Lineare Algebra für TPH

Sei V ein euklidischer Vektorraum mit Dimension n und \(B=\{b_1, \dots b_n\}\) eine Basis von V.

Die Basis B heißt ... von V, falls \(\langle b_i, b_j\rangle = \delta_{ij}\) gilt.

Sei V ein endlichdiemsnionaler euklidischer Vektorraum mit \(\dim V \geq 1\).

Welche Aussagen sind richtig?

Beim Orthonormalisierungsverfahren nach Gram-Schmidt macht man für die Bestimmung des i-ten Vektors den Ansatz: \(w_i=s_{i1}w_1+ \dots+s_{i,i-1}w_{i-1}+v_i\)

Wie berechnet man den Koeffizienten \(s_{ij}\)

Liefert das Orthonormalisierungsverfahren nach Gram-Schmidt eine eindeutige Orthonormalbasis?

Sei V ein euklidischer Vektorraum und \(M \subseteq V\). Dann heißt die Menge

\(M^\bot := \{x \in V: x \bot z \quad\forall z \in M\}\) der [...] zu M

Sei V ein euklidischer Vektorraum und \(M \subseteq V\).
Sei \(M^\bot\) der Orthogonalraum zu M.

Welche Aussagen treffen zu?

Sei V ein euklidischer Vektorraum und U ein Unterraum von V. Dann heißt der Unterraum \(U ^\bot\) das [...] von U.

Sei V ein euklidischer Vektorraum mit \(\dim V = n\) und \(U \subseteq V\) ein Unterraum von V mit \(\dim U=r\)

Welche Aussagen treffen zu?

a) \(\dim U^\bot = r\)

b) \(\dim U^\bot = n-r\)

c) Jeder Vektor \(v \in V, v \neq 0\) kann eindeutig als Summe zweier Vektoren aus \(U\) und \(U^\bot\) dargestellt werden

d) \(V = U \oplus U^\bot\)

e) Jeder Vektor, der in U enthalten ist, ist auch in \(U ^\bot\) enthalten

Sei V ein euklidischer Vektorraum, \(U \subseteq V\) ein Unterraum von V. \(w \in U^\bot\),  \(v \in V\)

Der eindeutig bestimmte Vektor \(u \in U\) in der Darstellung \(v = u+w\) heißt [...] des Vektors v auf den Unterraum U.

Sei V ein euklidischer Vektorraum, \(U \subseteq V\) ein Teilraum von V, \(v \in V\). Sei \(u\) die [...] von \(v\) auf \(U\), dann ist \(u\) der eindeutig bestimmte Vektor in \(U\), der den kleinsten Abstand von v hat.

\(||v-u||_2= \) \(\displaystyle \min_{x \in U}||v-x||_2 =\) \(||w||_2\)

Welche Aussagen über das komplexe innere Produkt sind richtig?

Sei A eine symmetrische \(n \times n\) Matrix. Dann heißt die Funktion \(q:\mathbb R^n \to \mathbb R,\)

\(q(x)=x^TAx=\) \(\displaystyle{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j}\)

Für eine quadratische Form \(q(x)\) auf \(\mathbb R^n\) gelte:

\(q(x)\gt0, \forall x \in \mathbb R, x \neq0\)

man nennt die quadratische Form dann

Eine reelle symmetrische \(n \times n\) Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn die Deteriminanten aller [...] sind.

Die Determinanten der führenden Hauptminoren einer reellen symmetrischen Matrix A haben alternierende Vorzeichen, beginnend mit -1. Man nennt die Matrix dann

Eine reelle \(m \times n\) Matrix \(A\) beschreibe eine lineare Abbildung \(\varphi: \mathbb R^n\to\mathbb R^m\).

Die Matrix \(A^T\) beschreibt die [...] \(\varphi^T:\mathbb R^m\to \mathbb R^n\)

Eine reelle \(m \times n\) Matrix \(A\) beschreibe eine lineare Abbildung \(\varphi: \mathbb R^n\to\mathbb R^m\).

