Analysis I für TPH
Analysis I für TPH (TUW)
Analysis I für TPH (TUW)
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Cartes-fiches
2. Mittelwertsatz der Integralrechnung
Sei \(f(x)\) stetig auf \([a,b]\) und die "Gewichtsfunktion" \(\omega: [a,b] \to \mathbb R\) sei integrierbar, wobei \(\omega(x) \ge 0, \quad x \in [a,b]\), \(\displaystyle \int_a^b\omega(x)dx \gt 0\)
Dann existiert ein \(\xi \in [a,b]\) mit \(\displaystyle \int_a^b f(x)\omega(x)dx = \) \(\displaystyle f(\xi)\int_a^b\omega(x)dx\)
Ist \(f(x)\) auf I stetig, dann nennt man jede auf I stetig differenzierbare Funktion \(G(x)\) mit \(G'(x)=f(x)\) [...] von \(f(x)\)
Stammfunktion
Die Gesamtheit aller STammfunktionen von \(f(x)\) nennt man das [...] von \(f(x)\) und man schreibt:
\(\displaystyle \int f(x)dx\)
unbestimmte Integral
Die Funktion\(f: [a, \infty) \to \mathbb R\) heißt [...] auf \([a, \infty)\), wenn \(\displaystyle \int_a^\xi f(x)dx\) für alle \(\xi \in [a, \infty)\) existiert
lokal integrierbar
Eine Funktion f sei lokal integrierbar auf \([a,\infty)\). Falls \(\displaystyle \lim_{\xi \to \infty} \int_a^\xi f(x) dx\) existiert, dann heißt f auf \([a,\infty)\) [...]
uneigentlich integrierbar
Gegeben seien zwei Funktionen \(f,g: [a, \infty) \to \mathbb R\), die lokal integrierbar sind.
Was muss für f und g gelten, dass f absolut konvergiert?
Wann divergiert f?
Falls gilt \(|f(x)| \leq g(x), \quad\) \(x \in [a, \infty)\) und falls \(\displaystyle \int_a^\infty g(x)dx\) konvergiert, dann konvergiert auch \(\displaystyle \int_a^\infty f(x)dx\) absolut und es gilt:
\(\displaystyle \left| \int_a^\infty f(x) dx \right| \leq\) \(\displaystyle \int_a^\infty \left|f(x) \right|dx \leq\) \(\displaystyle \int_a^\infty g(x) dx \)
Falls gilt \(0 \leq g(x) \leq f(x)\) und falls \(\displaystyle \int_a^\infty g(x)dx\) divergiert, dann divergiert auch \(\displaystyle \int_a^\infty f(x)dx\)
Wann existiert \(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(x)dx\)?
Falls ein \(c \in \mathbb R\) existiert, so dass die uneigentlichen Integrale
\(\displaystyle \int_{-\infty}^c f(x) dx\) und \(\displaystyle \int_c^{\infty} f(x) dx\) existieren, dann sagt man, dass auch \(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(x)dx\) existiert mit
\(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(x)dx :=\)\(\displaystyle \int_{-\infty}^c f(x) dx +\) \(\displaystyle \int_c^{\infty} f(x) dx\)
Diese Definition verlangt allerdings, dass beide Anteile unabhängig voneinander konvergieren müssen.
Die Funktion\(f: (a, b] \to \mathbb R\) heißt [...] auf \((a, b]\), wenn \(\displaystyle \int_\xi^b f(x)dx\) für alle \(\xi \in(a, b]\) existiert
lokal integrierbar
Eine Funktion f sei lokal integrierbar auf \((a,b]\) und unbeschränkt für \(\xi \to a+\). Falls \(\displaystyle \lim_{\xi \to a+} \int_\xi^b f(x) dx\) existiert, dann heißt f auf \((a,b]\) [...]
uneigentlich integrierbar
Integralkriterium für die absolute Konvergenz von Reihen
Sei \(m \in \mathbb N_0\), und \(f\) eine auf \([m,\infty)\) definierte, positive und monoton fallende Funktion. Dann haben
\(\displaystyle \int_m^\infty f(x) dx\) und \(\displaystyle \sum_{k=m}^\infty f(k)\) das gleiche Konvergenzverhalten!
