IMT02
Mathematik für Wirtschaftsinformatiker 2
Mathematik für Wirtschaftsinformatiker 2
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Lernkarten
Doppelindex (Matrix)?
Zeilenindex & Spaltenindex, geben gemeinsam die Position der Zahl innerhalb der Matrix an.
Transposition? (Matrizen)
Zeilen werden zu Spalten & Spalten werden zu Zeilen
Aus einer MxN Matrix wird eine NxM Matrix
Spaltenvektor?
m x 1 -Matrix, als eine mit genau einer Spalte.
Werden mit kleinem Buchstaben mit darüber stehendem Pfeil gekennzeichnet.
Zeilenvektor?
1 x n -Matrix, also mit genau einer Zeile.
Entsteht als Transposition eines Spaltenvektors und wird entsprechend mit kleinem Buchstaben mit drüberstehendem Pfeil und dem Transpositions-t gekennzeichnet.
Nullmatrix?
m x n-Matrix deren Elemente alle gleich null sind wird als 0 bezeichnet. Entsprechend gibt es auch Nullvektoren.
Hauptdiagonale einer Matrix?
Diejeniger Diagonale eine m x n-Matrix, deren Elemente mit dem gleichen Zeilen- und Spaltenindex gebildet werden.
Für m < n sind dies a11... amm, für m > n sind es a11 ... ann.
m x n-Diagonalmatrix?
Eine Matrix bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind, bei der also gilt dij = 0 für alle i != j
(Die Nullmatrix ist eine spezielle Diagonalmatrix.)
Jede Diagonalmatrix ist sowohl eine obere als auch eine untere Dreiecksmatrix.
Dreiecksmatrix?
eine m x n-Matrix, deren Elemente oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonale alle gleich null sind.
Es gibt eine obere (rechte, alle Elemente unterhalb gleich null / aij = 0 für alle i > j),
oder eine untere (linke, alle Elemente oberhalb gleich null aij = 0 für alle i < j) Dreiecksmatrix.
Bandmatrix?
Matrizen die nur in der Umgebung der Hauptdiagonale Elemente ungleich null besitzen.
Quadratische Matrix?
Eine Matrix von der Ordnung n x n, oder anders formuliert eine m x n-Matrix bei der gilt m = n.
Zeilen- und Spaltenzahl sind identisch, die Hauptdiagonale verläuft von der linken oberen zur rechten unteren Ecke.
n x -Einheitsmatrix?
EIne Diagonalmatrix, deren HAuptdiagonalelemente alle gleich 1 sind. Die n x n-Einheitsmatrix wird mit E bezeichnet und auch Einheitsmatrix n-ter Ordnung genannt. Ihre Vektoren nennt man Einheitsvektoren.
Addition / Subtraktion von Matrizen?
Sie werden elementweise addiert / subtrahiert und müssen gleichförmig sein.
cij = aij + bij
Rechenregeln für Matrixaddition/ -subtraktion?
- Kommutativgesetz: A + B = B + A
- Assoziativgesetz: A + (B + C) = (A + B) + C
- DIe Nullmatrix ist das neutrale Element bei Matrixaddition/ -subtraktion: A + 0 = 0 + A = A
- A - A = 0
Symmetrie quadratischer Matrizen?
Diese ist gegeben falls A = AT ist. Ist A = -AT ist die quadratische Matrix scchiefsymmetrisch. (Eine schiefsymmetrische Matrix darf daher in der Hauptdiagonae nur Nullen haben.
Zerlegungssatz?
Jede beliebige Matrix A kann als Summe einer symmetrischen Matrix B und einer schiefsymmetrischen Matrix C als A = B + C dargestellt werden.
B ergibt sich aus: \(B = 1/2 * (A+A^T)\)B = 1/2 * (A + AT)\(B = 1/2 * (A + A^T)\)
C aus: 1/2 * (A - AT)
Skalarmultiplikation?
DIe Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar. Jedes Element der Matrix muss hierfür mit dem Skalar multipliziert werden. Das neutrale Element im Bezug auf die Skalarmultiplikation ist die 1.
