Analysis I für TPH
Analysis I für TPH (TUW)
Analysis I für TPH (TUW)
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Cartes-fiches
Eine Funktion f sei stetig an der Stelle c.
Es gilt weiters: \(f(c) \neq 0\)
Falls für eine Funktion f die einseitigen Grenzwerte \(f(c-)\) und \(f(c+)\) existieren und \(f(c-)=f(c+) \neq f(c)\) gilt, spricht man von einer
hebbaren Unstetigkeit
Falls für eine Funktion f die einseitigen Grenzwerte \(f(c-)\) und \(f(c+)\) existieren und \(f(c-)\ne f(c+)\) gilt, spricht man von einer
Sprungstelle
Die Funktion \(f(x)\) hat an der Stelle c einen [...] der Ordnung m, wenn f geschrieben werden kann als:
\(f(x)=\frac{g(x)}{(x-c)^m}, \quad\) \(m \gt 0\)
g ist stetig an der Stelle c mit \(g(c) \neq 0\)
Pol
Die Komposition \(f \circ g\) sei wohldefiniert. Falls g an der Stelle c stetig ist und f an der Stelle \(g(c)\) stetig ist, dann ist \(f \circ g\) ebenfalls stetig an der Stelle c.
Die Komposition \(f \circ g\) sei wohldefiniert. Falls g an der Stelle \(c\) stetig ist und f an der Stelle \(c\) stetig ist, dann ist \(f \circ g\) ebenfalls stetig an der Stelle \(c\).
Eine Funktion f sei auf einem kompakten Intervall stetig.
Zwischenwertsatz von Bolzano
Eine Funktion f sei auf einem kompakten Intervall stetig.
Gegeben sei die Funktion \(f: \mathbb R \to \mathbb R_0^+\) \(f(x)=x^2\)
Wenn es eine Konstante \(L \ge 0\) gibt, so dass gilt:
\(|f(x_1)-f(x_2)| \leq L|x_1-x_2| \quad\)\(\forall x_1,x_2 \in I\)
dann heißt die funktion f auf dem Intervall I
Lipschitz-stetig
Eine Funktion f sei bijektiv auf einem kompakten Intervall.
Der Graph der [...] entsteht durch Spiegelung des Graphen der Funktion an der ersten Meridiane.
Umkehrfunktion
Welche Aussagen treffen auf die Funktion \(f: \mathbb R \to \mathbb [1,\infty)\)
\(f(x)=x^2+1\) zu?
Fundamentalsatz der Algebra (C.F. Gauß, 1799)
Jedes Polynom vom Grad \(\geq 1\) hat mindestens eine (reelle oder komplexe) ...
Nullstelle
Quadratische Lösungsformel (große oder kleine)
\(x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\)
Eine Funktion der Gestalt \(R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\), wobei \(p(x)\) und \(q(x)\) Polynome sind, heißt
rationale Funktion
Welche Eigenschaften treffen auf die Exponentialfunktion zu?
a) Die Exponentialfunktion ist auf ganz \(\mathbb R\) stetig und strikt monoton wachsend
b) Bild(\(\mathbb R_+\))= \(\mathbb R\)
c) \(\displaystyle \lim_{x \to + \infty}e^x=\infty\)
d) \(\displaystyle \lim_{x \to - \infty}e^x=-\infty\)
e) \(e^{-x}=\frac{1}{e^x}\)
Welche Aussagen sind richtig?
a) \(\cos x = \sin(x+\frac{\pi}{2})\)
b) \(\cos x = \sin(x-\frac{\pi}{2})\)
c) \(\sin x = \cos(x+\frac{\pi}{2})\)
d) \(\sin x = \cos(x-\frac{\pi}{2})\)
Sinussatz
\(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c}\)
Cosinussatz
\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\)
\(\sin(x \pm y) =\)
\(\sin x \cos y \pm \cos x \sin y\)
\(\cos(x \pm y) =\)
\(\cos x \cos y \mp \sin x \sin y\)
Ordnen sie die Funktionen richtig zu:
\(f(x):=\frac{e^x+e^{-x}}{2}, \quad\) \(g(x):=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)
Sei \(f: (a,b) \to \mathbb R\) und \(x \in (a,b)\). Wenn \(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) existiert, dann heißt f [...] an der Stelle x.
differenzierbar
Sei \(f: (a,b) \to \mathbb R\) und \(x \in (a,b)\). Sei f differenzierbar an der STelle x. Man schreibt:
\(f'(x):=\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) und bezeichnet f'(x) als Ableitung oder [...] von f an der Stelle x
Differentialquotient
Gegeben sei eine Funktion f.
