und von der Bewusstheit der Wahrnehmung der einzelnen Objekte.

•Es spielt eine Rolle, ob die entsprechenden Repräsentanten visuell wahrnehmbar sind (

•Unmittelbare Größenvorstellungen sind Vorstellungen von Repräsentanten solcher Größen, die durch Handlungen wiedergegeben werden können (direkt wahrnehmbar)

•mittelbare Vorstellungen nicht durch direkte Wahrnehmungen.

•Vorstellungen von Repräsentanten solcher Größen, die so großoder so klein sind, dass sie nicht durch materielle Handlungen wiedergegeben werden können.

Die meisten Grundschüler verfügen über äußerst unzureichende Größenvorstellungen.
•Reuter, Sabrina (Gießen, 2009)

•Vermutung: Aufbau von richtigen und inhaltsreichen Größenvorstellungen findet im Mathematikunterricht der Grundschule nur ungenügend Berücksichtigung.

•Abendschein, Annika (Gießen, 2011)

•Aus diesem Grund kann zu dem Schluss gekommen werden, dass die Größenvorstellungen der meisten Kinder nicht ausreichend ausgebildet sind, da sie über ungenügende Stützpunktvorstellungen und Fähigkeiten im Schätzen verfügen.
Birx, Annika (Gießen, 2012)

TErfolg sehr gering: Messverständnis noch Größenvorstellungen über
konventionelle Einheiten vollständig

nicht standardisierter Einheiten unterstützt rein arithmetische Deutung
des Messens. Maßzahlen werden so zu
Zählzahlen.

Das Messen von Längen mittels „flächiger“ Objekte zu flächigen Vorstellungen führen,
 Unterscheidung von Längen, Flächen und Volumina schwer.

die Verfeinerung und
Vergröberung von Maßeinheiten.nur schwer duch nicht standardisierte Einheiten mglich-->keine Zusammenhänge
zwischen Maßeinheiten entwickeln. .

Größen werden durch gedankliche Abstraktion von messbaren Eigenschaften
realer Objekte gewonnen.

Durch direktes Vergleichen von Objekten hinsichtlich bestimmter Eigenschaften werden zunächst maßzahl
freie Äquivalenzklassen von Repräsentanten gebildet.-->bleibt auch dann erhalten, wenn sich die Lage oder die räumliche
Konfiguration ändert=Invarianz. Faden behält Länge, wenn man ihn aufrollt,

Alle Repräsentanten einer Klasse gehören zur gleichen Größe und werden mit
einer Größenangabe bezeichnet. Diese besteht aus einer Maßzahl und einer
Maßeinheit.

Größe=also die Klasse von Repräsentanten-->auch mit einer anderen Größenangabe bezeichnen 3m=300cm

Umwandelns=Wahl der Maßeinheit

neue Erkenntnis erhält Bedeutung bei Zahlbereichserweiterungen in  Sekundarstufe--> „unbenannte Zahlen“ unterschiedliche „Namen“ erhalten können.

-->objektiv messbarer Eigenschaften von Gegenständen oder Vorgängen.

-->Fuß keine objektive Größe

Geldwerte

vor der Einschulung mit Geldwerten Kontakt 

keine physikalische Größe --> Sinn „bürgerlichen“ Größen -->Geld als Zählgröße 
Längen

Zeitspannen
Gewichte2
Rauminhalte

Volumenbegriff noch nicht als Größe thematisiert

 Erfahrungen mit Hohlmaßen im Mittelpunkt 
Inhalt von Behälter-->Basiseinheit 1 l 
inhaltsgleich mit der Volumeneinheit 1 dm3,Repräsentant =Würfel 1 dm.

Auch Flächeninhalte: ohne dass die entsprechenden Maßeinheiten (m2, cm2) als zusammengesetzte Größen

-->Flächenvergleich erfolgt direkt durch Übereinanderlegen oder indirekt durch Auslegen mit selbst gewählten Einheiten.

