EWIFO F T
EWIFO F T EWIFO F T EWIFO F T EWIFO F T
EWIFO F T EWIFO F T EWIFO F T EWIFO F T
(3 Punkte) Betrachten Sie Modell (1). Berechnen und interpretieren Sie den marginalen E ekt
der Variable yrs:service. Nehmen Sie einen Wert von 17 fur yrs:service an
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Betrachten Sie Modell (1). Fur welchen Wert von yrs.service wird der marginale
Effekt von yrs.service auf log(salary) negativ?
\({\partial log(salary) \over \partial yrs.service} = 0\)
(4 Punkte) Betrachten Sie Modell (2). Nehmen Sie an, Sie sind daran interessiert, neben
dem E ekt fur Manner und Professoren, zusatzlich den E ekt fur mannliche Professoren zu
schatzen. Wie gehen Sie vor?
Um diesen E ekt zu messen sollte man dem Modell einen Interaktionsterm male
prof hinzufugen.
(4 Punkte) Betrachten Sie Modell (2). Eine Freundin emp ehlt Ihnen den Dummy male gegen
einen Dummy female auszutauschen. Der Dummy female nimmt den Wert 1 an, wenn es sich
um eine Frau handelt und den Wert 0, wenn es sich um einen Mann handelt. Berechnen Sie
die entsprechenden neuen Koezienten fur die Konstante und den Dummy female.
Losung: Die neue Konstante berechnet sich durch 11.189+0.046 = 11.235 und misst das
logarithmierte Einkommen eines Manns. Der Effekt fur female berechnet sich als -0.046.
Das logarithmierte Einkommen fur Frauen berechnet sich somit durch 11.235 - 0.046 =
11.189 und entspricht somit der ursprunglichen Konstante.
Wieviel Prozent der Variation der Wachstumsrate wird durch das Modell erklart?
\(R_{korr}^2 = 33\%\)
Um wieviel Prozentpunkte verandert sich die geschatzte Wachstumsrate \(\hat {wachstum}\),
wenn - ceteris paribus - der Kapitalstock kap60 pro Kopf im Jahr 1960 um 1% steigt?
- 0.01326 % = - 1.326 * 1%
Berechnen Sie den t-Wert fur das Hypothesenpaar\(H_0 : \beta_{schul_j} = 0 \) und \(H_1 : \beta_{schul_j} \ne 0\)
\(t = {2.055\over 0.469} = 4.382\)
(4 Punkte) Schreiben Sie fur folgende Aussage das Hypothesenpaar H_0 und H_1 formal: ,,Lander
mit einem niedrigeren Kapitalstock haben - nachdem fur Bildungsniveau kontrolliert wurde - eine
hohere Wachstumsrate". Der t-Wert zu diesem Test ist gleich -2.65. Berechnen Sie den p-Wert
zu diesem Test.
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(4 Punkte) Berechnen Sie den F-Wert zu der Nullhypothese, dass lkap60 und lschulj gleichzeitig
keinen Ein
uss auf wachstum haben. Stellen Sie dazu R und r auf, wobei Sie darauf achten, dass
sich die jeweils erste Zeile von R und r auf die Restriktion bezuglich des Koezienten von lkap60
bezieht. Verwenden Sie auerdem, dass \((R(X'X)^{-1}R')^{-1}(R\hat\beta - r) = (38.2~~ ,~~57.8)^T\)
Hinweis: \(F^{act} = {(R\hat\beta-r)'(R(X'X)^{-1}R')^{-1}(R\hat\beta - r) \over J*s_u^2}\)
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(3 Punkte) Lehnen Sie die Nullhypothese zu dem Test aus (e) zu einem Signi kanzniveau von 1%
ab? Begrunden Sie mit dem zugehorigen kritischen F-Wert. Maximal 10 Wörter!