Das heißt das uneigentliche Integral konvergiert genau dann, wenn die Reihe konvergiert. Weiters gilt:
\(\displaystyle \sum_{k=m+1}^\infty f(k) \leq\)\(\displaystyle \int_m^\infty f(x) dx \leq\) \(\displaystyle \sum_{k=m}^\infty f(k)\)
Gegeben sei eine Funktionenfolge \(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)
Existiert \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(\xi)\) für \(\xi \in I\), dann heißt \(\{f_n\}\) an der Stelle \(\xi\)
konvergent
Gegeben sei eine Funktionenfolge \(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)
Konvergiert \(\{f_n\}\) an x für alle \(x \in I\), so heißt \(\{f_n\}\) [...] in \(I\).
Dann existiert eine Grenzfunktion \(f: I \to \mathbb R\) mit
\(f(x):=\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x)\), \(x\in I\)
punktweise konvergent
Gegeben sei eine Funktionenfolge \(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)
Die Funktionenfolge \(\{f_n\}\) heißt [...] auf \(I\) gegen die Funktion \(f\), wenn gilt:
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in I} | f_n(x)-f(x)|=0\), oder anders ausgedrückt:
Zu jedem \(\varepsilon \gt 0\) existiert ein Index \(N(\varepsilon) \gt0\), so dass für alle \(x \in I\) und für alle \(n \in \mathbb N\) mit \(n \ge N(\varepsilon)\)gilt:
\(|f_n(x)-f(x)|\lt \varepsilon\)
gleichmäßig konvergent
Majorantenkriterium für gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe
Es gelte \(|f_n(x)| \lt a_n\) für alle \(n \in \mathbb N\) und alle \(x \in I\), wobei die Reihe mit konstanten Gliedern \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_k\) konvergiert. Dann konvergiert die Funktionenreihe \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f_n\) absolut und gleichmäßig in \(I\)
Die Funktionen \(f_n(x), \quad n=1,2, \dots\) seien stetig auf \(I\), und die Funktionenfolge \(\{f_n(x)\}\) sei auf \(I\) gleichmäßig konvergent. Dann ist die Grenzfunktion
\(f(x)=\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x)\) [...] auf \(I\)
stetig
Die Funktionen \(f_n(x), \quad n=1,2, \dots\) seien stetig auf \(I\), und die Reihe \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f_n(x)\) sei auf \(I\) gleichmäßig konvergent. Dann ist die Summenfunktion
\(f(x)=\displaystyle \sum_{n =1}^\infty f_n(x)\) [...] auf \(I\)
stetig
Unter welchen Voraussetzungen ist es zulässig, eine Funktionenreihe gliedweise zu integrieren?
\(\displaystyle \int_\alpha^\beta \sum_{n=1}^\infty f_n(x)dx = \) \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \int_\alpha^\beta f_n(x)dx \)
Wann ist es zulässig, eine Funktionenreihe gliedweise zu differenzieren?
Die Funktionen \(f_n(x), \quad n= 1,2,\dots\) sind auf \(I\) differenzierbar, und die abgeleitete Reihe \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f'_n(x)\) ist auf \(I\) gleichmäßig konvergent. Ist dann die die Reihe \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f_n(x)\) an mindestens einer Stelle \(x_0 \in I\) konvergent, so konvergiert sie sogar gleichmäßig auf \(I\) gegen eine differenzierbare Funktion \(f(x)\) und es gilt:
\(f'(x)= \) \(\displaystyle \frac{d}{dx}\Big(\sum_{n=1}^\infty f_n(x) \Big)=\) \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f'_n(x)\)
Sei \(\big\{a_n\big\}_{n=0}^\infty\) eine komplexe Zahlenfolge und \(z_0 \in \mathbb C\). Dann heißt
\(p(z)=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n, \quad\) \(z \in \mathbb C\)
komplexe [P.. m.. E..] \(z_0\)
Potenzreihe mit Entwicklungsstelle
Wie kann der Konvergenzradius \(R\) einer Potenzreihe berechnet werden?
\(\displaystyle R= \frac{1}{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt [n]{|a_n|}}\) oder \(\displaystyle R= \frac{1}{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \Big| \frac{a_{n+1}}{a_n}\Big|}\)
Satz von Taylor mit Integralrestglied
\(R_{n+1}(x)=\) \(\frac{h^{n+1}}{n!}\displaystyle \int_0^1f^{(n+1)}(x_0+\sigma h)(1-\sigma)^nd\sigma\) \(= \mathcal O(|h|^{n+1})\) für \(h \to 0\)
oder auch:
\(R_{n+1}(x)=\) \(\displaystyle\frac{1}{n!}\displaystyle\int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt \)
