Materialphysik
Vorbereitung Prüfung
Vorbereitung Prüfung
Fermienergie
Ef =( h quergestrichen)² / (2m) * (n*pi/L)² L...Ausdehnung
Impuls, Ekin
p = m*v, Ekin = p²/(2m)
freies Elektronengas in 3D
Ek = (h quergestrichen)²/(2m)*k²
Besetzungsgrenze für Elektronen
Ef= hquergestrichen²*kf2/(2m) kf...Fermi-Wellenzahl
E<gleich Ef alle besetzt
E> Ef alle frei
Fermi- Dirac- Verteilung
Wahrscheinlichkeit, dass Zustand der Energie E des idealen (freien) Elektronengases besetzt ist (im therm. dyn. Gleichgewicht)
f(E) = 1/(exp ((E-Ef)/(kb*T))+1)
Ef = einige eV 1eV = 10000K ⇒ Ef = einige 10000K
bei RT: T=300K, Kb*T rund 1/30eV
Fermitemperatur
Tf = Ef/kb
spez. Wärme Elektronengas
C el rund N*kb*T/Tf
Schrödingergleichung für freies Elektronengas
.....
Leitfähigkeit im Festkörper
Ladungstransprot durch Fermikugel
- Zeitpunkt t=0: Fermikugel schließtim k-Raum die besetzten Zustände des Elektronengasesim Grundzustand ein. der Gesamtimpuls =0 da für jeden besetzten Zustand k ein unbesetzter Zustand -k vorhanden ist.
p=hquergestrichen*k =m*v=0
- für t>0: unter dem Einfluss einer konst. Kraft (elek. Strom, mehr e- wellen nach recht als nach links)
k-Vektor aller Zustände nimmt um deltak = F*t/hquergestrichen zu, → Verschiebung der Fermikugel um deltak auch F=q*E bzw. -e*E
deltak = - e*E*tau/hquergestrichen
Energie des Systems ist erhöht tau...mittlere Stoßzeit
Leitfähigkeit im Festkörper
Streuprozesse von Elektronenwellen an Rumpfatomen
- keine Streuung am streng periodischen Gitter
- nur an Störunge: Gitterfehler, Fremdatome→zeitunabhänig
Gitterschwingungen T- abhänig
Energielücken
durch Braggreflexion entstehen stehende Wellen am rezibroken Gitter
→ Lösung: zu gleichen Teilen nach rechts und nach links laufende Wellen
exp(+- i phi/a x) → zwei verschiedene stehende Wellen:
großPhI+ = 2cos(pi/a x) → Anhäufungen von e- an Ionenrümpfen →Erniedrigung Energie
großPhi- = 2i sin(pi/a x) → Anhäufungen von e- zw Ionenrümpfen →Erhöhung Energie
es entsteht eine Energielücke (verbotene Zone) Eg = E(-) - E(+)
weitere Lücken bei n*pi/a
Hume-Rothery-Regeln
- Atomradien: rB weicht mehr als 15% von rA ab
alpha Phase wird bei geringen zusätzen von B instabil
- Elektronennegativität EN: B wesentlich stärker negativ als A exotherme Bindungswärme = - (ENa-Enb)²
- Valenzelektronenkonzentration VEL oder e/a
e/a = za*xa + zb*xb z... Gruppennr. im PSE Fe, Co, Ni, Pd, Pt, =0; Cu, Ag,Au = 1; Zn = 2
Merkmale für vollständige Mischbarkeit
- gleiche Kristallstruktur
- ähnliche Elektronenstrucktur
- delta r < 15%
- delta EN gering
Unterschied intermetallische Phase und intermetallische Verbindung
IP→ wenn Phasenbreite, konzentrationsschwankungen mgl
IV→ Strichphase, stöchiomet. Verbindung
Charakterisierung Lavesphasen, Zintl- Phasen, Hume-Rothery.Phasen
delta r bestimmt→Löslichkeitsgrenze/Mischungslücke
Laves- Phasen bei rA/rB = 1,23
Einlagerungsmk
delta EN bestimmt→ Zintl- Phasen
elektropositives Metall (Alkalmetall) + elek.neg. Element (Si Ge)
ionischer Bindungsanteil, scharf stöchiometrisch
Ca2Si, CaS, CaSi2
e/a bestimmt→ Hume- Rothery-Phasen/ Elektronenphasen
keine bis mittlere Phasenbreite
Cu-Sn, Cu-Zn
Elektronenphasen