Hinweis: Falls Sie den F-Wert in (e) nicht berechnen konnten, verwenden Sie, dass \(F^{act} > 8\)
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(3 Punkte) Nun wird eine zweite Schatzung durchgefuhrt, in der lschulj von der Regression
ausgeschlossen wird, d.h. wachstum wird nur auf eine Konstante und lkap60 regressiert. Der OLS
Schätzer \(\hat\beta_{lkap60}\) zu dieser Regression ist gleich 0.439.Wenn Sie diesenWert mit den ursprunglichen
Schatzergebnissen vergleichen, was folgt bezuglich der Korrelation zwischen lschulj und lkap60
(positiv, negativ, nicht korreliert oder keine Aussage möglich)? Maximal 10 Worter!
Lösung: Korrelation ist positiv.
(2 Punkte) Was ist der Wert des geschatzten Koezienten, der den E ekt von Fertilitat auf
Arbeitsangebot der Frau misst?
-5.47338
Arbeiten Frauen mit mehr als zwei Kindern im Durchschnitt weniger als Frauen mit
bis zu zwei Kindern?
Ja.
(3 Punkte) Berechnen Sie das 99% Konfidenzintervall zu dem Koezienten von morekids.
\(KI(99\%) = [-5.47 \pm 2.58 * 0.397] = [-6.494; - 4.446] \)
(1 Punkt) Gegeben Ihr Resultat in Teilaufgabe (c) und ohne weitere Berechnungen anzustellen,
ist der Koezient von morekids signi kant von Null verschieden? Antworten Sie mit Ja oder
Nein.
Ja ( t-Wert = -13.77020 darraus fogt \(\Phi (-13.77)= 1- \Phi (13.77 ) = 1 - 0.99999999\)
draus folgt \(p-Wert = 0\)
(4 Punkte) Warum ist der OLS Schatzer hier ein verzerrter Schatzer fur den kausalen E ekt von
Fertilitat auf Arbeitsangebot? Erklaren Sie kurz. Maximal 20 Wörter! [Hinweis: Omitted Variable
Bias ist hier nicht das zentrale Problem.]
Losung: Simultane Kausalitat bzw. reverse causality. Arbeitsangebot und Entscheidung Kinder
zu bekommen sind beides Entscheidungsvariablen: eine Frau, die uberdurchschnittlich viel
Arbeit anbietet (positives Residuum), konnte eine niegrigere Wkeit haben ein weiteres Kind
zu bekommen (also morekids = 0), morekids und Residuen dann negativ korreliert. Folge:
OLS sollte nach unten verzerrt sein.
Da in der Schatzung aus Aufgabe 3 moglicherweise ein Endogenitatsproblem vorliegt, wird vorgeschlagen,
anstatt OLS nun eine Instrumentenvariablenschatzung durchzufuhren. Als Instrument fur
morekids steht die Variable samesex zur Verfugung; samesex nimmt den Wert 1 an, wenn die ersten
beiden Kinder eines Paares dasselbe Geschlecht haben, also Junge-Junge bzw. Madchen-Madchen, und
0 sonst. Die Stichprobenkovarianz zwischen weeksworked und samesex ist gleich -0.275, wahrend
die Stichprobenkovarianz zwischen samesex und morekids gleich 0.0162 ist. Auerdem ergibt eine
Regression von morekids auf samesex:
(a) (3 Punkte) Ist der E ekt von samesex auf morekids statistisch signi kant von Null verschieden?
Testen Sie zu 1% Fehlerwahrscheinlichkeit und geben Sie sowohl t_act als auch t_crit an.
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Da in der Schatzung aus Aufgabe 3 moglicherweise ein Endogenitatsproblem vorliegt, wird vorgeschlagen,
anstatt OLS nun eine Instrumentenvariablenschatzung durchzufuhren. Als Instrument fur
morekids steht die Variable samesex zur Verfugung; samesex nimmt den Wert 1 an, wenn die ersten
beiden Kinder eines Paares dasselbe Geschlecht haben, also Junge-Junge bzw. Madchen-Madchen, und
0 sonst. Die Stichprobenkovarianz zwischen weeksworked und samesex ist gleich -0.275, wahrend
die Stichprobenkovarianz zwischen samesex und morekids gleich 0.0162 ist. Auerdem ergibt eine
Regression von morekids auf samesex:
(2 Punkte) Bezeichne u das Residuum des Regressionsmodells und Z sei ein Instrument. Schreiben
Sie formal, was es bedeutet, dass ein Instrument exogen ist.