Vergleichen und Messen von Flächeninhalten und Rauminhalten=Raum und Form

Auch zusammengesetzten Größen: wie z. B. Geschwindigkeit als Länge pro Zeit.

erst dann geübt, wenn die arithmetischen Voraussetzungen-->(die Erweiterung des Zahlenraumes)

3. Klasse: Längen und Geldbeträge-->(Erweiterung des Zahlenraumes über 100)

4. Klasse: Gewichte und Hohlmaße-->(Erweiterung des Zahlenraumes über 1000)

-->nicht erst nach der Erarbeitung der jeweiligen Zahlenräume aufgegriffen

-->Vielfältige Vergleiche von Objekten, ohne zahlenmäßig beschrieben sind für den Aufbau von                Größenvorstellungen zentral

Peter-Koop: schon im KIGA sichbar=selbstgewählte Einheiten

1)Sachverständnis: 
Aufgabe darf nicht so trivial sein, dass SuS glauben, dass Sache keine Rolle spielt und gleichzeitig nicht so schwer sein, dass Kinder sie Sachstruktur verstehen.

2)Textverständnis: 
Meist wenig Platz für Autoren Text zu schreiben. Deshalb kann es sein, dass nicht genau genug beschrieben sind, Kinder sie nicht verstehen. Kinder müssen sinnentnehmend lesen und systematisches Durcharbeiten eines Textes lernen.

3)Verständnis der mathematischen Struktur: 
Je authentischer Situationen sind desto schwieriger ist Übertragung in mathematische Struktur

4)Unterrichtskultur: 
Mit steigender Schulerfahrung steigt Bereitschaft auch Kapitänsaufgaben zu „lösen“. Das kommt daher, weil Kinder die Sache nicht beachten, keine Alltagssituation damit verbinden, nicht hinterfragen, sondern einfach nach einem mathematischen Schema handeln. Es ist wichtig als Lehrer bei Sachsituationen mehrere Fragen aufkommen zu lassen. 

1.Gedankliche Lösung

2.Rechnerische Lösung

3.Darstellung der Lösung

Bei Frage-Rechnung-Antwort sind Kinder gleich mit Darstellungsproblem konfrontiert, glauben, dass individuelle Lösung nicht zählt und scheitern. In Problemlösephase müssen viele Lösungswege gelten, erörtert und kommuniziert werden. Lehrer muss auf Voraussetzungen der Kinder eingehen

1.Repräsentation von Größen (Körper, Tafel Schokolade etc.)

2.Größen als Äquivalenzklassen (hat den gleichen Wert wie etc.) Äquivalenz=Gleichwertigkeit

3.Größen der gleichen Familie zu einem Größenbereich (Längen oder Geldwerte z.B.)

4.Benennung von Größen durch Maßzahl und Maßeinheit (km, kg, Tag etc.)
Siehe Tabelle S.230 Schipper

Streng einzuhaltende didaktische Stufenfolge ist bei Behandlung von Größen weniger sinnvoll aus konstruktivistischer Perspektive, dennoch gibt es inhaltlich voneinander abgrenzbare Bereiche, die bei der Behandlung aller Größen berücksichtigt werden sollen:

1)Größen direkt und indirekt vergleichen, zusammenfügen und abtrennen

2)Größen messen und dabei Messinstrumente mit geeigneten Skalierungen entwickeln sowie vorhandene Messgeräte sachgerecht verwenden
“Messen ist das Herzstück beim Aufbau von Vorstellungen über Größen“ (Winter)
Kernideen, die für Aufbau eines Messverständnisses von Bedeutung sind:
1.Auswahl einer Einheit
2.Vervielfachen von und Zerlegen in Einheiten
3.Zählen der Anzahl an Einheiten und Untereinheiten
Tabelle S.235 Schipper

3)Stützpunkvorstellungen entwickeln
Kinder sagen, sie sind 140 groß. Keine Maßeinheit, weil Stützpunktvorstellung fehlt.
S.235-236 Tabelle zu Größenbereichen und Stützpunktvorstellungen