- Elemente: Cu, Ag, Au mit Si, Ge, Zn, Sn
- zb. CuZn
besitzten Ordnungsübergänge: z.B. betha CuZn- Mk 50/50, betha' Cu in der Mitte Zn auf Eckplätzen
Vorraussetzungen Elektronenphasen
Atomgrößenfaktor delta = (rB- rA)*rA muss klein sein
daraus folgt Ausdehnung der Phasengebiete im wesentlichen durch e/a bestimmt
Auftragung Stabilitätsgrenze über e/a
Alpha stabil bis 1,4 erbibt Cu3 -Zn2
betha stabil bis 1,5 ergibt Cu- Zn
gamma stabil bis 1,62 Cu5Zn8
etha bis 1,75 CuZn3
so genannte "magische" e/a Verhältnisse
Atomgrößen bedingte Phasen
15%- Grenze für Löslichkeit
- freie Verzerrungsenthalpie pro Atom: Es = Ga*großOmegaa*delta²
Ga... Schubmodul, großOmegaa... mittleres Volumen pro Atom, delta... Mischungsfaktor
- Laves- Phasen AB2 rA/rB=1,225
Packungsdominiert
sehr dichte Phasen mgl MgCu2, MgNi2MgZn2
- Einlagerungsphasen Metall- NM rE/r < 0,6 Elemente H,B, N, C
in Metallgitter eingelagert, Tetraeder-, Oktaederlücken
Zustandsdiagramm grundlegende Begriffe: Komponente, Phase, Phasenregel
Komponente K:verschiedene chem. Elemente des systems
Phase: physikalisch einheitliche Substanz, Konzentrazion muss nicht einheitlich sein
Phasenregel: F=K-P + 2
F...Freiheitsgrad bei
Masse und Atomprozent
Masseprozent wA: mA/m *100% m...Gesamtmasse
mA=nA*MA
Atomprozent xA: nA/n*100% n...Gesamtanzahl
von xA auf wA : wA= (xA*MA)/(xA*MA+xB*MB)
von wA auf xA : xA= (wA/MA)/(wA/MA + wB/MB)
Nennen Sie die Grundbestandeile einer Kristallstrucktur. Beschreibung
Gitter+ Basis
Gitter: - definiert durch 3 Translationsvektoren a1, a2,a3 (nicht coplanar)
- von jedem Pkt r aus betrachtet gleiche Anordnung der Atome in jede Richtung
- Menge aller Pkt r' definieren das Gitter
- zwei Gitterpkte können durch Gittertranslation T miteinander verbunden werden r'=r + T
Basis: - einzelnes Atom (meist bei Metallen)
- mehrere Atome (Gruppe von Atomen)bis >1000
- edem Gitterpkt wird die gleiche Basis zu geordnet
Was ist eine primitives Gitter?
primitive Gitterzelle: Zelle mit kleinst möglichem Volumen
Grundstrucktur für Konstruktion des reziproken Gitters für alle Punkte r,r' gilt stehts:
r' = r + n1a1 +n2a2+ n3a3 n Element Z
Was ist die Wigner Seitz Zelle
- mittelsenkrechte Fläche der Verbindungslinien benachbarter Gitterpunkte
- minimales Volumen → primitive Zelle
- reziprokes Gitter1. Brillouim- Zone
- Ermittlung: - von Gitterpkt Verbindungslinien zu all seinen Nachbarpkt.en
konstruieren der Mittelsenkrechten der Verbindungsgeraden
es ergibt sich die Wigner Seitz- Zelle
Durch welche Prozesse lässt sich ein Kristallgitter in sich selbst überführen?
- Gittertransation
- Symmetrieoptionen: Drehen um die eigene Achse durch einen Gitterpkt (z.b. 2pi, pi, 2/3pi, pi/2, andere Drehwinkel nicht mgl)
Spiegelung an der Gitterebene
Inversion→ Rotation um 180° und Spiegelung an einer ebene senkrecht zur Drehachse
Welche 2-D Gittertypen gibt es?
5 unterschiedliche
1 x schief winklig, 4 x spezielle Gitter
a) quadratisch a1=a2, winkel 90°
b) hexagonal a1=a2, Winkel =120°
c) rechtwinklig a1 ungleich a2, Winkel 90°
d) zentriert rechtwinklig a1 ungleich a2, Winkel 90°, "Atome in der Basis
Welche 3-D Gittertypen kennen Sie?