Ordne die Ableitungen zu:
a) \(f'(x)=\frac{1}{1+x^2}\)
b) \(g'(x)=\frac{1}{1-x^2}\)
1. Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Sei f(x) stetig auf [a,b] und differenzierbar auf (a,b). Dann existiert ein \(\xi \in (a,b)\) mit:
\(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
Satz von Rolle
Sei f(x) stetig auf [a,b] und differenzierbar auf (a,b) und es gelte \(f(a)=f(b)\). Dann existiert ein \(\xi \in (a,b)\) mit \(f'(\xi)=0\)
2. Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Seien f und g stetig auf [a,b] und differenzierbar auf (a,b). Dann existiert ein \(\xi \in (a,b)\) mit
\(f'(\xi)(g(b)-g(a))=\) \(g'(\xi)(f(b)-f(a))\)
oder auch:
\(\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)
\(f: [a,b] \to \mathbb R\) heißt [...] auf [a,b], wenn f auf [a,b] stetig und auf (a,b) stetig differenzierbar ist und wenn die einseitigen Grenzwerte \(f'(a+)\) und \(f'(a-)\) existieren. Man schreibt dafür \(f \in C^1[a,b]\)
stetig differenzierbar
Leibnitz'sche Produktregel:
\((fg)^{(n)} =...\)
\((fg)^{(n)}=\displaystyle \sum_{k=0}^n \begin {pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} f^{(k)}g^{(n-k)}\)
Satz von Taylor:
Sei \(f:[a,b] \to \mathbb R\) eine (n+1)-mal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt für alle \(x_0 \in [a,b]\) und \(x=x_0+h\) die Taylor'sche Formel:
\(f(x)=f(x_0+h)=\) \(f(x_0)+\) \(\frac{f'(x_0)}{1!}h +\) \(\frac{f''(x_0)}{2!}h^2+ \dots\) \(+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}h^n\) \(+R_{n+1}(x)\)
mit dem Restglied:
\(R_{n+1}= \frac{f^{(n+1)}(x_0+\vartheta h)}{(n+1)!}h^{n+1}, \quad\) \(\vartheta \in [0,1]\)
Ordne zu:
a) Falls der Quotient \(\frac{f(x)}{g(x)}\) für alle \(x \in D\), die hinreichend nahe bei \(x_0\) liegen, beschränkt bleibt, d. h. falls gilt: \(|f(x)| \leq Cg(x)\) in einer Umgebung von \(x_0\), schreibt man symbolisch:
b) Falls die Bedingung \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{h(x)}=0\) erfüllt ist, so schreibt man symbolisch:
Falls gilt: \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=1\) oder gleichbedeutend \(f(x)=g(x)(1+r(x))\) mit \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} r(x)=0\)
dann sagt man: \(f(x)\) verhält sich an \(x_0\) [...] \(g(x)\)
asymptotisch wie
Falls gilt: \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} \big(f(x)-g(x) \big) =0\)
dann nennt man \(g(x)\) [...] von \(f(x)\) an der Stelle \(x_0\)
Asymptote
Newton-Verfahren
Mit dem Newton-Verfahren wird eine Nullstelle gefunden. Es ist eine Variante der Fixpunktiteration.
\(x_{n+1}:=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)
Das Newton-Verfahren konvergiert nur in einer (möglicherweise kleinen) Umgebung der Nullstelle, dann jedoch sehr schnell (quadratisch)
Die Funktion f sei auf \([a,b]\) beschränkt. \(f\) heißt [...] auf \([a,b]\), falls gilt: \(\sup \mathcal U = \inf \mathcal O\)
Sei \(\mathcal U\) die Menge aller Untersummen, \(\mathcal O\) die Menge aller Obersummen
Riemann-integrierbar
Wann ist eine Funktion \(f: [a,b] \to \mathbb R\) Riemann-integrierbar?