\(E(u|Z) =0\)
Da in der Schatzung aus Aufgabe 3 moglicherweise ein Endogenitatsproblem vorliegt, wird vorgeschlagen,
anstatt OLS nun eine Instrumentenvariablenschatzung durchzufuhren. Als Instrument fur
morekids steht die Variable samesex zur Verfugung; samesex nimmt den Wert 1 an, wenn die ersten
beiden Kinder eines Paares dasselbe Geschlecht haben, also Junge-Junge bzw. Madchen-Madchen, und
0 sonst. Die Stichprobenkovarianz zwischen weeksworked und samesex ist gleich -0.275, wahrend
die Stichprobenkovarianz zwischen samesex und morekids gleich 0.0162 ist. Auerdem ergibt eine
Regression von morekids auf samesex:
(4 Punkte) Ist samesex ein valides Instrument fuer morekids? Prufen Sie alle Kriterien und
begrunden Sie kurz. Maximal 20 Worter!
Kriterium I: Relevanz (1P.), ist erfuellt, weil samesex statistisch signi kant mit morekids
korreliert ist (2P.)
Kriterium II: Exogenitat (1P.), ist erfuellt weil Geschlecht zufallig (2P.)
(3 Punkte) Berechnen Sie den Instrumentenvariablenschatzer fur den Effekt von Fertilitat auf
Arbeitsangebot.
\(\hat\beta_{IV} = {-~0.275 \over 0.0162} = -16.9753\)
Schätzer Std. Fehler t-Wert p-Wert
\({Schätzer\over Std.Fehler} = t-Wert\)
Welche der Variablen sind nicht signifikant von Null verschieden, bei einem Signi-
kanzniveau von \(\alpha =\) 5%
alle Variabelen, dessen bzw. \(p-Wert > 0.05\)
Berechnen Sie ein 95 % Konfidenzintervall für einen Parameter
\([Schätzer - Std.Fehler*({t_{q}distribution}) ;Schätzer + Std.Fehler*({t_{q}distribution})]\)
für ein Konzidenzintervall ( Konfidenzintervall 95% = \(1-{\alpha\over2}\) daraus folgt \(\alpha = 0.025\)
Um wieviel Prozent steigt das Einkommen einer Frau fur jedes weitere Schuljahr? Modell: ln(wage)
\((school*female) = -0.0006 \)
\(school =0.0392\)
\(\sum \)aller Variabeln mit School
\(-0.0006+0.0392=0.0386\)
Interpretation der marginalen Effekte
lin-log-Modell
\(y=\beta_0+\beta_1ln (X) +\epsilon \) \(→ {Δx\over x_0} = {1\%} → Δy=0.01*\beta ~[\%]\)
Eine relatvie Änderung von X um 1%, geht einher mit einer absoluten Änderung (des Erwartungswertes) von y um \(\beta_1 \)∗0.01
Interpretation der marginalen Effekte
log-lin-Modell
\(ln(y)=\beta_0+\beta_1X +\epsilon \) \(→ Δx = 1 → {Δy\over y_0}= \beta*100\%\)
Eine absolute Änderung von X um eine Einheit (ΔX=1), bedeutet eine relative Änderung von y um ß*100%!
Interpretation der marginalen Effekte
log-log-Modell
\(ln (y) =\beta_0+\beta_1∗ln (X) +\epsilon → {Δx\over x_0}=1% \) \(→ {Δx\over x_0} = 1 \%\)\(\to {\bigtriangleup y\over y_0} = {\beta\%}\)
Eine relative Änderung von X um 1%, geht einher mit einer relativen Änderung von y um \(\beta_1 \)% → Elastizität!
