Didaktik der Algebra

1. Verbales Zählen, Aufsagen einer Zahlwortreihe ohne tieferes Verständnis (Bsp. Gedicht auswendiig lernen)
2. Asynchrones Zählen: Zahlreihenfolge wird beachtet
3. Ordnen der Objekte beim Zählen: Unstrukturiert dargebotene Objekte werden beim Zählen geordnet
4. Resultatives Zählen: Fängt bei Eins an, weist jedem Objekt eine Zahl zu und die letzte Zahl ergibt Anzahl aller Objekte
5. Abkürzendes Zählen: Beginn muss nicht bei Eins liegen, Zweierschritte, Rückwärtszählen etc. möglich, 

1. Eins-Eins-Prinzip: Jedes Objekt erhält eine Zahl
2. Stabile Ordnung: Folge der Zählzahlen muss gleich bleiben
3. Kardinalzahl-Prinzip: Zuletzt benutzte Zahl bestimmt Anzahl
4. Abstraktionsprinzip: Zusammenfassung aller Elemente in einer Menge, unabhängig von qualitativen Merkmalen
5. beliebige Reihenfolge: Reihenfolge und Anordnung der Elemente ist für Zählergebnis irrelevant

Klasse 1: 1 bis 10, 1+1
Klasse 2: 1 bis 100, 1x1
Klasse 3: 1 bis 1.000, Addition mit (halb-)schriftlichem Rechnen
Klasse 4: 1 bis 1.000.000 (unendlich), Multiplikation mit schriftlichen Rechnen

Richtiges Curriculum mit Grundrechnen, Bruch-, Zins- und Raumrechnung

Stoffgliederung: Klasse 1-4 flottes Rechnen, Klasse 5-8 bürgerliches, praktisches Rechnen

Vorgehen vom Kinde aus, behutsame Einführung i die Welt der Zahlen

Denken ist:

• Anpassung an die Umwelt
• universell
• verinnerlichtes Tun
• Logik (und Logik ist Mathematik)

Denken muss operativ (also aus dem Tun) hervorgehen, damit dieses verinnerlicht wird. Das Tun bzw. ein Objekt wird assimiliert, also in eine Verhaltensweise einverleibt.

Beispiel: Wenn man addieren kann, dann man die Additionsregeln mehrfach anwenden und multiplizieren. Man assimiliert und kann mehrfache Addition durch die komplexere Multiplikation auf einem höheren Niveau berechnen

KRAAT

1. Komposition: x+x`=y y+y`=z etc.
2. Reversibilität: y-x=x`und y-x`=x
3. Assoziativität: x+(x`+y)=(x+x`)+y
4. Allgemeine, identische Operationen: x-x`=0, y-y`=0
5. Tautologie (besondere identische Operationen): x+x=x y+y"y

1. Medien des Lernens: erzählen und Referrieren, Vorzeigen, Anschauen und Beobachten, Mit Schülern lesen, Schreiben - Texte verfassen 
2. Lerninhalt (Struktur): Aufbau und Verinnerlichung einer Handlung, Operation aufbauen, Begriff bilden
3. Lernprozess (Formalstufen): Problemlösendes Aufbauen, Durcharbeiten, Üben und Wiederholen, Anwenden

• Motivation aus Bedürfnis zu lernen
• Wichtigkeit der Anwendung und Verinnerlichung von Wissen
• Abstrakte Betrachtung
•  Rekonstruktion der Begriffe. Multiperspektivität, systembildend

1. Objekte erfassen bedeutet zu erforschen, wie sie konstruiert sind
2. Untersuchen, wie Operationen miteinander verknüpft sind
3. Welche Eigenschaften sind durch die Konstruktion geprägt
4. Welche Wirkung haben Operationen auf die Eigenschaften dieser Objekte

Flexibilisierung des Denkens

Übergänge zwischen den Darstellungsebenen nach dem EIS-Prinzip

Sinnkonstituierung, Anknüpfung an anderen Begriff

Verinnerlichung, operatives Handeln auf Vorstellungsebene ermöglichen

Anwendung in der Realität

(Individuum) erfasst (Sachverhalt) baut auf (Grundvorstellung) versteht (Mathematik)

(Mathematik) bestimmt inhaltlich (Grundvorstellung) setzt didaktisch um (Sachverhalt) aktiviert (Individuum)

58 typische Fehler, davon viele verschiedene bei Umwandeln und Kürzen aber weniger, dennoch häufige bei Addition und Subtraktion

Keine Vorstellung (Grundvorstellung) der Größe, unrealistische Ergenisse werden ignoriert

Curriculare Vorgaben als mögliche Ursache fehlender Grundvorstellungen

1. Flüchtigkeitsfehler: Fehler aus Unachtsamkeit, nach Aufmerksammachen sofortige Korrektur möglich
2. Systematische Fehler: Fehler, den eine Person bei bestimmten Aufgabentypen immer wieder macht. Korrektur nicht sofort möglich, Person erklärt vielmehr ihren Rechenweg
3. Typische Fehler: Fehler, die von mehreren Personen in einem komplizierten Aufgabengebiet gemacht werden (kann aber prophylaktisch vermieden werden)

Alltagsbrüche oft keine Berechnung notwendig, Nicht-Alltägliches wird als formalistisch und heimtückisch gesehen

Kognitive Anforderung, Bruchrechnung nur in formaloperationaler Phase möglich. Hohe Anforderung an Übersichtsvermögen

