FHNW Vorbereitung: Geometrie
Formeln und Zahlen aus der Geometrie (inkl. Trigonometrie)
Formeln und Zahlen aus der Geometrie (inkl. Trigonometrie)
\(\cos0°\)
\(1\)
\(\tan0°\)
\(0\)
\(\tan30°\)
\(\frac{\sqrt{3}}{3} = 0.577\)
\(\tan45°\)
\(1\)
\(\tan60°\)
\(\sqrt{3} = 1.732\)
\(\tan90°\)
\(\infty\)
\(\cot0°\)
\(\infty\)
\(\cot30°\)
\(\sqrt{3} = 1.732\)
\(\cot45°\)
\(1\)
\(\cot60°\)
\(\frac{\sqrt{3}}{3} = 0.577\)
\(\cot90°\)
\(0\)
\(\text{Einheitskreis für sin und cos}\)
Erster Klammerwert gehört zum cos. Der Zweite dem sin.
Umrechnung: Grad- ins Bogenmass
Formel angeben
\(x = {\pi \over 180°} \alpha\)
Umrechnung: Von Grad- ins Bogenmass
\(\alpha = {180° \over \pi} x\)
x = Winkel im Bogenmass
Beziehung zwischen cos und sin im rechtwinkligen Dreieck.
\(\cos (\alpha) = \sin(90^\circ - \alpha) = \sin(\beta)\)
oder
\(\sin (\alpha) = \cos(90^\circ - \alpha) = \cos(\beta)\)
Generelle Beziehung zwischen cos und sin.
\(\cos x = \sin(x+{ \pi \over 2} )\)Der Kosinus läuft dem Sinus \({\pi \over 2}\)voraus.
und
\(\sin x = \cos(x-{ \pi \over 2} )\)Der Sinus läuft dem Kosinus\({\pi \over 2}\)hinterher.
x = WInkel im Bogenmass
Additionstheorem Sinus
\( \sin ( x \pm y ) = \sin x \; \cos y \pm \cos x \; \sin y \)
Additionstheorem Kosinus
\( \cos ( x \pm y ) = \cos x \; \cos y \mp \sin x \; \sin y \)
Wenn in der Klammer addiert wird, dann wird rechts subtrahiert.
Wenn in der Klammer subtrahiert wird, dann wird rechts addiert.
Fläche eines Dreiecks
\(A = {1\over2}\,c\,h = {1\over2}\,b\,c\,\sin\alpha\)
Beim zweiten Ansatz gilt:: Es werden immer die zwei anderen Seiten des gewählten Winkels genommen. Beispiel:
\(A = {1\over2}\,a\,b\,\sin\gamma\)
Spurpunkte (Vektoren)
Die Spurpunkte einer Gerade findet man, wenn jeweils die Parametergleichung mit einem Punkt gleichgesetzt wird.
\(S_x= \begin{pmatrix} 0 \\ y \\ z \end{pmatrix}\)
\(S_y= \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ z \end{pmatrix}\)
\(S_z= \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0\end{pmatrix}\)
\({GK \over AK}\)
tan
\({GK \over HY}\)
sin
\({AK \over HY}\)
cos
\({AK \over GK}\)
cot
\(\cot\alpha\)
\({AK \over GK} = { b \over a }= {\cos\alpha \over \sin\alpha} = {1 \over \tan\alpha} \)
Positiv im ersten und dritten Quadrant.
\(\cos\alpha\)
\({AK \over HY} = {b \over c}\)
Positiv im ersten und vierten Quadrant.
\(\sin\alpha\)
\({GK \over HY} = { a \over c}\)
Positiv im ersten und im zweiten Quadrant.
\(\tan\alpha\)
\({GK \over AK} = {a \over b } = {\sin\alpha \over \cos \alpha} = { 1 \over \cot\alpha}\)
Positiv im ersten und dritten Quadrant.