Rechengesetze für die Skalarmultiplikation?
- Asssoziativgesetz: (a * b) *A = a * (b * A)
- Distributivgesetz: (a + b) * A = a * A + b * A
Die Gesetze gelten für alle m x n-Matrizen und beliebiige Skalare.
Skalarprodukt?
Multiplikation eines Zeilenvektors aT mit einem Spaltenvektor b. Das Ergebnis ist eine reelle Zahl.
Es gilt: a1b1+a2b2+ ... + anbn
Voraussetzung ist dass die Vektoren aus gleich vielen Elementen bestehen.
Rechenregeln bei Skalarprodukten mit gleicher Anzahl von Elementen.
- aT * a >= 0. Aus aT * a = 0 folgt das a der Nullvektor ist.
- 0T * a = 0
- Kommutativgesetz: aT * b = bT * a
- Homogenität: (skalar * aT) * b = skalar * (aT * b)
- Distributivgesetz: (aT + bT) * c = aT * c + bT * c
Rechenregeln der Transposition?
- (AT)T = A
- (A + B)T = AT + BT
- (skalar * A)T = skalar * AT
- (A * B)T = BT * AT
- ET = E
Bedingung für die Multiplikation von Matrizen?
Die Spaltenzahl der ersten Matrix muss mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmen.
Neutrales Element der Matrixmultiplikation?
Eine entsprechende Einheitsmatrix E die zur Multiplikation mit einer gewünschten Matrix die geeignete Form hat.
Eigenschaften der Multiplikation von Matrizen?
- Es gilt das Assoziativgesetz (A * B) * C = A * (B * C), für alle Matrizen A, B, C derren Typen die auftretenden Produkte erlaubt.
- Es gilt die Homogenität: skalar * (A * B) = (skalar * A) * B = A * (skalar * B) für alle Matrizen Ab und B, wo die Spaltenzahl von A der Zeilenzahl von B entspricht und alle skalare element der reellen Zahlen sind.
- Es gelten die Distributivgesetze A * (B + C) = A * B + A * C (linksseitiges), wenn der Typ von B und C gleich ist und die Anzahl der Spalten von A mit der Anzahl der Zeilen von B & C übereinstimmen, bzw (A + B) * C = A * C + B * C (rechtsseitig), wenn A & B vom gleichen Typ sind und die Anzahl der Spalten von A & B mit der Anzahl der Zeilen von C übereinstimmen.
- Für die n x n-Einheitsmatrix E gilt: E * A = A für n x m-Matrizen A, und A * E = A, für m x n-Matrizen A
- Das Matrixprodukt mit einer Nullmatrix ergibt immer eine Nullmatrix.
- Die Skalarmultiplikation kann unter Verwendung der Einheitsmatrix als Matrixmultiplikation mit einer Diagonalmatrix, deren Elemente auf der Hauptdiagonale diesem Skalar entsprechen erfolgen, denn es gilt: skalar *A = (skalar * E) * A
- Das Kommutativgesetz gilt bei der Matrixmultiplikation nur für den Ausnahmefall der Multiplikation zweier Diagonalmatrizen.
Inverse Matrix?
Diejenige Matrix B für die gilt A * B = B * A = E
Vorraussetzungen dafür das eine Matrix eine Inverse besitzt? (Das sie invertierbar oder auch regulär ist?)
- Sie muss quadratisch sein
- Sie darf keine Nullmatrix sein.
- Die Determinate muss ungleich null sein ( 2 x 2-Matrizen)
- Bei einer Diagonalmatrix müssen alle Elemente der Hauptdiagonale ungleich null sein.
- Die Einheitsmatrix ist invertierbar
Orthogonale Matrix?
Falls gilt: A-1 = AT.
Falls die Matrix zusätzlich symmetrisch ist handelt es sich um eine Einheitsmatrix.
Determinate einer 2 x 2-Matrix?
Für A = \( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \) gilt: det(A) = ad-bc.
Ist die Determinate ungleich 0, so ist die Matrix invertierbar.