4)Größen schätzen
Damit die SuS es nicht als raten sehen, sollen sie Schätzen immer begründen

5)Größen umwandeln und mit ihnen rechnen
Oft bleibt bei Messen ein Rest, gemischte Schreibweise, Umwandlungsübungen mit Eintragungen in Tabellen verbinden
In Unterrichtpraxis gibt es Überschneidungen zwischen diesen Bereichen

Repräsentanten von Größen: Strecken, Stäbe, Kanten, Fäden

Größen als Äquivalenzrelation = ist deckungsgleich (gleich lang) mit  zu einer Klasse zusammengefasst 

Größen als Ordnungsrelation: ist kürzer als  Größenbereich Längen, dem alle unterschiedlichen Klassen gleich langer Objekte angehören

Benennung von Größen durch Maßzahl und Maßeinheit (z.B. 4m, 400cm)

4cm als Bezeichnung für eine ganze Äquivalenzklasse gleich langer Repräsentanten  Klasse mit verschiedenen Namen: 4cm, 40mm, 0,04m

Bild

Bild

didaktische Orientierung für die Erarbeitung der ersten Einheit eines Größenbereiches

andere Maßeinheiten  durch Verfeinern oder Vergröbern abgeleitet werden:

1. Erfahrungen sammeln und aufgreifen: Sach-, Spiel- und Alltagssituationen;

2. Direktes;

3. Indirektes  Vergleichen von Repräsentanten;

-->mithilfe selbst gewählter Maßeinheiten;
-->mithilfe standardisierter Maßeinheiten durch Messen mit verschiedenen Messgeräten;

3. Umwandeln: Verfeinern und Vergröbern der Maßeinheiten;

4. Rechnen mit Größen

Die Kinder haben vor der Behandlung von Größen im Unterricht i. d. R. schon
vielfältige Erfahrungen (u. a. Peter-Koop/Grüßing 2006, Ruwisch 2008):

zum Vergleichen, Ordnen und Sortieren von Gegenständen, dabei auch
unter Verwendung qualitativer Größenbezeichnungen wie ‚größer – kleiner’,
‚länger – kürzer’, ‚schwerer – leichter’, ‚höher – tiefer’, ‚mehr – weniger’
u. a.;

zu Maßeinheiten, insbesondere zum Geld, zu Längen, Entfernungen, Geschwindigkeiten
und zur Zeitdauer; allerdings sind die Kenntnisse noch
nicht bei allen Kindern mit realistischen Vorstellungen zu den Größenangaben
verbunden und sind untereinander häufig noch unverbundenes Wissen;

zum Umgang mit verschiedenen Messgeräten, z. B. mit Zollstock, Maßband
und Lineal, mit Waagen im Supermarkt und im Haushalt, mit verschiedenen
Uhren und Messbechern.
Diese Erfahrungen müssen erkundet und beachtet werden und sollten als Ausgangspunkt
für den weiteren Unterricht dienen.

Das direkte Vergleichen greift die Vorerfahrungen zum Ordnen und Vergleichen
auf und regt durch Handlungen zu einer bewussten Auseinandersetzung
mit den Relationsbegriffen („... ist so lang wie ...“ u. a.) an. Diese zweistelligen Relationen,
wie ‚kürzer als’, ‚schwerer als’ u. a., verlangen, immer zwei Objekte hinsichtlich dieser Relation miteinander zu vergleichen. Ohne diese grundlegenden Erfahrungen in jedem Größenbereich können die Kinder kein Verständnis für die Äquivalenz- und die Ordnungsrelation in diesem Bereich aufbauen

Direktes Vergleichen gelingt nur dann, wenn sich die Objekte zu derselben Zeit an demselben Ort befinden

mithilfe selbst gewählter Maßeinheiten-->indirekten Vergleichen notwendig,

--> Voraussetzung: Kinder haben Transitivität der Ordnungsrelation im jeweiligen Größenbereich verstanden denn: dritter Repräsentant als Vermittler zwischen vergleichenden Objekten eingesetzt!