14 verschiedene Bravais- Gitter 7 Zelltypen
- kubische Giter (3): a1=a2=a3, alpha =betha=gamma=90°
einfach kubisch primitiv, kubisch raumzentriert, kubisch flächenzentriert
- triklin (1): a1 ungleich a2 ungleich a3, alphs unglich betha ungleich gamma
- monoklin (2): a1 ungleich a2 ungleich a3, alpha = gamma = 90° ungleich betha
primitiv, basiszentriert
-orthorombisch (4) :a1 ungleich a2 ungleich a3,alpha =betha=gamma=90°
primitiv, basiszentriert, flächenzentriert und raumzentriert
- tetragonal (2): a1=a2 ungleich a3, alpha =betha=gamma=90°
primitiv, raumzentriert
- rhomboedrisch (1): a1 = a2 =a3, alpha =betha=gamma ungleich 90°, < 120°
- hexagonal (1): a1 =a2 ungleich a3, alpha =betha=90°, gamma = 120°
die primitive Zelle des krz-Gitter
- rhomboeder Seitenläng: Wurzel 3/2 a
-winkel zw. sich schneidenden Kanten 109° 28'
- ein Atom pro Einheitszelle
- Volumen der a³/2 a1*(a2xa3)
die primitive Zelle des kfz- Gitters
- nur ein Atom pro Zelle V = a³* 0,25
- Rhomboeder: Winkel zw. Kanten 60°
- a1=a/2(xdach+ydach); a2=a/2(ydach+zdach), a3=a/2(zdach+xdach)
Besonderheiten des einfach kubischen Gitters
- instabil hinsichtlich Scherung
- nur ein Element: Polonium
- Vermeidung gerichteter Bindungen
Vorgehen zur Bestimmung Miller'scher Indizes
- 1. Bestimmen der Schnittpkt mit der Ebene
- 2. Kehrwert der Zahlen bilden
- 3. gemeinsamen Nenner finden
- 4. ganze Zahlen im gleichen Verhälnis
aus a1=3, a2=2, a3=2 wird (hkl)=(2,3,3)
Parallele Ebenen = Schar {100}
Flächendiagonale {110}
Raumdiagonale {111}
Merkmale des hexagonalen Gitters
- primitive Einheitszelle: Rhombus mit 120° Winkel zur Basisebene
- hexagonal dichtest gepackt
- Basis mit 2 Atomen
- a1=a2, a3 senkrecht zu (a1,a2) winkel 120° a3=1,633*a (Abweichungen mgl)
- 1. Atom (000), 2. Atom (2/3 1/3 1/2) r= (2/3a1 + 1/3a2+ 1/2a3)
Beziehung zw. hdp und kfz
1. Schicht: Basisebene in hdp entspricht (111) Ebene im Kfz
2. schicht: hdp: Punkte B kfz: Punkte B
3. Schicht: hdp: Punkte A kfz: Punkte C
Stapelfolge hdp: ABABAB... kfz: ABCABC...
je 12 NN → dichtest gepackt, Raumfüllung: 0,74
Phasenumwandlung hdp ⇔kfz z.B. Co
Diamant- Struktur
- kfz (doppelt besetzt)
- 8 Atome pro Einheitswürfel
- tetraedrische Bindung sp³ hypridisiert
- 4 NN, 12 NNN
- Raumfüllung: 0,34
- Elemente mit dieser Struktur: C, Si, Ge
Charakteristische Eigenschaften der kubischen Gitter : einfach kubisch
- Volumen der Einheitszelle: a^3
- Anzahl der Gitterpkt pro EZ: 1
- Anzahl nächste Nachbarn: 6
- Anzahl NNN: 12
- Packungsverhältnis: 1/6 pi = 0,524
- Anzahl Gitterpkt pro Einheitsvolumen: 1/a³
- Abstand zweier NN: a
- Abstand zweier NNN: 2^(0,5)a
charakteristische Eigenschaften der kubischen Gitter: raumzentriert
- Volumen der primitiven Einheitszelle: 1/2a³
- Volumen der gebräuchlichen EZ: a³
- Anzahl Gitterpkt. in EZ: 2
- Anzahl Gitterpkt pro Einheitsvolumen: 2/a³
- Anzahl NN: 8
- Anzahl NNN: 6
- Abstand NN: 0,866a
- Abstand NNN: a
- Packungsverhältnis: 0,68
chraker. Eigenschaften der kubischen Gitter: kfz
- Volumen gebräuchlische EZ: a³
- Volumen der primitiven EZ: 1/4 a³
- Anzahl Gitterpkt der EZ: 4
- Anzahl Gitterpkt pro Einheitsvolumen: 4/a³
- Anzahl NN: 12
- Anzahl NNN: 6
- Abstand NN: 0,707a
- Abstand NNN: a
- Packungsverhältnis: 0,74
Wie nennet man die Transformation des Kristalgitters inm Fourier Raum?