(3 Punkte) Berechnen Sie den marginalen Effekt einer Veränderung der Variablen "Arbeitserfahrung"
auf das logarithmierten Einkommen, ln(wage). Nehmen Sie dafür einen Wert von
23 fur die Variable experience an.
Koppelung:
Schätzer von \(\beta_3\) + 2 * Wert von Variabele experience * Schätzer von \(\beta_4\)
Gutekriterien eines Schätzers
Unverzerrtheit
Effizienz
Konsistenz
Formal für Unverzerrtheit
Ein Schätzer \(\hat\theta\) aus einer Stichprobe für einen Parameter \(\theta\) in der
Grundgesamtheit heit erwartungstreu oder unverzerrt, wenn gilt \(E [\hat\theta] = \theta\) für alle \(\theta\)
Effizienz formal
Sind \(\hat\theta_1\) und \(\hat\theta_2\) zwei erwartungstrue Schätzer für \(\theta\) und gilt \(Var(\hat\theta_1) < Var(\hat\theta_2)\), so heißt \(\hat\theta_1\) effizienter als \(\hat\theta_2\)
\(\hat\theta_1\) ist effizent, wenn \(\hat\theta_1\)effizenter ist als jeder andere erwartungstreue Schätzer.
Konsistenz formal
Ein Schätzer ist konsistent, wenn für \(n \to \infty\) der Schätzer
gegen seinen wahren Wert in der Grundgesamtheit strebt: \(plim ~\hat\theta = \theta\) . Dies kann
auch gezeigt werden durch \(var(\hat\theta) \to 0\)
Welche der Variablen sind signi kant von Null verschieden, bei einem Signifikanzniveau
von\(\alpha = 0.05\)
\(p-Wert > 0.05\) und \(p-Wert = 0\)
LSG Beispiel: Konstante, female, kids, mentor
\(p-Wert ~bestimmen\)
\(p-Wert ~~=~~ 2*[\Phi(t-Wert)]\)
falls \(t-Wert ~<~ 0\), dann \(2*[1~-~\Phi(|t-Wert|)]\)
Vorgehen zusätzlichen Effekt für verheiratete Frauen
Interaktionsdummy female_married hinzufügen
Korrigiertes Bestimmtheitsmaß: Was ist k?
Anzahl der Variabelen: \(\beta_0 + \beta_1 + \beta_2 + \beta_3 + \beta_4+ \beta_5 ~~~ = ~~~6\)
(Konstante mitzählen)
Die Teststatistik fur den F-Test zu der Nullhypothese \(\beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = \beta_4 = \beta_5 = 0\)
und dem Signifikanzniveau = 0.05, lautet 22.55. Nennen Sie den zugehörigen kritischen
Wert.
\(F_{n-k}^J=F_{915-6}^5 = 2.21\)
kritischer Wert für F-Test aus Tabelle Seite 5
J = 5 (Anzahl der Restriktionen/numerator degrees of freedom) (laut Aufgabe, Anzahl \(\beta\))
q2 = n-k
Nehmen Sie an, Sie sind an folgender Nullhypothese interessiert:
\(H_0 : \beta_1 + \beta_5 = 1\) und gleichzeitig \(\beta_1 = 2\beta_2\)
Stellen Sie die Restriktionsmatritzen R und r des zugehorigen F-Tests auf.
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Std.-Fehler Zusammenhang
Std.-Fehler = \(se(\hat\beta_i)\) = \(\sqrt{\hat\sigma_{\bar y}^2}\)
Welche Variable(n) sind nicht statistisch signi kant von Null verschieden, bei
einem Signi kanzniveau von\(\alpha\) = 0.01?
Nur der Interaktionsdummy comedy * romance erzielt einen p,value > 0.01
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Flashcards
(4 Punkte) Warum ist der OLS Schatzer hier ein verzerrter Schatzer fur den kausalen E ekt von
Fertilitat auf Arbeitsangebot? Erklaren Sie kurz. Maximal 20 Wörter! [Hinweis: Omitted Variable
Bias ist hier nicht das zentrale Problem.]