Aufnahme der negativen Zahlenin den Zahlenstrahl

In der Antike unbekannt, erstmals bei Inden 1000n.Chr. erwähnt

Wolf 1716: Aufnahme ins mathematische Lexikon

Alambert 1750: (-1)*(-1)=1

Leibniz 1682: 1/1^2+1/2^2+1/3^2+...=Pi/6

Wallis (1655): 2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7*...=Pi/2

• aktiv entdeckendes Lernen
• Tragfähige Grundvorstellung aufbauen
• Operatives Üben nach Fricke
• Stochastische Problemstellungen und Motivation
• Größen/Sachrechnung als informeller Vorspann
• Verhältnisaspekte

Deutscher Mathematiker, 19. Jh., Geometrie und Anwendung der Mathematik

Deutsche Mathematikerin, 19. Jh., abstrakte Algebra und theoretische Physik, qpeziell Theorie der Ringe, Körper und Algebren

Italienische Ärztin, Reformpädagogin, 20. Jh., Erziehung geht vom Kinde aus, Pädagogik durch Faschisten gefördert aber dann distanziert

Amerikanischer Psychologe, 20. Jh., kognitive Lerntheorie, Menschen bilden Konzepte um Umwelt zu vereinfachen und darin zu interagieren
 

Schweizer Entwicklungspsychologe, 20. Jh., kritisiert Behaviorismus und entwickelt Theorie der kognitiven Entwicklung

Italienischer Rechenmeister, 12. Jh., bedeutender Mathematiker im Mittelalter, bekannt für die Fibonacci-Folge

Deutscher Mathematikprofessor, 20. Jh., Mathematik-Didaktik als Schwerpunkt, prägte Lehramtsstudenten aller Schulformen, Entdeckendes Lernen als Hauptwerk

Kerncurriculum dünnt Stoff aus, bis verbleibender Inhalt nur noch ein Themenrudiment ohne Zusammenhang ist. KMK-Papier kein vertretbares Fachcurriculum

gemäßigt konstruktivistische Sicht des Lernens, Zulassen von Fehlern und angstfreie Fehleranalyse für positives Fehlerklima, Fehlermanagement

Prinzip der Stufengemäßheit und der Darstellungsebenen

Wiederholen, auf Wesentliches fokussieren und in Beziehung mit anderen Operationen setzen

Systematisches Verändern der Ausgangssituation und Untersuchung, was diese Veränderung auslöst

Sensomotorische Phase: Sammeln von Erfahrungen mit Sinnesorganen

Präoperationale Phase: Egozentrisches, nicht vorausschauendes Verhandeln

Konkret-Operationale Phase: Konkrete Denkoperation, Wahrnehmung wirkt weniger auf Urteilsbildung

Formal-Operationale Phase: Probleme vollständig auf hypothetischer Ebene lösbar

Enatkive Darstellung: Erfassung von Sachverhalten durch eigene Handlungen

Ikonische Darstellung: Erfassung von Sachverhalten durch (innere) Bilder

Symbolische Darstellung: Erfassung von Sachverhalten durch verbale Mitteilungen/Zeichensysteme

Folge von Leonardo da Pisa, Summe aus zwei vorherigen Zahlen

ursprüngliche Anwendung für Wachstum der Kaninchenpopulation

Beispiele aus der Natur (Anordnung der Blätter, spiralförmige Anordnung der Blüten
 

Gebetsrichtung zur Kaaba nach Mekka, im Koran vorgeschrieben

Welt als Kugel und Winkel, um Richtung zu bestimmen

KOOMORRK

Kardinalzahl: Mächtigkeit von Mengen, 3 Äpfel

Ordinalzahl: Zählzahl, 1 2 3 4 5

Ordinalzahl: Ordnungszahl, Fünfter sein

Maßzahl: Maßzahl für Größen, zwei Meter

Operator: Bezeichnung einer Handlung, fünfmal schlafen bis Ferien

Rechenzahl: Algebraischer Aspekt, Gesetz der Kommutativität

Rechenzahl: Algerithmischer Aspekt, Rechnen als Ziffermanipulation, Manuelle Addition

Kodierung: Objektbezeichnung, PLZ

GV1: Bruchzahl als Teil eines Ganzen
GV2: Bruchzahl als relativer Anteil a/b von c
GV3: Bruchzahl als Vergleichsoperator a/b mal soviel wie c
GV4: Bruchzahl als Resultat einer Division a/b=a:b
GV5: Bruchzahl als Verhältnis a/b=a:b (: als Verhältniszeichen
GV6: Bruchzahl als Quasikardinalzahl 2/3 ist 2 Drittel
GV7: Bruchzahl als Quasiordinalzahl (Jede Vierte Perle ist schwarz)
GV8: Bruchzahl als absoluter Anteil 2/3 als Zwei von Drei

Zwei Grundanforderungen, die der Rechenunterricht erfüllt:

1. allgemeine Geistesbildung
2. für das Leben praktische Kenntnisse 

Aber: Rechenunterricht erfüllt diese Anforderung nicht (Kühnel 1925)

Gymnasiallehrer haben bessere Fachkompetenzen als Haupt- und Realschullehrer

Gründe: Gymnasium unterrichtet i.d.R. nur ein Fach und Schulabgänger entscheiden sich für besser gestelltes Gymnasium

Drei Risikolagen, in denen SuS befindlich sein können:

1. Bildungsfernes Elternhaus
2. Soziale Risikolage
3. Finanzielle Risikolage