Merkregel für die Inversion einer 2 x 2-Matrix?
- Vertauschen der beiden Hauptdiagonalelemente
- Umkehren der Vorzeichen bei den Nebendiagonalelementen
- alle Elemente durch die Determinate teilen.
Invertieren einer quadratischen Diagonalmatrix?
Umkehren der Elemente der Hauptdiagonale genügt, da die Elemten der neben Nebendiagonale bereits wie gewwünscht gleich null sind
Invertierbarkeit einer oberen/ unteren Dreiecksmatrix?
Eine quadratische Dreiecksmatrix ist genau dann invertierbar, wenn alle Elemente der Hauptdiagonale ungleich null sind. Die Inverse hat wieder die Form einer Dreiecksmatrix, entsprechend der ursprünglichen eine obere oder untere.
Rechenregeln für invertierbare Matrizen A?
Falls A invertierbar ist gilt:
- Inversion ist involutorisch: (A-1)-1 = A
- Inversion und Transposition sind vertauschbar: (AT)-1 = (A-1)T
- Ist A symmetrisch, dann ist auch A-1 symmetrisch
- Für jeden Skalar ungleich 0 gilt: (skalar * A)-1 = (1/skalar) * A-1
- Für invertierbare n x n-Matrizen A und B gilt: (AB)-1 = B-1 * A-1
dyadisches Produkt?
Ergebnis der Multiplikation einer Spaltenvektors mit einem Zeilenvektor.
Socke-Schuh-Regel?
Wenn A und B invertierbare quadratische nxn-Matrizen sind, dann ist AB invertierbar und es gilt:
(AB)-1=B-1A-1
Mögliche Fälle bei der Lösung eines linearen Gleichungssystem?
- Es gibt keine Lösung
- Es gibt genau eines Lösung
- Es gibt unendlich viele Lösungen
Gauß-Algorithmus?
Hilft durch Umformen und Vereinfachen beim Lösen von linearen Gleichungssystemen.
Zerlegung eines linearen Gleichungssystems in Matrixschreibweise?
Wird zerlegt in Koeffizientenmatrix (n x n-Matrix A),
Variablenvektor (x) und
einen Vektor für die rechte Seite (b).
Elementare Zeilenoperationen im Gauß-Alogrithmus?
- Vertauschen zweier Gleichungen
- Multiplikation aller Elemente einer Gleichung mit einer Zahl, die von null verschieden ist
- Austausch einer Gleichung durch die Summe dieser Gleichung und einer anderen Gleichung
erweiterte Matrix?
Entsteht durch das Hinzufügen des Spaltenvektors b zur Koeffizientenmatrix A.
m x (n + 1)-Schema (A|b)
Form des Gauß-Algorithmus?
1. Schritt: Bilde die erweiterte Matrix (A|b)
2. Schritt: Falls a11 = 0, vertausche die Zeilen, (falls dies nicht zum Erfolg führt die Spalten) bis a11 != 0
3. Schritt: Erzeuge in der ersten Spalte von (A|b) unterhalb von a11 lauter Nullen bis zur m-ten Zeile. Es wird also die erste in einen Vektor umgewandelt, bei dem lediglich das erste Element von null verschieden. Durch diese Umformung entsteht eine neue Matrix (A(1)|b(1))
4. Schritt: Schritt 1-3 wird nun für eine Matrix bestehend aus allen Zeilen der ursprünglichen Matrix ohne die erste durchgeführt und dies solange wiederholt bis eine obere Dreiecksmatrix entsteht.
Sonderfälle bei der Durchführung des Gauß-Algorithmus?
- Es entsteht bei der Durchführung eine Nullzeile, diese kann komplett gestrichen und weggelassen werden, weil sie keine Informationen enthält.
- Es entsteht bei der Umrechnung in einer der erweiterten Koeefizientenmatrizen eine Zeile, die in der letzten Spalte von null verschieden ist, sonst aber nur nullen enthält. Es gibt daher im Gleichungssystem einen Widerspruch und das System ist nicht lösbar.
