Fachbegriffe Statistik

- es gibt eine Unheitliche Definition von Varianz und Standardabweichung in den Lehrbüchern. 

   -> anstelle von 1/n wird dann 1/(n-1) verwendet -> man spricht dann von der korrigierten varianz oder der korrigierten Standardabweichung. => s^* 

- Die Unterschiede zwischen s² und s^*  verschwinden mit zunehmendem n.

- mit der alternativen Berechnung der Varianz lässt sich die Varianz auch für gruppierte Daten bestimmen, dabei werden die Ausprägungen a_i durch die Mitte der Klassen m_i ersetzt.

- f_i (Häufigkeiten) entsprechen dann den relativen Besetzungshäufigkeiten.

- Standardisierung von Datensätzen

 -> Vergleichbarmachen von datensätzen x₁,x₂,...,x_n die sich auf Messungen aus verschiedenen Grundgesamtheiten, oder Messungen mit unterschiedlichen Messinstrumenten beziehen.

-> Von jedem Element einen Datensatzes wird der Mittelwert subtrahiert und die Differenz dann durch s oder s^* dividiert.

=> Man erhält neue Datensätze y₁, y₂,...,y_n mit dem Mittelwert = 0 und den neuen Standardabweichungen s = 1 bzw. s^* = 1

- setzt ein metrische oder zumindest ordinalskaliertes Merkmal voraus

-> bei ordinalskalierten Merkmalen, kann das p-Quantil nicht eindeutig bestimmt werden.

- X_p <- Abkürzung

Eigenschaft:

mind. p x 100% der Elemente X₁, ... X_n ist kleiner oder gleich X_p

mind. (1-p) x 100% ist größer oder gleich X_p

Ein Quantill ist ein Lagemaß in der Statistik. Anschaulich ist ein Quantil ein Schwellwert: ein bestimmter Anteil der Werte ist kleiner als das Quantil, der Rest ist größer. Das 25%-Quantil beispielsweise ist der Wert, für den gilt, dass 25% aller Werte kleiner sind als dieser Wert. Quantile erlauben einem ganz praktische Aussagen im Stile von „25% aller Frauen sind kleiner als 1,62 m“ – wobei 1,6 2m hier das 25%-Quantil ist.

Genauer ist das -Quantil, wobei  eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 ist, ein Wert einer Variablen oder Zufallsvariablen, der die Menge aller Merkmalswerte (salopp „die Verteilung“) in zwei Abschnitte unterteilt: Links vom -Quantil liegt der Anteil  aller Beobachtungswerte oder der Gesamtzahl der Zufallswerte oder der Fläche unter der Verteilungskurve; rechts davon liegt der jeweilige restliche Anteil . Die Zahl  heißt auch der Unterschreitungsanteil.

Zieht man die zwei Merkmalsausprägungen heran zwischen denen da p-Quartil liegt und bildet aus diesen den ittelwert kann der Median eines metrisch sklaierten Merkmals genau bestimt werden.

-> [np] -> größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich np ist

[np]+1 -> kleinste ganze Zahl, die größer als np ist

=> der Median ist dann ein spezielles Quantil, das 0,5-Quantil

Formel:

siehe Bild

0,25-Quantil -> unteres Quantil

0,75-Quantil -> oberes Quantil

0,0-Quantil -> Median

- Q oder IQR = Interquartilsabstand

- Differenz der Quartile X_0,75 und X_0,25

Q: = X_0,75-X_0,25

- oft abgekürzt mit D1, D2,...D9

Ergeben sich bei der Wahl von p=0,1; p=0,2...p=0,9

=> der Median 0,5 stimmt mit dem Dezil D5 überein

- Das Verhältnis von D9/D1 gibt Informationen über den Grad der Ungleichheit

  -> hohe Werte des Qoutienten weisen auf eine ausgeprägte Ungleichheit hin.

