Lineare Algebra für TPH
Lineare Algebra für TPH (TUW)
Lineare Algebra für TPH (TUW)
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Cartes-fiches
Wie nennt man eine Menge, auf der die Operationen der Vektoraddition und Skalarmultiplikation definiert ist?
Vektorraum
Vektoradditon:
\(\mathbf x, \mathbf y \in \mathbb{R}^n\)
\(\mathbf{x}+\mathbf y =\)
\(\begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ \vdots \\ x_n+y_n \end{pmatrix}\)
Skalarmultiplikation:
\(\mathbf x \in \mathbb{R}^n, s \in \mathbb R\)
\(s \mathbf{x} =\)
\(\begin{pmatrix} s x_1\\ s x_2 \\ \vdots \\s x_n \end{pmatrix}\)
Der Vektor
\(\mathbf 0 := \pmatrix { 0 \\ \vdots \\ 0 }\)
heißt
Nullvektor
Wie nennt man ein Element eines Vektorraums?
Vektor
Eine nichtleere Teilmenge U eines Vektorraums V, die mit der Einschränkung der Vektorraumoperationen auf U selbst ein Vektorraum ist, heißt Teilraum oder ? von V.
Unterraum
Sei V ein Vektorraum.
Ist V ein Unterraum von V?
Sei V ein Vektorraum.
Ist \(\{0\}\) ein Unterraum von V?
Eine Teilmenge U eines linearen Vektorraumes V ist dann und nur dann Unterraum von V, wenn gilt:
\(\mathbf v_1, \mathbf v_2 \in U \Rightarrow \mathbf v_1+\mathbf v_2 \in U\)
\(\mathbf v_1 \in U, s \in K \Rightarrow s \mathbf v_1 \in U\)
Eine Teilmenge U eines linearen Vektorraumes V ist dann und nur dann Unterraum von V, wenn gilt:
\(\mathbf v_1\in U,v_2 \in K \Rightarrow \mathbf v_1+ v_2 \in U\)
\(\mathbf v_1 \in U, s \in K \Rightarrow s \mathbf v_1 \in U\)
Seien U und W Unterräume von V.
Dann ist \(U \cap W\) Unterraum von V.
Seien \(\mathbf v_1, \mathbf v_2, \dots ,\mathbf v_k \in V,\) \(s_1, s_2, \dots, v_k \in K\)
Dann nennt man
\(\mathbb v =s_1\mathbb v_1 + s_2 \mathbb v_2 + \dots + s_k \mathbb v_k\)
Linearkombination
Was ist richtig?
Die Menge aller Linearkombinationen von \(\mathbf v_1, \dots, \mathbf v_k\) bildet einen Unterraum von V. Man nennt diesen Unterraum
Lineare Hülle
Sind U und W zwei Unterräume von V, dann ist auch ihre Summe U + W ein Unterraum von V
Wenn für jedes \(\mathbf v \in V\) eindeutig bestimmte Elemente \(\mathbf u \in U, \mathbf w \in W\) existieren, sodass \(\mathbf{v=u+w}\), heißt der Vektorraum V [?] der Unterräume U und W.
direkte Summe
\(V=U \oplus W \iff \)
\(V=U+W \quad \land \quad U\cap V = \{0\}\)
\(V=U \oplus W \iff \)
\(V=U+W \quad \land \quad U\cap V = \{\}\)
Sei V ein Vektorraum über K. Die von 0 verschiedenen Vektoren \(\mathbf{v_1,\dots ,v_k}\) heißen [?], wenn es Skalare \(s_1, \dots, s_k \in K, (s_1, \dots, s_k) \neq (0, \dots,0)\)
gibt, sodass gilt:
\(s_1 \mathbf v_1 + \dots +s_k \mathbf v_k = \mathbf 0\)
linear abhängig
Sind die beiden Vektoren linear abhängig?
\(\mathbf a = \pmatrix{ 1 \\2\\-3 }, \quad \mathbf b= \pmatrix{-2\\-4\\6}\)
Sind die beiden Vektoren linear abhängig?
\(\mathbf a = \pmatrix{ 1 \\-2\\-3 }, \quad \mathbf b= \pmatrix{2\\-4\\6}\)
Die von 0 verschiedenen Vektoren \(v_1, \dots , v_k \in V\) sind genau dann linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann.
Die von 0 verschiedenen Vektoren \(v_1, \dots , v_k \in V\) sind genau dann linear unabhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann.
Die von 0 verschiedenen Vektoren \(v_1, \dots , v_k \in V\) sind genau dann linear unabhängig, wenn keiner dieser Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann.
Sei V ein Vektorraum über K. Eine Menge \(B = \{ b_1, \dots , b_n\}\) linear unabhängiger Vektoren \(b_1, \dots, b_n \in V\) heißt Basis von V, wenn jeder Vektor \(v \in V\) eindeutig als Linearkombination von \(b_1, \dots, b_n\) dargestellt werden kann.
Sei V ein Vektorraum über K. Eine Menge \(B = \{ b_1, \dots , b_n\}\) verschiedener Vektoren \(b_1, \dots, b_n \in V\) heißt Basis von V, wenn jeder Vektor \(v \in V\) als Linearkombination von \(b_1, \dots, b_n\) dargestellt werden kann.
Sei V ein Vektorraum über K. Eine Menge \(B = \{ b_1, \dots , b_n\}\) linear unabhängiger Vektoren \(b_1, \dots, b_n \in V\) heißt [?] von V, wenn jeder Vektor \(v \in V\) eindeutig als Linearkombination von \(b_1, \dots, b_n\) dargestellt werden kann.
Basis
4 Vektoren in 3-dimensionalem Vektorraum sind immer linear abhängig.
Die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren eines endlichdimensionalen Vektorraums nennt man
Dimension
\(\dim(U+W)= \) \(\dim U+\dim W - \dim (U \cap W)\)
\(\dim(U+W)= \) \(\dim U+\dim W + \dim (U \cap W)\)
\([\mathbf v]_B\) nennt man den [?] von v bezüglich der Basis B
Koordinatenvektor
Eine Abbildung \(\varphi:V \rightarrow W\) heißt lineare Abbildung, wenn gilt:
\(\varphi(\mathbf x + \mathbf y) = \varphi(\mathbf x) + \varphi(\mathbf y) \quad \)\(\forall \mathbf {x,y} \in V\)
\(\varphi(s \mathbf x) = s\varphi(\mathbf x) \quad \forall \mathbf {x} \in V, s \in K\)
Eine Abbildung \(\varphi:V \rightarrow W\) heißt lineare Abbildung, wenn gilt:
\(\varphi(\mathbf x + \mathbf y) = \varphi(\mathbf x) + \varphi(\mathbf y) \quad \)\(\forall \mathbf {x} \in V, \mathbf y \in K\)
\(\varphi(s \mathbf x) = s\varphi(\mathbf x) \quad \forall \mathbf {x} \in V, s \in K\)
Gegeben sei eine Matrix \(A \in K^{m \times n}\)
Sei A eine Matrix. Man bezeichnet \(A^T\) als
transponierte Matrix
Eine Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Diagonale gleich Null sind, heißt
Diagonalmatrix
Gegeben seien zwei Matrizen. Was muss in \(C_{11}\) stehen?
\(C:=AB\)
\(A:=\pmatrix{2 & 3\\1 & 0}, \quad \) \(B:=\pmatrix{1 & 2\\4 & -1}\)
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Elementare Zeilen- und Spaltenumformungen ändern dern Rang der Matrix nicht.
Sei Ax=b ein Gleichungssystem.
b nennt man
Inhomogenität
