FHNW Vorbereitung: Geometrie
Formeln und Zahlen aus der Geometrie (inkl. Trigonometrie)
Formeln und Zahlen aus der Geometrie (inkl. Trigonometrie)
\(\cos0°\)
\(1\)
\(\tan0°\)
\(0\)
\(\tan30°\)
\(\frac{\sqrt{3}}{3} = 0.577\)
\(\tan45°\)
\(1\)
\(\tan60°\)
\(\sqrt{3} = 1.732\)
\(\tan90°\)
\(\infty\)
\(\cot0°\)
\(\infty\)
\(\cot30°\)
\(\sqrt{3} = 1.732\)
\(\cot45°\)
\(1\)
\(\cot60°\)
\(\frac{\sqrt{3}}{3} = 0.577\)
\(\cot90°\)
\(0\)
\(\text{Einheitskreis für sin und cos}\)
Erster Klammerwert gehört zum cos. Der Zweite dem sin.
Umrechnung: Grad- ins Bogenmass
Formel angeben
\(x = {\pi \over 180°} \alpha\)
Umrechnung: Von Grad- ins Bogenmass
\(\alpha = {180° \over \pi} x\)
x = Winkel im Bogenmass
Beziehung zwischen cos und sin im rechtwinkligen Dreieck.
\(\cos (\alpha) = \sin(90^\circ - \alpha) = \sin(\beta)\)
oder
\(\sin (\alpha) = \cos(90^\circ - \alpha) = \cos(\beta)\)
Generelle Beziehung zwischen cos und sin.
\(\cos x = \sin(x+{ \pi \over 2} )\)Der Kosinus läuft dem Sinus \({\pi \over 2}\)voraus.
und
\(\sin x = \cos(x-{ \pi \over 2} )\)Der Sinus läuft dem Kosinus\({\pi \over 2}\)hinterher.
x = WInkel im Bogenmass
Additionstheorem Sinus
\( \sin ( x \pm y ) = \sin x \; \cos y \pm \cos x \; \sin y \)
Additionstheorem Kosinus
\( \cos ( x \pm y ) = \cos x \; \cos y \mp \sin x \; \sin y \)
Wenn in der Klammer addiert wird, dann wird rechts subtrahiert.
Wenn in der Klammer subtrahiert wird, dann wird rechts addiert.
Fläche eines Dreiecks
\(A = {1\over2}\,c\,h = {1\over2}\,b\,c\,\sin\alpha\)
Beim zweiten Ansatz gilt:: Es werden immer die zwei anderen Seiten des gewählten Winkels genommen. Beispiel:
\(A = {1\over2}\,a\,b\,\sin\gamma\)
Spurpunkte (Vektoren)
Die Spurpunkte einer Gerade findet man, wenn jeweils die Parametergleichung mit einem Punkt gleichgesetzt wird.
\(S_x= \begin{pmatrix} 0 \\ y \\ z \end{pmatrix}\)
\(S_y= \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ z \end{pmatrix}\)
\(S_z= \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0\end{pmatrix}\)
\({GK \over AK}\)
tan
\({GK \over HY}\)
sin
\({AK \over HY}\)
cos
\({AK \over GK}\)
cot
\(\cot\alpha\)
\({AK \over GK} = { b \over a }= {\cos\alpha \over \sin\alpha} = {1 \over \tan\alpha} \)
Positiv im ersten und dritten Quadrant.
\(\cos\alpha\)
\({AK \over HY} = {b \over c}\)
Positiv im ersten und vierten Quadrant.
\(\sin\alpha\)
\({GK \over HY} = { a \over c}\)
Positiv im ersten und im zweiten Quadrant.
\(\tan\alpha\)
\({GK \over AK} = {a \over b } = {\sin\alpha \over \cos \alpha} = { 1 \over \cot\alpha}\)
Positiv im ersten und dritten Quadrant.
Kosinussatz für SWS
\(a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cdot \cos(\alpha)\)
\(b^2 = a^2 + c^2 -2ac \cdot \cos(\beta)\)
\(c^2 = a^2 + b^2 -2ab \cdot \cos(\gamma)\)
Kosinussatz für SSS
\(\cos(\alpha) = { b^2 + c^2 - a^2 \over 2bc }\)
\(\cos(\beta) = { a^2 + c^2 - b^2 \over 2ac }\)
\(\cos(\gamma) = { a^2 + b^2 - c^2 \over 2ab }\)
Sinussatz (gesucht ist die Länge)
\({ a \over \sin(\alpha) } = { b \over \sin(\beta) } = { c \over \sin(\gamma) } \)
Sinussatz (gesucht ist der Winkel)
\({ \sin(\alpha) \over a} = { \sin(\beta) \over b} = { \sin(\gamma) \over c}\)
Satz des Pythagoras
\(a^2 + b^2 = c^2\)
\(a^2 + b^2 = c^2\)
Satz des Pythagoras
Höhensatz
\({h^2 = pq}\)
Welcher Satz ist hier abgebildet?
Höhensatz
\(h^2 = pq\)
Kathetensatz
\(a^2 = p\cdot c\)
\(b^2 = q\cdot c\)
Welcher Satz ist hier gesucht?