Vergleichen auf zweierlei Art:
1. zwei Repräsentanten an ver.Orte/Zeiten gebunden --> drittes Objekt als beweglicher Vergleichsrepäsentant 

Mit Stab probieren, ob der Tisch durch die Tür passt                                                                                                                  Schnur als Vermittler -->durch Anlegen an das zweite Objekt den Vergleich direkt ermöglicht.

2.Wenn die zwei Repräsentanten an ver.Orte/Zeiten gebunden-->drittes Objekt als ausmessender Vergleichsrepäsentant benutzt -->Objekt zum Messen in selbst gewählten Einheit deutlich kleiner 

Welcher Klassenraum ist eigentlich länger, unserer oder der Nachbarraum?
durch Schnurlänge vergleichen

bei „größere“ Längen anderen Möglichkeiten -->selbst gewählte Einheiten – 

zumeist Körpermaße wie für dieses Beispiel Schritte, Füße oder Körperlängen 

standardisierte Einheiten und damit als Messinstrumente z. B. das Tafellineal, einen Zollstock oder ein Bandmaß vorschlagen.

Selbst gewählte Einheiten -->Vertiefung von Messerfahrungen, 

-->Vergleichen mittels verschiedener Einheiten= Zusammenhang zwischen Maßeinheit und Maßzahl -->anderen Licht beleuchtet:

- Je größer die Maßeinheit, desto kleiner die Maßzahl. 

-->durch Vergleichen mit Körpermaßen motivieren, da die Fußlängen verschieden groß

- Je kleiner die Maßeinheit, desto genauer das durch die Maßzahl angegebene Messergebnis. 

durch nicht standardisierter Einheiten keine Verfeinerung möglich

z.B „halben Füßen“ verkleinern nicht möglich

- Bei selbst gewählten Maßeinheiten, „demselben“ Maß gemessen wurden.

Die Einheit „Fuß“ an jeweiligen Repräsentanten gebunden-->jechoch einsetzbar beim Vergleichen mit stadardisierten Meßverfahren

Notwendigkeit von standardisierten Einheiten wird somit für die Kinder einsichtig durch Vergleichen selbstgewählter Maßeinheiten

Kindern freistellen, ob sie standardisierte oder selbst gewählte Einheiten zum Messen 

 Vergleich beider Vorgehensweisen Ansatzpunkte für den reflektierten Umgang mit standardisierten Einheiten.

Die eigenen Körpermaße nicht nur  willkürliche Einheiten, 

-->sondern wichtige, immer verfügbare Repräsentanten für Größen                                                                                       -->zum Schätzen und Vergleichen 

von m;dm;cm;mm etc

Größen sind:

Größen direkt und indirekt vergleichen, zusammenfügen und abtrennen

Größen messen und dabei Messinstrumente mit geeigneten Skalierungen entwickeln sowie vorhandene Messgeräte sachgerecht verwenden

Stützpunktvorstellungen entwickeln 

Größen schätzen

Größen umwandeln und mit ihnen rechnen

Streng einzuhaltende Behandlung von Größen weniger sinnvoll aus konstruktivistischer Perspektive, dennoch wichtig inhaltlich voneinander abzugrenzen

·         Viele Kinder haben schon Vorerfahrungen mit Größen, bevor sie in die Schule kommen

·         Erste Größenvorstellungen bei Kindern noch nicht relational à Mensch groß oder klein, erst nach und nach verstehen die Kinder, dass ihre große Schwester zwar größer ist, aber kleiner als der Vater

·         Es entwickelt sich ein Verständnis dafür, dass zwischen Größen der gleichen Art Beziehungen entstehen

·         Direkte und unmittelbare Vergleiche als Beginn für Behandlung von Größen in der Grundschule à Vergleich von 2 Repräsentanten macht deutlich, dass eine Beziehung besteht

