Ma 1
praxisrelevante Theorie
praxisrelevante Theorie
2te partielle Ableitung Kettenregel
s.B.
konvexität, konkavität R^2
s.B.
Satz über implizite Funktionen
s.B.
Definition Implizite Funktionen
s.B.
2te Ableitung einer impliziten Funktion
s.B.
Notwendige Optimalitätsbedingung
s.B.
Hinreichende Optimalitätsbedinungen 2. Ordnung
s.B.
Sattelpunkt
s.B.
rel. Minima Begründung der hinreichenden Bedingung
s.B.
rel. Maxima Begründung hinreichende Bedingung
s.B.
Optimalitätskriterien konkaver/konvexer Funktionen
s.B.
Reduktionsmethode
s.B.
Reduktionsmethode globale Extremalstellen
s.B.
Idee der Reduktionsmethode
s.B.
Satz von Lagrange
s.B.
Voraussetzung Lagrange
s.B.
Konvexe Optimierungsaufgabe
s.B.
Homogenität
s.B.
Lagrange Bemerkung 1
s.B.
Lagrange Bemerkung 2
s.B.
Aussage
Eine Aussage ist ein sinnvoller Satz, der entweder
wahr oder falsch ist.
Quantoren
∀ ”f ̈ur alle”
∃ ”es existiert (mindestens) ein”
p∧ q
Konjunktion: p und q (genau dann wahr, wenn p wahr und q wahr)
Alternative p∨ q
p oder q (genau dann falsch, wenn p falsch und q falsch)
¬q Verneinung, Negation
nicht p (genau dann wahr, wenn p falsch)
p-->q Implikation
- aus p folgt q (genau dann falsch, wenn p wahr und q falsch)
- Umkehrung q-->p kann anderen Wahrheitswert haben, falls sie den gleichen hat Äquivalenz
- p⇔q p genau dann, wenn q (genau dann wahr, wenn p und q die gleichen Wahrheitswerte haben)
Wahre Äquivalenzen
wobei Verneinung immer umgekehrten Wahrheitswert besitzt und Kontrapositon den jeweils gleichen.
Zahlenmengen
siehe Bild
Teilmengen
Die Menge, die kein Element enthält, heisst leere Menge , Symbol ∅ . Zwei Mengen A, B, die kein gemeinsames Element enthalten, heissen disjunkt (oder durchschnittsfremd).
Es gilt stets: ∅ ⊆ A für alle Mengen A
∅ungleich {∅}
Venn-Diagramme
Siehe Bild
Intervalle
s.B.
undendliche Intervalle
s.B.
Funktion
Eine Funktion f von A in B ist eine Zuordnung, die
jedem Element x ∈ A genau ein Element y ∈ B zuordnet.
natürlicher Definitionsbereich
s.B.
Injektivität
Jedes Y hat genau ein Urbild X, eine eindeutige Zuweisung.
Y=X^2 ist nur für X>0 injektiv z.B
Verkettung von Funktionen
Genügen f : A → B und g : Wf ⊆ Dg.
so lassen sich f und g verketten zur Zusammensetzung g ◦ f von f und g
Umkehrfunktion
s.B
surjektiv, bijektiv
surjektiv: falls jedes Element des Bildbereichs B erreicht wird. ∀ Y gibt es mindestens ein X Element A, sodass f(x)=Y
bijektiv: falls eine Funktion sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Monotonie
- Monotonie ist eine Eigenschaft über Intervallen (bzw. Mengen) - nicht in Punkten!
- Satz: Sei D ⊆ ein Intervall. Wenn f : D → auf D streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist, so ist f injektiv. Umkehrung gilt nicht!
sup, inf, max, min
Existieren für M ungleich ∅ das Supremum bzw. das Infimum nicht, so schreiben wir symbolisch sup M = +∞ bzw. inf M = −∞ .
-
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-
Cartes-fiches
Monotoniesatz
s.B.
Extremwertsatz von Weierstrasse
s.B.
Stetigkeit der Umkehrfunktion
s.B.
Differenzenquotient
s.B.
Differentialquotient
s.B.
Differenzierbarkeit
s.B
Tangentengleichung
s.B.
Ableitung
s.B.
Differenzierbarkeit
S.B
Differenzierbarkeit und Stetigkeit
- Wenn f differenzierbar in x0 ist, so ist f stetig in x0.
- Folgerung (Kontraposition): f unstetig in x0 ⇒ f nicht differenzierbar in x0. Umkehrung gilt nicht!
n-mal stetige Differenzierbarkeit
s.B.
Rechnen mit Ableitungen
s.B
Kettenregel
s.B
Ableitung der reziproken Funktion zu g
s.B.
Ableitung der Umkehrfunktion
s.B.
Ableitungsregeln
- (x^α)′ = α · x^α−1
(e^2x)'=2e^2x
(a^x)'=lna*a^x
Ableitung der trigometrischen Funktionen
s.B.
Folgerungen aus dem Mittelwertsatz
s.B.
Kriterium für Monotonie
s.B.
Relatives Extrema
s.B.
Notwendiges Optimalitätskriterium 1. Ordnung:
s.B.
Hinreichendes Optimalitätskriterium 1.Ordnung
s.B.
Hinreichendes Optimalitätskriterium 2. Ordnung
s.B.
Extremwertanalyse
s.B.
Bemerkungen
s.B
Konvexitäts- und Konkavitätskriterium
s.B.
Optimalitätskriterium für konvexe und konkave Funktionen
s.B.
konvexe, konkave Funktionen
s.B.
Wendepunkt
S.B
Asymptote
s.B.
Asymptote Beispiel
S.B
Elastizität
s.b
Gewinnmaximung
s.B
Taylor-Approximation
s.B
Hinreichende Optimalitätsbedingung n-ter Ordnung
s.b
Isoquanten
s.B
Grenzwert einer Folge in einer Ebene im Raum
s.B.
Grenzwert und Stetigkeit für Funktionen mehrerer Variablen
s.B
Stetigkeit für Funktionen mehrerer Variablen
s.B.
Bemerkung Stetigkeit für Funktionen mehrerer Variablen
s.B