- überwiegender Teil der Daten ist linksseitig konzentriert -> steiker Abfall der Verteilung

überwiegender Teil der Daten ist rechtseitig konzentriert

- steiler Abfall der Verteilung -> fällt an der rechten Flanke steiler ab

bei der linkssteilen und rechtssteilen Verteilung

Das nicht Übereinstimmen von Median und Mittelwert

- Schachtelzeichnung

- grafisches Instrument zur Beurteilung einer empirischen Verteilung (zentrum, Streuung, Asymmetrie)

- fast in seiner einfachsten Form 5 Charakteristika eines Datensatzes zusammen:

1. Die 2 extremwerte: X_min = X₍₁₎ und X_max = X_(n)

2. Die 2 Quantile: X_0,25 und X_0,75

3. Den Median: X_0,5

Sie definieren die Spannweite

Sie definieren die Länge der Box

Der Quartilsabstand Q

Innerhalb der Box liegen 50% der daten, oberhalb und unterhalb der Box je 25% der Daten

in der Mitte der Box

- bei metrisch skalierten Merkmalen mit nicht-negativer Ausprägung, ist die Merkmalskonzentraation oft interessant.

- Instrument für die grafische Beurteilung von Konzentrationsphänomenen

-> Visualisiert wie sich die Summe aller Merkmalswerte innerhalb der Grundgesamtheit verteit

- Ausgangspunkt: Grundgesamtheit mit n Merkmalsträgern

   -> Merkmalswerte konstituieren die Urliste X₁, X₂, ... X_n

   -> Elebemte müssen nach zunehmender Größe sortiert werden X₍₁₎, X₍₂₎, ..., X_(n)

_{- Lorenzkurve ist über dem Intervall [0;1] definiert} 

_{- ist ein aus n Teilstrecken bestehender monoton steigender Polygonzug}

- Verbindet den Punkt (0;0) mit den Punkten (u_i; v_i),...(u_n;v_n)

sie endet in (1;1) => (u_n;v_n) = (1;1)

- bei fehlender Merkmalskonzentration ist u_i = v_i => Lorenzkurve verbindet die Punkte (0;0) und (1;1) direkt.

- Zur Beurteilung der Konzentration am Graphen sollte auch die Diagonale für den konzentrationsfreien Fall eingezeichnet werden.

-> Je stärker die Lorenzkurve von der Diagonalen abweicht (je stärker die durchhägt), desto größer ist die Konzentration

=> Die Fläche zwischen dem Polygonzug und der im konzentrationsfreien Fall resultierenden Strecke kann zur Quantifizierung von Konzentrationen herangezogen werden.

- Die Stützpunkte der Lorenzkurve bleiben unverändert wenn man die Werte der Urliste mit einem positiven Faktor multipliziert

Polygonzug besteht bei Gruppierung zu k Klassen, aus k Teilstrecken

Konzentration bezüglich des jeweiligen Merkmals liegt vor, wenn sich die Merkmalssumme ungleichmäßig auf die betrachteten statischen Einheiten verteilt.

Alle Merkmalswerte sind gleich groß

-> Lorenzkurve ist eine Diagonale von (0;0) bis (1;1)

Die Abszisse ist in einem xy-Koordinatensystem die x-Achse, somit handelt es sich um einen Wert der x-Achse

Der Wert auf der y-Achse

Die y-Achse besteht aus v_i, die x-Achse aus u_i.

v_i: = p_i / p_n ; i = 1,...,n

mit p_i: = X₍₁₎+ X₍₂₎+...+X_(i) ; i = 1,...,n

u_i:= i / n  ; i = 1,...,n

-> Jedder Wert u_i lässt sich interpretieren als Anteil der ersten i Werte der Liste an der Gesamtzahl n der Elemente der Urliste

liegt vor, wenn ein einziger Merkmalsträger die gesamte Merkmalssumme auf sich vereint.

- G

- Maß für die Stärke der Konzentration

- Berechnet die Fläche A zwischen der Diagonalen im Einheitsquadrat und der Lorenzkurve

- es gilt: G = 2 x (Summe der Inhalte der n Teilflächen) -1

  -> G = A / 0,5 = 2 x A

- Formel siehe Bild

- die gesammte Merkmalssumme p_n konzentriert sich auf einen einzigen Merkmalsträger.

  -> Der Gini-Koeffizient G = 2A nimmt dann den maximalen Wert A_max und G_max an.

  => Bei beliebigen n ist A_max = (n-1) / 2n

- Durch G_max = (n-1) / n

- hängt von der Länge n der urliste ab

- p_n