Kathetensatz
\(a^2 =p \cdot c\)
\(b^2 = {q \cdot c}\)
Trigonometrischer Pythagoras
\(\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) = 1\)
\(\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) = 1\)
Trigonometrischer Pythagoras
-
- 1 / 66
-
Cartes-fiches
\({GK \over AK}\)
tan
\({GK \over HY}\)
sin
\({AK \over HY}\)
cos
\({AK \over GK}\)
cot
\(\cot\alpha\)
\({AK \over GK} = { b \over a }= {\cos\alpha \over \sin\alpha} = {1 \over \tan\alpha} \)
Positiv im ersten und dritten Quadrant.
\(\cos\alpha\)
\({AK \over HY} = {b \over c}\)
Positiv im ersten und vierten Quadrant.
\(\sin\alpha\)
\({GK \over HY} = { a \over c}\)
Positiv im ersten und im zweiten Quadrant.
\(\tan\alpha\)
\({GK \over AK} = {a \over b } = {\sin\alpha \over \cos \alpha} = { 1 \over \cot\alpha}\)
Positiv im ersten und dritten Quadrant.
Kosinussatz für SWS
\(a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cdot \cos(\alpha)\)
\(b^2 = a^2 + c^2 -2ac \cdot \cos(\beta)\)
\(c^2 = a^2 + b^2 -2ab \cdot \cos(\gamma)\)
Kosinussatz für SSS
\(\cos(\alpha) = { b^2 + c^2 - a^2 \over 2bc }\)
\(\cos(\beta) = { a^2 + c^2 - b^2 \over 2ac }\)
\(\cos(\gamma) = { a^2 + b^2 - c^2 \over 2ab }\)
Sinussatz (gesucht ist die Länge)
\({ a \over \sin(\alpha) } = { b \over \sin(\beta) } = { c \over \sin(\gamma) } \)
Sinussatz (gesucht ist der Winkel)
\({ \sin(\alpha) \over a} = { \sin(\beta) \over b} = { \sin(\gamma) \over c}\)
Satz des Pythagoras
\(a^2 + b^2 = c^2\)
\(a^2 + b^2 = c^2\)
Satz des Pythagoras
Höhensatz
\({h^2 = pq}\)
Welcher Satz ist hier abgebildet?
Höhensatz
\(h^2 = pq\)
Kathetensatz
\(a^2 = p\cdot c\)
\(b^2 = q\cdot c\)
Welcher Satz ist hier gesucht?
Kathetensatz
\(a^2 =p \cdot c\)
\(b^2 = {q \cdot c}\)
Trigonometrischer Pythagoras
\(\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) = 1\)
\(\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) = 1\)
Trigonometrischer Pythagoras
Beziehungen der trig. Funktionen
Radius ist 1
\(\sin(\alpha) = {GK \over HY} = {a \over c} = a\)
\(\cos(\alpha) = {AK \over HY} = {b \over c} = b\)
\(\tan(\alpha) = {GK \over AK} = {a \over b} = {\sin(\alpha) \over \cos(\alpha)}\)(in gelb)
Sinussatz (generell)
\({ sin(\alpha) \over a} = { sin(\beta) \over b} = { sin(\gamma) \over c}\)
bzw.
\({a \over sin(\alpha) } = {b \over sin(\beta) } = {c \over sin(\gamma) } \)
- Das Verhältnis von Gerade zu sin-Winkel ist Konstant.
- Der Sinussatz ist NUR bei Winkelberechnungen heikel, weil es zwei Lösungen (SSW) geben kann
Wieviele Lösungen kann es bei einem SSW Fall geben?
Wieviele Lösungen kann es bei einem SSS Fall geben?
Vorgehensweise SWS (Kongurenzsatz)
- KS --> S3
- KS --> W2
- WS --> W3
KS = Kosinussatz
WS = Winkelsatz
S = Seite
W = Winkel
Vorgehensweise SSS (Kongurenzsatz)
- KS --> W1
- KS --> W2
- WS --> W3
KS = Kosinussatz
WS = Winkelsatz
S = Seite
W = Winkel
Vorgehensweise SSW (Kongurenzsatz)
- SS --> W2
- WS--> W3
- SS --> S3
WS = Winkelsatz
SS = Sinussatz
S = Seite
W = Winkel
Vorgehensweise WWS / WSW (Kongurenzsatz)
- WS --> W3
- SS --> S2
- SS --> S3
WS = Winkelsatz
SS = Sinussatz
S = Seite
W = Winkel
Vorgehensweise WWW
Nicht lösbar
Scheitelwinkel
\(\gamma = 52°\)
\(\beta = 45°\)
Nebenwinkel
\(\alpha + \beta = 180°\)
\(\beta = 180° - \alpha\)
\(\alpha = 180-\beta\)
Stufenwinkel
\(\alpha = \alpha'\)
Nur weil g || i (Parallel)
Wechselwinkel
\(\alpha = \alpha'\)
Nur weil g || i (Parallel)
Aussenwinkel
\(a_{1} =\beta + \gamma\)
Kreiswinkel
Peripheriewinkel \(\gamma\)
Zentriwinkel \(\varphi = 2\gamma\)
Sehnentangentenwinkel \(\delta = \gamma\)
Thaleskreis
Peripheriewinkel \(\gamma = 90°\)
Zentriwinkel \(\varphi = 2\gamma = 180°\)
Strahlensatz
\({a_{1} \over a_{2} } = {b_{1} \over b_{2}} = {c_{1} \over c_{2}} = \mathsf{konst}\)
\(\sin0°\)
\(0\)
\(\sin30°\)
\(\frac{1}{2} = 0.5\)
\(\sin45°\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2} = 0.707\)