·         Beispiel: Rücken an Rücken aufstellen und sagen, wer länger ist

·         Direktes Vergleichen von Schritt- oder Armlänge und Gegenständen im Klassenraum unmittelbar

·         Für einen indirekten Vergleich wird ein Mittler notwendig à Höhe der Tür mit Bindfaden abmessen und dann an den Schrank halten à indirekter, mittelbarer Vergleich

·         Üblicherweise mit einem Zollstock durchgeführt à Lineal in der Grundschule

·         Größere Längenunterschiede oft schon visuell wahrnehmbar

 „Messen=Herzstück beim Aufbau von Vorstellungen über Größen-->Über Messen-->Größenvorstellungen entwickeln

·         Messen= indirekter, mittelbarer Vergleich von 2 Größen der gleichen Art

o   Eine der beiden Größen ist die Bezugsgröße (Maßeinheit), mit der die andere verglichen wird

o   Wie oft passt die gewählte Maßeinheit in die zu messende Größe?

o   Ausdrücke wie 4cm stehen also für Sachverhalt, dass eine als Maßeinheit gewählte Strecke der Länge 1cm vervierfacht worden ist: 4cm= 4 x 1cm

o   Term 3 x 2cm steht für die Verdreifachung der Maßeinheit 2cm

·         Multiplikation bei Größen ist kein miteinander Multiplizieren zweier Größen (3cm x 4cm) sondern à Vervielfachen einer Größe (Maßeinheit) mit einer natürlichen Zahl (Maßzahl)

·         Gegebene Größe mit einer Maßeinheit vollständig ausmessen lässt? Kommt nicht vor!!!

o   Gegebene Größe lässt sich nicht beliebig verkleinern à Im Alltag der Grundschule gelten Millimeter als kleinste Maßeinheit, die hinreichende Genauigkeit liefert

·         In GS werden messende Repräsentanten gewählt, dass der Messvorgang aufgeht

-->wichtig,zu thematisieren, bei dem „Reste“ bleiben

Normalfall führt zu 4 Konsequenzen, die zu einem vertieften Verständnis von Größen dazugehören

Entscheidung beim Messen, welche Maßeinheit hinreichende Genauigkeit liefert (Messe ich den Bleistift in cm, mm oder m?)

Größen kann man eigentlich nur ungefähr angeben (Stift ist ungefähr 14cm lang) à Jeder genauen Angabe liegt eine bewusste oder unbewusste Annahme über den hinreichenden Grad der Genauigkeit zugrund

Soll es genauer sein, dann kann die Angabe von Intervallen helfen (Stift ist zwischen 14 und 15 cm lang)

Soll es noch genauer sein, dann hilft nur die Verfeinerung der Maßeinheit (Stift ist 14cm und 4mm lang)

1.       Auswahl der Einheit

2.       Vervielfachen von und Zerlegen in Einheiten,

3.       Zählen der Anzahl an Einheiten und Untereinheiten

o   Historische Entwicklung der Längenmessung

o   Unmittelbare körperliche Verfügbarkeit der Einheiten

o   Macht deutlich, dass unterschiedliche Fußlängen der Kinder einer Klasse unterschiedliche Maßzahlen beim Messen der gleichen Strecke zur Folge haben à Notwendigkeit einer normierten Einheitsmaßes begründen

o   Vervielfachen eines Einheitsmaßes als Grundidee wird auf diese Weise sehr deutlich

o   Je kleiner gewählte Maßeinheit ist, desto häufiger muss sie angelegt werden

o   Fehlende Skalierung bei Messvorgängen könne zu verkürzte Deutung des Messens als Zählen von Objekten führen

o   Messen mit flächigen Objekten (z.B. Fußabdrücke) erschwere Fokussierung auf Linearität der Längenmessung

o   Zusammenhang zwischen Einheit und Untereinheiten werden nicht erkannt