M6 Grundlagen der Testkonstruktion

• Eins

• Eigenwert geteilt durch Gesamtzahl der Items

• Summation der Eigenwerte aller Komponenten geteilt durch die Itemzahl (bei Unkorreliertheit der Komponenten) = identisch mit der Summe der Elemente der Hauptdiagonalen der Korrelationsmatrix „Spur der Matrix“, entspricht der Summe der quadrierten Ladungen

• Obergrenze für Anzahl der zu extrahierenden Faktoren bei der PCA

• Faustregel: Extraktion von Komoponenten mit Eigenwert > 1 (aufgeklärte Varianz durch neue Variablen größer als die der alten, unterhalb keine Datenreduktion mehr)

• grafische Analyse des Eigenwertverlaufs über alle Faktoren

• Eigenwerte nach Größe sortiert

• Knick in Linie als Abbruchkriterium

• KG-Kriterium muss gelten

• Signifikanztests wie Bartlett-Test auf signifikante, verbleibende Abweichung der Residualmatrix von der Identitätsmatrix nach Faktorextraktion (ungeeignet bei grpßen Stichproben)

• X²-Test bei ML-Faktorenanalyse auf Angemessenheit der Gesamtzahl extrahierter Faktoren (Passung der aktuellen Lösung zu Daten als Nullhypothese), direkte Abhängigkeit von der Stichprobengröße

• weiteres Abbruchkriterium bei der Extraktion von Faktoren

• viele Matrizen mit Zufallswerten erstellt mit gleichem Rang wie empirische Matrix, Faktoren aus Zufallskorrelationen extrahiert und nach Eigenwerten geordnet

• Korrelationsmatrix von Zufallswerten in unendlich großen Stichproben entspricht der Identitätsmatrix, Abweichungen der Eigenwerte von Eins (PCA) sind zufällig bedingt

• Faktoren / Komponenten beibehalten, wenn Eigenwerte die Eigenwerte der Faktoren aus der Zufallsmatrix mit dem gleichen Rangplatz übersteigen (Verteilung der zufallsgenerierten Eigenwerte, z.B. Eigenwerte > als 95 % der zufallsgenerierten Eigenwerte mit gleichem Rangplatz = überzufällige Abweichung des empirischen Eigenwerts nach oben)

• sehr große Stichprobenzahl: Überschätzung der Faktorenzahl

• hypothetisch: N--> unendlich: Ergebnis der Parallelanalyse entspricht KG-Kriterium

• zufälligen Scree-Plot über den emprischen projizieren

• nur die Faktoren links vom Schnittpunkt der beiden Kurven extrahieren

• Minimum-Average-Partial-Test von Velicer (1976)

• weiteres Verfahren zur Extraktion von Faktoren

• Hilfsmittel zur Interpretation der neu entdeckten Faktoren

• meist Kriterium der Einfachstruktur angestrebt: Ladungsmuster, bei dem die Ladungen der Items auf die Faktoren in der Faktoren- oder Komponentenmatrix eher ungleichmäßig verteilt

• verändert wird die Lage der Faktoren im Faktorraum: Drehung der Achsen (Faktoren, Komponenten), so dass Punkte (Items, beobachtbare Variablen) den Achsen möglichst eindeutig zugeordnet werden können (Einfachstruktur)

• Gesamtvarianz der extrahierten Variablen bleibt erhalten, es ändert sich die Verteilung der Varianz auf die extrahierten Faktoren / Komponenten (dh. Deren Eigenwerte, die gleichmäßiger werden)

• rechtwinklige Rotation – Achsen rechtwinklig im Faktorraum → Unabhängigkeit

• schiefwinklige Rotation – auch Winkel zwischen den Achsen wird verändert

• Korrelation zwischen den Achsen (Faktoren) ist zugelassen (→ Redundanz)

• quadrierte Ladungen können nicht mehr zeilenweise aufsummiert werden für Kommunalitäten

• neue Eigenwerte addieren sich nicht mehr zu einem Maß für die aufgeklärte Gesamtvarianz

• bessere Interpretierbarkeit (bessere Verteilung von Merhfachladungen), dafür nicht mehr so sparsam

• Bei Vorliegen theoretischer Vorannahmen, jedoch die Voraussetzungen für eine CFA ungünstig sind