Kosinussatz für SWS
\(a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cdot \cos(\alpha)\)
\(b^2 = a^2 + c^2 -2ac \cdot \cos(\beta)\)
\(c^2 = a^2 + b^2 -2ab \cdot \cos(\gamma)\)
Kosinussatz für SSS
\(\cos(\alpha) = { b^2 + c^2 - a^2 \over 2bc }\)
\(\cos(\beta) = { a^2 + c^2 - b^2 \over 2ac }\)
\(\cos(\gamma) = { a^2 + b^2 - c^2 \over 2ab }\)
Sinussatz (gesucht ist die Länge)
\({ a \over \sin(\alpha) } = { b \over \sin(\beta) } = { c \over \sin(\gamma) } \)
Sinussatz (gesucht ist der Winkel)
\({ \sin(\alpha) \over a} = { \sin(\beta) \over b} = { \sin(\gamma) \over c}\)
Satz des Pythagoras
\(a^2 + b^2 = c^2\)
\(a^2 + b^2 = c^2\)
Satz des Pythagoras
Höhensatz
\({h^2 = pq}\)
Welcher Satz ist hier abgebildet?
Höhensatz
\(h^2 = pq\)
Kathetensatz
\(a^2 = p\cdot c\)
\(b^2 = q\cdot c\)
Welcher Satz ist hier gesucht?
Kathetensatz
\(a^2 =p \cdot c\)
\(b^2 = {q \cdot c}\)
Trigonometrischer Pythagoras
\(\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) = 1\)
\(\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) = 1\)
Trigonometrischer Pythagoras
-
- 1 / 66
-
Cartes-fiches
\(\sin60°\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = 0.866\)
\(\sin90°\)
\(1\)
\(\cos30°\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = 0.866\)
\(\cos45°\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2} = 0.707\)
\(\cos60°\)
\(\frac{1}{2} = 0.5\)
\(\cos90°\)
\(0\)
\(\cos0°\)
\(1\)
\(\tan0°\)
\(0\)
\(\tan30°\)
\(\frac{\sqrt{3}}{3} = 0.577\)
\(\tan45°\)
\(1\)
\(\tan60°\)
\(\sqrt{3} = 1.732\)
\(\tan90°\)
\(\infty\)
\(\cot0°\)
\(\infty\)
\(\cot30°\)
\(\sqrt{3} = 1.732\)
\(\cot45°\)
\(1\)
\(\cot60°\)
\(\frac{\sqrt{3}}{3} = 0.577\)
\(\cot90°\)
\(0\)
\(\text{Einheitskreis für sin und cos}\)
Erster Klammerwert gehört zum cos. Der Zweite dem sin.
Umrechnung: Grad- ins Bogenmass
Formel angeben
\(x = {\pi \over 180°} \alpha\)
Umrechnung: Von Grad- ins Bogenmass
\(\alpha = {180° \over \pi} x\)
x = Winkel im Bogenmass
Beziehung zwischen cos und sin im rechtwinkligen Dreieck.
\(\cos (\alpha) = \sin(90^\circ - \alpha) = \sin(\beta)\)
oder
\(\sin (\alpha) = \cos(90^\circ - \alpha) = \cos(\beta)\)
Generelle Beziehung zwischen cos und sin.
\(\cos x = \sin(x+{ \pi \over 2} )\)Der Kosinus läuft dem Sinus \({\pi \over 2}\)voraus.
und
\(\sin x = \cos(x-{ \pi \over 2} )\)Der Sinus läuft dem Kosinus\({\pi \over 2}\)hinterher.
x = WInkel im Bogenmass
Additionstheorem Sinus
\( \sin ( x \pm y ) = \sin x \; \cos y \pm \cos x \; \sin y \)
Additionstheorem Kosinus
\( \cos ( x \pm y ) = \cos x \; \cos y \mp \sin x \; \sin y \)
Wenn in der Klammer addiert wird, dann wird rechts subtrahiert.
Wenn in der Klammer subtrahiert wird, dann wird rechts addiert.
Fläche eines Dreiecks
\(A = {1\over2}\,c\,h = {1\over2}\,b\,c\,\sin\alpha\)
Beim zweiten Ansatz gilt:: Es werden immer die zwei anderen Seiten des gewählten Winkels genommen. Beispiel:
\(A = {1\over2}\,a\,b\,\sin\gamma\)
Spurpunkte (Vektoren)
Die Spurpunkte einer Gerade findet man, wenn jeweils die Parametergleichung mit einem Punkt gleichgesetzt wird.
\(S_x= \begin{pmatrix} 0 \\ y \\ z \end{pmatrix}\)
\(S_y= \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ z \end{pmatrix}\)
\(S_z= \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0\end{pmatrix}\)
