Lineare Algebra für TPH
Lineare Algebra für TPH (TUW)
Lineare Algebra für TPH (TUW)
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Flashcards
Wie nennt man die Menge aller Lösungen eines Gleichungssystems?
Ein lineares inhomogenes Gleichungssystem Ax=b ist genau dann lösbar, wenn
Rang (A|b) = Rang(A)
Seien A, B und C Matrizen. Ist Matrixmultiplikation assoziativ?
(AB)C = A(BC)
Seien A und B beliebige Matrizen. Ist die Matrixmultiplikation kommutativ?
AB = BA
Eine Matrix heißt ... wenn gilt:
\(A^T = A\)
symmetrisch
Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem Ax=0 in n Unbekannten mit der Koeffizientenmatrix
\(A \in K^{n \times n}\)
Die Menge aller Vektoren \(x \in K^n\), für die Ax = 0 gilt, nennt man
Kern
Die Menge Kern(A) bildet einen Unterraum von \(K^n\)
Sei r = Rang(A).
dim Kern(A) = n - r
Sei r = Rang(A).
dim Kern(A) = n + r
Sei A eine m x n - Matrix und Ax=b ein inhomogenes lineares Gleichungssystem. Dann ist die [...] gegeben durch
z + Kern(A)
wobei z eine beliebige Partikulärlösung von Ax = b ist.
allgemeine Lösung
Was sind Eigenschaften einer regulären Matrix A?
Was sind Eigenschaften einer regulären Matrix A?
Was sind Eigenschaften einer regulären Matrix A?
Welche Aussagen treffen auf eine invertierbare n x n - Matrix A zu?
Gegeben sei eine lineare Abbildung \(\varphi: V \to W\)
Es gelte \(\mathrm{Kern(\varphi)} = \{ \mathbf0 \}\)
Gegeben sei eine lineare Abbildung \(\varphi: V \to W\)
\(\text{dim Kern}(\varphi) + \text{dim Bild}(\varphi)\) \( = \dim V\)
Welche Matrixdarstellung linearer Abbildungen bezüglich beliebiger Basen ist formal korrekt?
a) \([\varphi(\vec v)]_C = [\varphi(B)]_C \cdot [\vec v]_B\)
b) \([\varphi(\vec v)]_C = [\varphi(C)]_B \cdot [\vec v]_B\)
Sei \(T=T_{B' \leftarrow B}\) die Transformationsmatrix zum Basiswechsel \(B \to B'\) eines endlichdimensionalen Vektorraums V.
Zwei n x n - Matrizen A, B heißen [...] , wenn es eine invertierbare Matrix T gibt, so dass
\(B=TAT^{-1}\)
ähnlich
Eine n x n - Matrix A über K heißt [...], wenn sie zu einer Diagonalmatrix ähnlich ist.
diagonalisierbar
\(A \text{ äquivalent } B \iff \) \(\text{Rang}(A)=\text{Rang}(B)\)
[...] Matrizen beschreiben dieselbe Lineare Abbildung bezüglich verschiedener Basen
Was ist die Determinante der folgenden Matrix?
\( A=\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}\)
14
Was ist die Determinante der folgenden Matrix?
\( A=\begin{pmatrix} 2 & -3 &0 \\ 4 & 1 &1 \\1 & 0 &2\end{pmatrix}\)
25
Was ist die Determinante der folgenden Matrix?
\( A=\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\0 & 1 &0 \\0 & 0 &1\end{pmatrix}\)
1
Was ist die Determinante der folgenden Matrix?
\( A=\begin{pmatrix} 2 & -3 &0 \\ 0 & 1 &1 \\0 & 0 &2\end{pmatrix}\)
4
Es gilt \(\det A=3\)
Wie lautet die Determinante der transponierten Matrix \(\det A^T =\)
3
Die Determinante einer quadratischen Matrix A sei 0.
Welche sind definierende Eigenschaften des inneren Produkts eines euklidischen Vektorraumes?
Ein reeller Vektorraum V, auf dem ein inneres Produkt definiert ist, heißt
euklidischer Vektorraum
Sei V ein euklidischer Vektorraum. Die reelle Zahl
\(||x||_2 := \sqrt{\langle x,x\rangle}\) heißt euklidische ... oder Länge des Vektors \(x \in V\)
Norm
Ein Vektor mit \(||v||_2=1\) heißt ... Vektor
normierter
Ungleichung von Cauchy-Schwarz
\(| \langle x,y \rangle| \leq ||x||_2||y||_2\)
Zwei Vektoren x, y in einem euklidischen Vektorraum sind zueinander [...], wenn gilt \(\langle x,y \rangle = 0\)
orthogonal
Sei \(B= \{b_1, \dots b_n\} \) eine Orthonormalbasis eines euklidischen Vektorraumes V und sei \([x]_B = (x_1, \dots, x_n)^T\) der Koordinatenvektor des Vektors \(x \in V\) bezüglich der Basis B. Dann heißen die \(x_i, i=1, \dots, n\)
Fourierkoeffizienten
Besitzt jeder endlichdimensionale euklidische Vektorraum \(V \neq \{\vec 0\}\) eine Orthonormalbasis?
Ein Vektorraum, auf dem eine Norm definiert ist, heißt
normierter Vektorraum
Sei V ein euklidischer Vektorraum. Der Vinkel zwischen den Vektoren x,y ist definiert als die reelle Zahl \(\alpha\) mit:
\(\cos \alpha = \frac{\langle x,y \rangle}{||x||_2 ||y||_2}\)
Sei V ein euklidischer Vektorraum mit Dimension n und \(B=\{b_1, \dots b_n\}\) eine Basis von V.
Die Basis B heißt ... von V, falls \(\langle b_i, b_j\rangle = 0, \quad i\neq j\) gilt.
Orthogonalbasis
