Analysis I für TPH
Analysis I für TPH (TUW)
Analysis I für TPH (TUW)
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Flashcards
Zu jedem b einer Abbildung A-->B wird mindestens ein a aus A zugeordnet
surjektiv
Zu jedem b einer Abbildung A-->B wird höchstens ein a aus A zugeordnet
injektiv
Zwischen zwei Mengen existiert eine bijektive Abbildung. Die Mengen A und B heißen gleichmächtig oder
äquivalent
Eine Abbildung, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist, nennt man
bijektiv
Eine Menge, die äquivalent zu N ist, heißt
abzählbar unendlich
Die Abbildung \(f °g\) heißt ... von f und g
Komposition
Die Abbildung f-1 heißt Umkehrabbildung oder
inverse Abbildung
Bei einer Abbildung f: A --> B ist die Menge A der
Definitionsbereich
Bei einer Abbildung f: A --> B ist die Menge B der Wertebereich oder
Bildbereich
Bei einer Abbildung f: A --> B nennt man die Elemente des Definitionsbereiches
Argumente
Seien A und B zwei Mengen. \(A \times B\) nennt man Produktmenge oder
kartesisches Produkt
Seien A und B zwei Mengen. A \ B nennt man
Differenz
geometrische Summe
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
Dreiecksungleichung
\(|x \pm y| \leq |x|+|y|\)
inverse Dreiecksungleichung
\(|x \pm y| \geq ||x|-|y||\)
Sei \(A \subseteq \mathbb{R}\) . Wie nennt man die kleinste obere Schranke von A
Supremum
Sei \(A \subseteq \mathbb{R}\) . Wie nennt man die größte untere Schranke von A?
Infimum
\(A \subseteq \mathbb{R}\)
Falls gilt: \(s = \sup{A} , s \in A\), dann heißt s
Maximum
\(A \subseteq \mathbb{R}\)
Falls gilt: \(s = \inf{A} , s \in A\), dann heißt s
Minimum
Besitzt jede von oben beschränkte, nicht leere Teilmenge \(A \subseteq \mathbb{R}\) ein Supremum?
Besitzt jede von oben beschränkte, nicht leere Teilmenge \(A \subseteq \mathbb{R}\) ein Infimum?
Besitzt jede nach unten beschränkte, nicht leere Teilmenge \(A \subseteq \mathbb{R}\) ein Infimum?
Arithmetische Summenformel
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)\)
Binomischer Lehrsatz
\( (a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k}b^k\,.\)
\((A \Rightarrow B) \iff (\neg B \Rightarrow \neg A)\)
\((A \Rightarrow B) \iff (\neg A \Rightarrow \neg B)\)
\(\displaystyle\sum_{k=m}^{n+1} a_k = \displaystyle\sum_{k=m}^{n} a_k + a_{n+1}\)
\(c\displaystyle\sum_{k=m}^{n+1} a_k = \displaystyle\sum_{k=m}^{n} c\cdot a_k + a_{n+1}\)
\(c\displaystyle\sum_{k=m}^{n} a_k = \displaystyle\sum_{k=m}^{n} c\cdot a_k\)
\(\displaystyle\sum_{k=m}^{n+1} a_k = \displaystyle\sum_{k=m}^{n} a_k + a_{n}\)
Satz von Bolzano-Weierstraß:
Jede beschränkte, unendliche Teilmenge von \(\mathbb{R}\) besitzt mindestens einen
Häufungspunkt
Wenn zu jedem \( \varepsilon \gt 0\) ein Index \(N=N(\varepsilon)\) existiert, so dass für alle \(n \in \mathbb{N}\) mit \(n \geq N(\varepsilon)\) gilt:
\(|a_n-a|\lt \varepsilon \iff a_n \in K_{\varepsilon}(a)\)
Dann heißt die Folge \(\left\{ a_n\right\}\)
konvergent
Eine nicht konvergente Folge heißt
divergent
Eine reelle Folge \(\left\{ a_n \right\}\) sei konvergent.
Man nennt den Grenzwert einer Folge
Limes
Wenn zu jedem \(\varepsilon \gt 0\) ein Index \(N=N(\varepsilon)\) existiert, so dass für alle \(m,n \in \mathbb{N}\) mit \(m,n \geq N(\varepsilon)\) gilt:
\(|a_m-a_n|\lt \varepsilon\)
Dann heißt die Folge \(\left\{ a_n\right\}\)
Cauchyfolge
Eine reelle Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchyfolge ist
Eine Folge \(\left\{ a_n \right\}\) mit \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = 0\) heißt
Nullfolge
Eine reelle Folge sei eine Cauchyfolge.
Es sei \(\left\{ a_{n_k} \right\}\) eine Teilfolge von \(\left\{ a_n \right\}\). \(\left\{ a_{n_k} \right\}\) konvergiert gegen die reelle Zahl a. Die Zahl a nennt man
Häufungspunkt
