lineare Algebra

Ein Vektor ist eine Grösse, die durch Angabe einer Richtung, einer Orientierung und eines Betrages (oder Länge) festgelegt ist.

Zwei Vektoren \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) sind gleich, wenn sie dieselbe Richtung, Orientierung und denselben Betrag haben. Wir schreiben: \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{w}.\)

• Zwei Vektoren heissen parallel, wenn sie in Richtung und Orientierung übereinstimmen.
• Zwei Vektoren heissen anti-parallel, wenn sie in der Richtung übereinstimmen aber entgegengesetzte Orientierung haben.
• Falls zwei Vektoren parallel oder anti-parallel, so nennt man sie auch kollinear. Anders heissen sie nicht kollinear oder windschief.

Der Vektor , dessen Anfangspunkt und Endpunkt übereinstimmen, heisst der Nullvektor und wird durch \(\overrightarrow{0}\) bezeichnet.

Jeder Vektor mit Betrag Eins, wird als Einheitsvektor oder Einsvektor bezeichnet.

Der Gegenvektor oder der inverse Vektor eines beliebigen Vektors, ist der Vektor, der mit Richtung und Betrag übereinstimmt, aber eine entgegengesetzte Orientierung hat. Der Gegenvektor wird durch \(\overrightarrow{-v}\) bezeichnet.

Seien \(\overrightarrow{w_1},....,\overrightarrow{w_m}\) Vektoren und \(a_1,....,a_m\) reelle Zahlen, wobei \(m \in N\)_.

Der folgende Vektor,  \(\overrightarrow{v} = a_1\overrightarrow{w_1}+ a_2\overrightarrow{w_2}+....+ a_m\overrightarrow{w_m} =:\) \(\displaystyle\sum_{i=1}^{m} a_i\overrightarrow{w}_i\)^, heisst eine Linearkombination von den Vektoren \(\overrightarrow{w_1},....,\overrightarrow{w_m}\) _. Die Zahlen \(a_1,....,a_m\) Koeffinzienten.

Durch Normierung erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor \(\overrightarrow{a}\) einen Einheitsvektor gleicher Richtung und Orientierung. Er lautet wie folgt:

\(\overrightarrow{e_a} = \frac {1}{|\overrightarrow{a}|}\overrightarrow{a}\)

Das heisst, dass die Vektorkomponeneten durch den Betrag des Vektors dividiert werden.