• Reproduktion einer erwarteten oder früher gefundenen Faktorenstruktur anhand empirischer Daten

• = konfirmatorisches Vorgehen innerhalb der EFA

• Varimax-Rotation: dominierende Technik, Unterschiede der Ladungen innerhalb eines Faktors maximiert → Komplexität wird minimiert, bessere Interpretierbarkeit, aber nicht Eindeutigkeit

• Quartimax-Rotation: Variante Varimax, Ziel Eindeutigkeit der Faktorenzuordnung

• Equamax-Rotation: Variante Varimax, Kompormiss Interpretierbarkeit und Eindeutigkeit

• keine dominierende Technik

• Promax-Rotation: Ladungen aus orthogonaler Lösung mit Exponenten potenziert → hohe Ladungen verkleinern sich, geringe Ladungen verschwinden fast ganz

• Direkte Oblimin-Rotation: Grad der Korreliertheit verändern über Einstellung des Delta-Wertes (max. → Delta = 0, Orthogonalität → Delta = -4)

• Ein bis zwei neue Ladungsmatrizen (je nach Verfahren)

• bei obliquer Rotation zusätzlich eine Korrelationsmatrix der rotierten Komponenten bzw. Faktoren („Primärfaktoren“)

• Oblique Rotation → Korrelationsmatrix der Primärfaktoren

• Hierarchische Strukturen lassen sich bei obliquer Rotation mittels EFA höherer Ordnung aufdecken (auch mit CFA prüfbar)

• Strukturmatrix: Korrelationen zwischen Items und rotierten Faktoren mit „Strukturkoeffizienten“

• Mustermatrix: partielle standardisierte Regressionsgewichte des Items mit den rotierten Faktoren, Gewichte a (faktorenanalytische Grundgleichung) = „Faktormusterkoeffizienten“ (factor pattern coefficients)

• Matrizen unterscheiden sich umso stärker, je höher die Faktoren miteinander korrelieren

• Matrizen sind bei orthogonaler Rotation identisch

• Mustermatrix: indirekte Korrelationen der Faktoren untereinander sind auspartialisiert → sind eindeutiger dem jeweiligen Faktor zuzuordnen

• ergänzend sind Strukturkoeffizienten (= Korrelationen nullter Ordnung) zu berücksichtigen

• Musterkoeffizienten: im Extremfall >1 oder <-1

• Strukturkoeffizienten: 0-1

• Das Muster der Ladungskoeffizienten (nicht quadriert)

• Items mit höheren Ladungen auf Faktoren (> .40 bis .60 oder mit a²/h² > .50) - „Hauptladungen“

• „Nebenladungen“ (Sekundärladungen) für das Gesamtbild der Einfachstruktur

• Items, die eindeutig einem Faktor zugeordnet werden können – auf diesen hoch, auf andere niedrig laden

• Interpretationshilfe

• Ein Faktor soll durch möglichst viele Variablen mit jeweils möglichst hohen Ladungen definiert sein, besonders bei kleinen Stichproben

• Methoden der CFA

• Methoden, die auf die Prokrustes-Rotation zurückgreifen

• Wenn Items genau einem Faktor zugordnet werden, gehen u.U.. Nebenladungen unter

• Faktorwerte ergeben sich mit faktorenanalytischer Grundgleichung als gewichtete Kombination der Items, die zu dem jeweiligen Faktor beitragen (Gewichte in der Koeffizientenmatrix angezeigt) → werden aus den Daten berechnet und nicht direkt beobachtet → sind extrem Stichprobenabhängig

• häufigste Methode: Regressionsrechnung

• Methoden führen zu z-standardisierten Variablen (bei PCA auch zu identischen Ergebnissen)

• möglich: Vergleiche zwischen Teilstichproben (z.B. Geschlechtervergleiche)

• Trennt gemeinsame Varianz der Items von deren Spezifität und ggf. den Fehleranteil

• Korrelierte Faktorwerte auf gemeinsame Sekundärfaktoren und die den Primärfaktoren spezifische Varianz

• Der Korrelation der Faktoren selbst

KMO und Bartlett-Test auf Sphärizität (DESKRIPTIVE STATISTIK)

• Die Korrelationsmatrix unterscheidet sich überzufällig von der Diagonal- oder Identitätsmatrix (Nullkorrelationen)