reziprokes Gitter
Definition der Achsenvektoren im reziproken Gitter
Volumen der Einheitszelle: V= a1(a2xa3)
Achsenvektoren des rez. Gitters b1, b2, b3
b1 = 2pi/V*(a2xa3), b2= 2pi/V*(a3xa1), b1 = 2pi/V*(a1xa2),
reziproker Gittervektor G = 1/m
m ortsraum der Fouriertransformation
Abstand zw. zwei aufeinander folgenden parallelen Ebenen
d(hkl) = 2pi/(Betrag G(hkl)
G(hkl) = hb1 + kb2 + lb3
Bildbeugung = Darstellung reziprokes Gitter
Konstruktion der Wigner- Seitz- Zelle im reziproken Gitter
- Vektor G vom Ursprung zu reziproken Gitter#- Mittelsenkrechte zum Vektor G
- Ebene bildet teil des Randes der 1. Brillouin- Zone
- Oberfläche der ersten Brillouin Zone: Menge dieser Ebenen
- Wellenausbreitung im Kristall (Wellen deren Wellenzahlvektor auf einer dieser Ebenen endet, erfüllt die Beugungsbedingung
- auch höhere Ordnungen
-
- 1 / 73
-
Lernkarten
Schritte zum Einbau von Bausteinen in das Kristallgitter
1. Transport der BS zur Phasengrenze
2. Adsorption auf einer atomar glatten Terasse
3. Transport zur Stufe (Oberflächediff)
4. Anlagerung an der Stufe
5. Transport entlang der Stufe zur HKL
6. Einbau in die Stufe
chem. Potential
auch partielle molare Freie Enthalpie
- intensive thermody. Größe
dG/dni =µi µi chem. Potential der Komp. i
Bedeutung;: Wenn zu einem System aus n Atomen eine Anzahl Atome(dni) der Komp. i hinzugefügt werden, ändert sich die freie Enthalpie G proportional zu dni um µi
G= Summe µi*ni
Wahrscheinlichkeit und Entropie
S=k* ln(W) k...Bolzmannkonst, w ..anzahl der Realisierungsmöglichkeiten (mirkozustände), S... Entropie
w ges = Summe (n über k) n... bsp. Leerstellen, k... Anzahl vorhandener Gitterplätze
→die mittleren Zustände haben die meisten Mikrozustände
→ Wahrscheinlichkeit für mittlere Zustände am höchsten p = w(k)/w(ges)→ höchste Entropie
Probleme der klassischen theorie des Ladungstransportes
- spezifische Wärme Cp
Energiebetrag einen einatomigen Gases 3/2Kb, Cp ist nach Messung um Gößenordnung 10^3 zu klein
Grundaussage der Quantenmechanik
- es existieren direkte Energiezustände
- Übergang von einem in einem anderen Zustand nur wenn genügend Energie vorhanden ist und wenn Platz frei ist
- Welle-Teilchen- Dualismus
- de Broglie
Was sagt de Broglie aus?
