Analysis I für TPH
Analysis I für TPH (TUW)
Analysis I für TPH (TUW)
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Cartes-fiches
Satz von Bolzano-Weierstraß - Variante für Folgen
Für eine Folge \(\left\{ a_n \right\}\) gilt:
\(a_n \leq a_{n+1}\)
Man nennt die Folge dann
monoton wachsend
Für eine Folge \(\left\{ a_n \right\}\) gilt:
\(a_n \geq a_{n+1}\)
Man nennt die Folge dann
monoton fallend
Welche Aussagen sind richtig?
Was ist der Grenzwert \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)
e
Was ist der Wert der Reihe \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\)
e
\(s = \displaystyle \lim_{n \to \infty} s_n\) heißt Summe oder Wert der Reihe, falls die Folge \(\{s_n\}\) der ... konvergiert.
Partialsummen
Eine Reihe konvergiere gegen s.
Geometrische Reihe für |q| < 1
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q}\)
Gegeben sei die harmonische Reihe:
\(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}\)
Eine Reihe \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}(b_k-b_{k+1})=b_1-\lim_{k \to \infty}b_k\) heißt
Teleskopreihe
Fasst man durch Setzen von Klammern jeweils gewisse endlich viele Glieder einer konvergenten Reihe zusammen und betrachtet die neue Reihe, deren Glieder die Summe der einzelnen Klammern sind, so konvergiert auch die neue Reihe gegen denselben Wert.
Fasst man durch Setzen von Klammern jeweils gewisse endlich viele Glieder einer Reihe zusammen und betrachtet die neue Reihe, deren Glieder die Summe der einzelnen Klammern sind, so konvergiert auch die neue Reihe gegen denselben Wert.
Eine Reihe sei konvergent. Dass die Glieder der Reihe eine Nullfolge bilden, ist eine ... Bedingung.
Eine Reihe \(\displaystyle \sum _{k=0}^\infty (-1)^ka_k\) mit \(a_k \gt0\) für k=0,1,2,... heißt
alternierende Reihe
Falls die Folge \(\{a_k\}\) monoton gegen 0 konvergiert, dann ist die alternierende Reihe konvergent.
Eine Reihe \(\displaystyle \sum _{k=1}^\infty a_k\) heißt ..., wenn die Reihe \(\displaystyle \sum _{k=1}^\infty |a_k|\) konvergiert.
absolut konvergent
Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent.
Jede konvergente Reihe ist absolut konvergent.
Sei \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty M_k\) eine Reihe mit positiven Gliedern.
Falls ein \(N \in \mathbb N\) existiert, sodass für alle \(k \geq N\) gilt:
\(|a_k| \leq M_k\), dann heißt \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty M_k\)
Majorante
Eine Reihe, die eine konvergente Majorante besitzt, ist
absolut konvergent
Sei \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty m_k\) eine Reihe mit positiven Gliedern.
Falls ein \(N \in \mathbb N\) existiert, sodass für alle \(k \geq N\) gilt:
\(|a_k| \geq m_k\), dann heißt \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty m_k\)
Minorante
Was ist richtig?
Quotientenkriterium
Sei \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k\) eine Reihe.
Ab einem gewissen Index gilt:
\(|\frac{a_{k+1}}{a_k}| \leq q \lt 1\), dann ist die Reihe absolut konvergent
\(|\frac{a_{k+1}}{a_k}| \geq 1\), dann ist die Reihe divergent
\(|\frac{a_{k+1}}{a_k}| \leq 1\), dann ist keine allgemeine Aussage möglich
Wurzelkriterium
Sei \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k\) eine Reihe.
Ab einem gewissen Index gilt:
\(\sqrt[k]{|a_k|} \leq q \lt 1\), dann ist die Reihe absolut konvergent
\(\sqrt[k]{|a_k|} \geq 1\), dann ist die Reihe divergent
\(\sqrt[k]{|a_k|} \leq 1\), dann ist keine allgemeine Aussage möglich
Wenn unter einer beliebigen Umordnung einer konvergenten Reihe sowohl ihre Konvergenz als auch die Summe erhalten bleiben, heißt die Reihe
unbedingt konvergent
Wenn unter einer beliebigen Umordnung einer konvergenten Reihe ihre Konvergenz und/oder ihre Summe nicht erhalten bleiben, heißt die Reihe
bedingt konvergent
Eine Reihe ist genau dann unbedingt konvergent, wenn sie absolut konvergent ist.
Eine Reihe ist genau dann bedingt konvergent, wenn sie absolut konvergent ist.
Cauchy'sche Produktreihe
\(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty c_k\) mit \(c_k=\displaystyle\sum_{l=0}^k a_{k-l}b_l\)
\(c_0=a_0b_0\)
\(c_1=a_1b_0+a_0b_1\)
\(c_2=a_2b_0+a_1b_1+a_0b_2\)
Zwei Reihen seien absolut konvergent mit den Summen a und b. Dann konvergiert auch ihre Cauchy'sche Produktreihe absolut mit der Summe c=ab
\(f \circ f^{-1}=f^{-1} \circ f =\)
Wenn für eine Funktion \(f: [-a,a] \rightarrow \mathbb R, a\gt0\)
gilt: \(f(x)=f(-x) \quad \forall x\in [-a,a]\)
nennt man f
gerade
Wenn für eine Funktion \(f: [-a,a] \rightarrow \mathbb R, a \gt 0\)
gilt: \(f(x)=-f(-x) \quad \forall x\in [-a,a]\)
nennt man f
ungerade
Eine Funktion heißt ... an der Stelle c, wenn für jede konvergente Folge \(\{x_n\}\) mit \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n=c\) gilt:
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}f(x_n)=f(c) \iff\) \(\displaystyle \lim_{x \to c}f(x)=c\)
stetig
Eine Funktion heißt stetig an der Stelle c, wenn für eine konvergente Folge \(\{x_n\}\) mit \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n=c\) gilt:
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}f(x_n)=f(c) \iff\) \(\displaystyle \lim_{x \to c}f(x)=c\)
Sei \(D \subseteq \mathbb R\) offen. Eine Funktion \(f:D \to \mathbb R\) heißt [...] an der Stelle \(c \in D\), wenn zu jeder reellen Zahl \(\varepsilon \gt 0\) eine reelle Zahl \(\delta = \delta(\varepsilon)\gt 0\) existiert, so dass für alle x mit \(|x-c| \lt \delta\) gilt:
\(|f(x)-f(c)|\lt \varepsilon\)
stetig
Sei \(D \subseteq \mathbb R\) offen. Eine Funktion \(f:D \to \mathbb R\) heißt stetig an der Stelle \(c \in D\), wenn zu jeder reellen Zahl \(\varepsilon \gt 0\) eine reelle Zahl \(\delta = \delta(\varepsilon)\gt 0\) existiert, so dass für [...] x mit \(|x-c| \lt \delta\) gilt:
\(|f(x)-f(c)|\lt \varepsilon\)
Sei \(D \subseteq \mathbb R\) offen. Eine Funktion \(f:D \to \mathbb R\) heißt stetig an der Stelle \(c \in D\), wenn zu [...] reellen Zahl \(\varepsilon \gt 0\) eine reelle Zahl \(\delta = \delta(\varepsilon)\gt 0\) existiert, so dass für alle x mit \(|x-c| \lt \delta\) gilt:
\(|f(x)-f(c)|\lt \varepsilon\)
Eine Funktion \(f:D \subseteq \mathbb R \to \mathbb R\) habe an der Stelle c den Grenzwert \(\gamma = \displaystyle \lim_{x \to c} f(x)\)