Losung: Simultane Kausalitat bzw. reverse causality. Arbeitsangebot und Entscheidung Kinder
zu bekommen sind beides Entscheidungsvariablen: eine Frau, die uberdurchschnittlich viel
Arbeit anbietet (positives Residuum), konnte eine niegrigere Wkeit haben ein weiteres Kind
zu bekommen (also morekids = 0), morekids und Residuen dann negativ korreliert. Folge:
OLS sollte nach unten verzerrt sein.
Da in der Schatzung aus Aufgabe 3 moglicherweise ein Endogenitatsproblem vorliegt, wird vorgeschlagen,
anstatt OLS nun eine Instrumentenvariablenschatzung durchzufuhren. Als Instrument fur
morekids steht die Variable samesex zur Verfugung; samesex nimmt den Wert 1 an, wenn die ersten
beiden Kinder eines Paares dasselbe Geschlecht haben, also Junge-Junge bzw. Madchen-Madchen, und
0 sonst. Die Stichprobenkovarianz zwischen weeksworked und samesex ist gleich -0.275, wahrend
die Stichprobenkovarianz zwischen samesex und morekids gleich 0.0162 ist. Auerdem ergibt eine
Regression von morekids auf samesex:
(a) (3 Punkte) Ist der E ekt von samesex auf morekids statistisch signi kant von Null verschieden?
Testen Sie zu 1% Fehlerwahrscheinlichkeit und geben Sie sowohl t_act als auch t_crit an.
Bild
Da in der Schatzung aus Aufgabe 3 moglicherweise ein Endogenitatsproblem vorliegt, wird vorgeschlagen,
anstatt OLS nun eine Instrumentenvariablenschatzung durchzufuhren. Als Instrument fur
morekids steht die Variable samesex zur Verfugung; samesex nimmt den Wert 1 an, wenn die ersten
beiden Kinder eines Paares dasselbe Geschlecht haben, also Junge-Junge bzw. Madchen-Madchen, und
0 sonst. Die Stichprobenkovarianz zwischen weeksworked und samesex ist gleich -0.275, wahrend
die Stichprobenkovarianz zwischen samesex und morekids gleich 0.0162 ist. Auerdem ergibt eine
Regression von morekids auf samesex:
(2 Punkte) Bezeichne u das Residuum des Regressionsmodells und Z sei ein Instrument. Schreiben
Sie formal, was es bedeutet, dass ein Instrument exogen ist.
\(E(u|Z) =0\)
Da in der Schatzung aus Aufgabe 3 moglicherweise ein Endogenitatsproblem vorliegt, wird vorgeschlagen,
anstatt OLS nun eine Instrumentenvariablenschatzung durchzufuhren. Als Instrument fur
morekids steht die Variable samesex zur Verfugung; samesex nimmt den Wert 1 an, wenn die ersten
beiden Kinder eines Paares dasselbe Geschlecht haben, also Junge-Junge bzw. Madchen-Madchen, und
0 sonst. Die Stichprobenkovarianz zwischen weeksworked und samesex ist gleich -0.275, wahrend
die Stichprobenkovarianz zwischen samesex und morekids gleich 0.0162 ist. Auerdem ergibt eine
Regression von morekids auf samesex:
(4 Punkte) Ist samesex ein valides Instrument fuer morekids? Prufen Sie alle Kriterien und
begrunden Sie kurz. Maximal 20 Worter!
Kriterium I: Relevanz (1P.), ist erfuellt, weil samesex statistisch signi kant mit morekids
korreliert ist (2P.)
Kriterium II: Exogenitat (1P.), ist erfuellt weil Geschlecht zufallig (2P.)
(3 Punkte) Berechnen Sie den Instrumentenvariablenschatzer fur den Effekt von Fertilitat auf
Arbeitsangebot.
\(\hat\beta_{IV} = {-~0.275 \over 0.0162} = -16.9753\)