jedem Teilchen wird eine Welle zugeordnet
Wellenlänge lambda = h/p h... Planesches Wirkungsquantum, p...Impuls
p= h quergestrichen*k k... Wellenzahlfaktor h quergestrichen... h/2pi
Energie betrachtung für Reale Lösungen
delta S(M) ist ideal, delta H(M) ungleich 0
deltaG(M) = delta H(M) -T*deltaS(M) ist rund deltaU(M)-T*deltaS(M)
deltaU(M) = U2-U1, U1→zwei reine EK, U2→Mischkristall
U2= 0,5*n*N*(xa*Paa*epsilon aa + xa*Pab*epsilon ab + xb*Pba*epsilon ba+xb*Pbb*epsilon bb)
Paa= Wahrscheinlichkeit dafür ein A-Nachbarn bei einem A-Atom zu finden
epsilon... Wechselwirkungsenergie
es ergibt sich nach Umformung:
delta U(M) =n*N*(xa * xb*epsilon)
Vertauschungsenergie epsilon
epsilon = epsilon ab - 0,5*(epsilon aa - epsilon bb)
epsilon >0 Energieverlust → Tendenz zur Entmischung
epsilon <0 Energiegewinn→ Tendenz zur Legierungsbildung
epsilon =0 ideale Lösung
Formel für die freie Enthalphie bei Mischungen
delta G(M) = delta U(M) - T*delta S(M)
= n*N*xa*xb*epsilon + N*k*T(xa*ln(xa)+xb*ln(xb))
Wann tritt spinadale Entmischung ein?
- wenn beide Elemente isomorph sind
- epsilon > 0, positives deltaH(M)
- xb zwischen den Wendepkt. von G(x) liegt → Endzustand entmischtes System ist x alpha uns xbetha
Weg der Entmischung
- Keimbilung und Keimwachstum
- spontane Entmischung→spinodale entmischung
- a)xb zw. Minimum und WP ⇒ x1, lokale Entmischung günstiger als die G(x) Kurve für Mischkristall
lokale Entmischung instabil löst sich wieder auf
- b) xb zw. den Wendepukten ⇒ x2, lokale Entmischung führt zu einem geringeren G(x), da die Sehne unterhalb liegt → Konzetrationsfluktuation verstärkt sich → Bergausdiffusion
die Wellenfunktion
-groß phi (x) Wahrscheinlichkeit ein Elektron bei x anzutreffen
- muss Lösung der Schrödingergleichung sein:
Hdach*groß Phi(x) = E * groß Phi(x)
Hdach... Hamilton operator
E...Energie es e- bzw Energieeigenwert
Pauliprinzip
2 Elektronen dürfen niemals in allen Quantenzuständen gleich sein⇒ Spin muss entgegengesetzt sein ms = +- 1/2
Fermienergie
Ef =( h quergestrichen)² / (2m) * (n*pi/L)² L...Ausdehnung
Impuls, Ekin
p = m*v, Ekin = p²/(2m)
freies Elektronengas in 3D
Ek = (h quergestrichen)²/(2m)*k²
Besetzungsgrenze für Elektronen
Ef= hquergestrichen²*kf2/(2m) kf...Fermi-Wellenzahl
E<gleich Ef alle besetzt
E> Ef alle frei
Fermi- Dirac- Verteilung
Wahrscheinlichkeit, dass Zustand der Energie E des idealen (freien) Elektronengases besetzt ist (im therm. dyn. Gleichgewicht)
f(E) = 1/(exp ((E-Ef)/(kb*T))+1)
Ef = einige eV 1eV = 10000K ⇒ Ef = einige 10000K
bei RT: T=300K, Kb*T rund 1/30eV
Fermitemperatur
Tf = Ef/kb
spez. Wärme Elektronengas
C el rund N*kb*T/Tf
Schrödingergleichung für freies Elektronengas
.....
Leitfähigkeit im Festkörper
Ladungstransprot durch Fermikugel
- Zeitpunkt t=0: Fermikugel schließtim k-Raum die besetzten Zustände des Elektronengasesim Grundzustand ein. der Gesamtimpuls =0 da für jeden besetzten Zustand k ein unbesetzter Zustand -k vorhanden ist.