Welche Aussagen sind richtig?

a) \(Bild\)\((A)^T\) = \(Kern\)\((A)^T\)

b) \(Bild(A^T)^\bot=Kern(A)\)

c) \(\mathbb R^m=Bild(A)\oplus\) \(Kern(A^T)\)

d) \(\mathbb R^m=Bild(A^T)\) \(\oplus Kern(A)\)

Wann ist ein Gleichungssystem \(A\vec x=\vec b\)lösbar?

Was trifft auf orthogonale Matrizen zu?

Was muss für die Matrix einer linearen Abbildung gelten, dass die lineare Abbildung längen- und winkeltreu ist?

Sei A eine \(n \times n\) Matrix. Die Zahl \(\lambda \in \mathbb C\) heißt [...] der Matrix A, falls es einen Vektor \(\vec v \in \mathbb C^n, \vec v \neq 0\) gibt, der die Gleichung \(A \vec v = \lambda \vec v\) erfüllt.

Sei A eine \(n \times n\) Matrix. Jeder Vektor \(\vec v \in \mathbb C^n, \vec v \neq 0\) , der die Gleichung \(A \vec v = \lambda \vec v\) zu einem bestimmten \(\lambda \in \mathbb C\) erfüllt, heißt

Man berechnet die Eigenvektoren und Hauptvektoren als Lösungen folgender linearer Gleichungssysteme:

Das Polynom \(p(\lambda):=det(A-\lambda I)\) nennt man

\(p(\lambda):=det(A-\lambda I)\) nehme für \(\lambda_1 = 3\) den Wert 0 an. \(\lambda_1\) nennt man dann

Der Unterraum \(E(\lambda):=Kern(A-\lambda I)\) heißt [...] zum Eigenwert \(\lambda\)

Eine Matrix A habe die Eigenwerte \(\lambda_1 \dots \lambda_n\)

Welche Aussagen treffen zu?

Welche Aussagen treffen auf Eigenwerte zu?

Sei A eine Matrix. Eine Basis, die aus lauter Eigenvektoren der Matrix A besteht und den gesamten \(\mathbb R^n\) bzw. \(\mathbb C^n\) aufspannt, nennt man [...] der Matrix A.

Wann ist eine Matrix A diagonalisierbar?

Welche Aussagen treffen auf Eigenvektoren zu?

Welche der folgenden Jordan'schen Normalformen sind äquivalent?

\(A=\begin{pmatrix} 2&0&0&0 \\0 &2 &0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&2\end{pmatrix},\)\(B=\begin{pmatrix} 2&1&0&0 \\0 &2 &1&0\\0&0&2&0\\0&0&0&2\end{pmatrix},\)\(C=\begin{pmatrix} 2&0&0&0 \\0 &2 &1&0\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end{pmatrix},\)\(D=\begin{pmatrix} 2&1&0&0 \\0 &2 &0&0\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end{pmatrix},\)

Welche Aussagen über die Jordan'sche Normalform einer Matrix A treffen zu?

Welche Aussagen treffen auf Eigenwerte zu?

Sei A eine reelle symmetrische \(n \times n\) Matrix

Gegeben sei ein Anfangswertproblem:

\(\mathbf y'(t)-A(t)\mathbf y(t)=\mathbf f(t), \quad\) \(t \in [a,b], \quad\) \(\mathbf y(t_0)=c, \quad\)\(t_0 \in [a,b]\)

Besitzt ein solches Anfangswertproblem für jede stetige Koeffizientenmatrix A eine eindeutige Lösung?

Welche Aussagen treffen auf die Wronski-Determinante zu?

Einen Satz aus n linear unabhängigen Lösungen von \(\mathbf y'(t)-A(t)\mathbf y(t)=\mathbf 0\) nennt man

Eine Partikulärlösung des inhomogene Problems

\(\mathbf y'(t)-A(t)\mathbf y(t)=\mathbf f(t)\) lautet:

Eine Matrix besitzt zwei komplexe Eigenwerte und Eigenvektoren:

\(\lambda_1=\alpha+\beta i, \quad\) \(\lambda_2=\alpha - \beta_i\)

\(\mathbf v^{(1)}=\mathbf u+\mathbf v i, \quad\)\(\mathbf v^{(1)}=\mathbf u-\mathbf vi\)

Wie lauten zwei reellwertige Lösungen der homogenen linearen Differentialgleichung?