p=hquergestrichen*k =m*v=0
- für t>0: unter dem Einfluss einer konst. Kraft (elek. Strom, mehr e- wellen nach recht als nach links)
k-Vektor aller Zustände nimmt um deltak = F*t/hquergestrichen zu, → Verschiebung der Fermikugel um deltak auch F=q*E bzw. -e*E
deltak = - e*E*tau/hquergestrichen
Energie des Systems ist erhöht tau...mittlere Stoßzeit
Leitfähigkeit im Festkörper
Streuprozesse von Elektronenwellen an Rumpfatomen
- keine Streuung am streng periodischen Gitter
- nur an Störunge: Gitterfehler, Fremdatome→zeitunabhänig
Gitterschwingungen T- abhänig
Energielücken
durch Braggreflexion entstehen stehende Wellen am rezibroken Gitter
→ Lösung: zu gleichen Teilen nach rechts und nach links laufende Wellen
exp(+- i phi/a x) → zwei verschiedene stehende Wellen:
großPhI+ = 2cos(pi/a x) → Anhäufungen von e- an Ionenrümpfen →Erniedrigung Energie
großPhi- = 2i sin(pi/a x) → Anhäufungen von e- zw Ionenrümpfen →Erhöhung Energie
es entsteht eine Energielücke (verbotene Zone) Eg = E(-) - E(+)
weitere Lücken bei n*pi/a
Hume-Rothery-Regeln
- Atomradien: rB weicht mehr als 15% von rA ab
alpha Phase wird bei geringen zusätzen von B instabil
- Elektronennegativität EN: B wesentlich stärker negativ als A exotherme Bindungswärme = - (ENa-Enb)²
- Valenzelektronenkonzentration VEL oder e/a
e/a = za*xa + zb*xb z... Gruppennr. im PSE Fe, Co, Ni, Pd, Pt, =0; Cu, Ag,Au = 1; Zn = 2
Merkmale für vollständige Mischbarkeit
- gleiche Kristallstruktur
- ähnliche Elektronenstrucktur
- delta r < 15%
- delta EN gering
Unterschied intermetallische Phase und intermetallische Verbindung
IP→ wenn Phasenbreite, konzentrationsschwankungen mgl
IV→ Strichphase, stöchiomet. Verbindung
Charakterisierung Lavesphasen, Zintl- Phasen, Hume-Rothery.Phasen
delta r bestimmt→Löslichkeitsgrenze/Mischungslücke
Laves- Phasen bei rA/rB = 1,23
Einlagerungsmk
delta EN bestimmt→ Zintl- Phasen
elektropositives Metall (Alkalmetall) + elek.neg. Element (Si Ge)
ionischer Bindungsanteil, scharf stöchiometrisch
Ca2Si, CaS, CaSi2
e/a bestimmt→ Hume- Rothery-Phasen/ Elektronenphasen
keine bis mittlere Phasenbreite
Cu-Sn, Cu-Zn
Elektronenphasen
- Elemente: Cu, Ag, Au mit Si, Ge, Zn, Sn
- zb. CuZn
besitzten Ordnungsübergänge: z.B. betha CuZn- Mk 50/50, betha' Cu in der Mitte Zn auf Eckplätzen
Vorraussetzungen Elektronenphasen
Atomgrößenfaktor delta = (rB- rA)*rA muss klein sein
daraus folgt Ausdehnung der Phasengebiete im wesentlichen durch e/a bestimmt
Auftragung Stabilitätsgrenze über e/a
Alpha stabil bis 1,4 erbibt Cu3 -Zn2
betha stabil bis 1,5 ergibt Cu- Zn
gamma stabil bis 1,62 Cu5Zn8
etha bis 1,75 CuZn3
so genannte "magische" e/a Verhältnisse
Atomgrößen bedingte Phasen
15%- Grenze für Löslichkeit
- freie Verzerrungsenthalpie pro Atom: Es = Ga*großOmegaa*delta²
Ga... Schubmodul, großOmegaa... mittleres Volumen pro Atom, delta... Mischungsfaktor
- Laves- Phasen AB2 rA/rB=1,225
Packungsdominiert
sehr dichte Phasen mgl MgCu2, MgNi2MgZn2
- Einlagerungsphasen Metall- NM rE/r < 0,6 Elemente H,B, N, C
in Metallgitter eingelagert, Tetraeder-, Oktaederlücken
Zustandsdiagramm grundlegende Begriffe: Komponente, Phase, Phasenregel
Komponente K:verschiedene chem. Elemente des systems
Phase: physikalisch einheitliche Substanz, Konzentrazion muss nicht einheitlich sein
Phasenregel: F=K-P + 2
F...Freiheitsgrad bei
Masse und Atomprozent
Masseprozent wA: mA/m *100% m...Gesamtmasse
mA=nA*MA
Atomprozent xA: nA/n*100% n...Gesamtanzahl
von xA auf wA : wA= (xA*MA)/(xA*MA+xB*MB)
von wA auf xA : xA= (wA/MA)/(wA/MA + wB/MB)
