Mahte 3
MC Mathematik 3
MC Mathematik 3
Mit Hilfe des Richtungsvektorfeldes kann man eine ODE 1. Grades lösen.
Jede ODE hat ein Richtungsvektorfeld.
Zu jedem Skalar-Produkt können unendlich viele Metriken definiert wer den.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum kann durch Angabe einer Basis mit zugehöriger Gram-Matrix definiert werden.
Zwei Vektoren in einem reellen Vektorraum haben bezüglich jeder Metrik die gleiche Länge.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Winkel fest.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Längen, Flächen, Volumen bzw. Masse fest.
In jedem reellen Vektorraum kann genau eine Metrik definiert werden.
Die ODE (16) hat statische Lösungen.
Jede Lösung der ODE (16) ist monoton fallend.
Ist \(y_1(x)\) eine Lösung der ODE (16), dann ist auch \(y_2(x) := 2 · y_1\) eine Lösung.
Die Funktion \(y(x) = x+1\) ist eine Lösung der ODE (16).
Die ODE (16) ist zwar nicht linear, dafür aber separierbar.
Die ODE (16) hat den Grad 1.
Die Abkürzungen ODE und IVP kommen von den englischen Begriffen Order of Differential Equation bzw. Initial Value Problem.
Eine Differentialgleichung kann sowohl linear inhomogen als auch auto nom sein.
Ein Anfangswertproblem hat meistens unendlich viele Lösungen.
Jede Differentialgleichung hat entweder überhaupt keine oder genau eine Lösung.
Die Lösung einer Differentialgleichung, sofern überhaupt eine existiert, ist in jedem Fall eine reelle Zahl.
Differentialgleichungen spielen in der Physik eine grosse Rolle.
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(2x) \, dx\) berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine Substitution
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(x-1) \, dx\)berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine partielle Integration
Es gilt \(\int_{0}^{3} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Es gilt \(\int_{-1}^{1} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Die Dirac-Delta-Funktion $\delta(x)$ ist eine symbolische Schreibweise, welche nur als Faktor in einem Integranden sinnvoll interpretiert werden kann
Die Dirac-Delta-Funktion ist eine Funktion der Form \(\delta : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
Es gilt die Produkt-Regel \((f * g)' = f' * g + f * g'\)
Es gilt f(x)>0 und g(x)<0, dann folgt \((f * g)(x)<0\)
Es gilt \(f * g - g * f = 0 \quad \)
Die Faltung von zwei Funktionen ist eine komplexe Zahl.
Die Faltung ist für alle Paare von Funktionen \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) definiert.
Die Faltung spielt in der Signalverarbeitung eine grosse Rolle.
Es gilt \(lim_{t→∞}\dot{f}(t) = 0\).
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 5\).
Es gilt f(0) = 5.
f beschreibt eine freie, stark gedämpfte, harmonische Schwingung.
f beschreibt eine freie, gedämpfte harmonische Schwingung mit unge dämpfter Kreisfrequenz \(ω_0 = 6\).
f kann einfach mit Hilfe des Ähnlichkeitssatzes berechnet werden.
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 4\).
Es gilt \(\dot{f}(0) = 100\).
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Historisch betrachtet ist die Laplace-Transformation eine Weiterentwicklung der Fourier-Transformation.
Die Laplace-Transformation wird insbesondere in der Elektrotechnik in der Signalverarbeitung eingesetzt.
Durch Fourier-Transformation lässt sich jede lineare ODE einfach lösen.
Durch Fourier-Transformation lässt sich eine lineare ODE als rein al gebraische Gleichung schreiben.
Gilt \(f(t) ∘─● F(\omega)\) und \(g(t) ∘─● G(\omega)\), dann folgt \(F(\omega) + G(\omega) ●-∘ f(t) + g(t)\)
Gilt \(f(t) ∘-● F(\omega)\), dann folgt \(2 · f(t) ∘─● F(\omega)\).
Die Fourier-Transformation von Polynomen lässt sich einfach durch mehrfache, partielle Integration berechnen.
Die Bild-Funktion einer konstanten Funktion ist konstant.
Nur periodische Funktionen der Form \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) haben eine Fourier-Transformierte.
Die Funktion \(f(t) = e^{-t^2}\) hat eine Fourier-Transformierte.
Jede Funktion der Form \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) hat eine Fourier-Transformierte.
Die Fourier-Transformierte \(F(\omega)\) kann physikalisch als Spektrum interpretiert werden.
Die Fourier-Transformation wird hauptsächlich in der Elektrotechnik und Signalverarbeitung eingesetzt.
Die Fourier-Transformation wird hauptsächlich in der theoretischen Physik eingesetzt.
f kann auf [−1,2] durch eine reine Sinus-Reihe dargestellt werden.
f kann auf [−1,1] durch eine reine Cosinus-Reihe dargestellt werden.
f kann auf [−1,1] durch eine reine Sinus-Reihe dargestellt werden.
f kann auf [0,1] durch eine reine Cosinus-Reihe dargestellt werden.
f kann auf [0,1] durch eine reine Sinus-Reihe dargestellt werden.
f hat negative Parität.
Bei dieser Fourier-Entwicklung tritt das Gibbs-Phänomen auf.
Die Funktion U(t) hat keine Sprung-Stellen.
Für alle t ≥ 0 gilt |U(t)| ≤ 7.64V.
In jedem Fall hat die Funktion U(t) positive Parität.
Der Graph von U(t) verläuft durch den Punkt (0; 0) .
Die Periode von U(t) ist T ≈ 2.0ms.
f kann auf [−1,2] durch eine reine Sinus-Reihe dargestellt werden.
f kann auf [−1,1] durch eine reine Cosinus-Reihe dargestellt werden.
f kann auf [−1,1] durch eine reine Sinus-Reihe dargestellt werden.
f kann auf [0,1] durch eine reine Cosinus-Reihe dargestellt werden.
f kann auf [0,1] durch eine reine Sinus-Reihe dargestellt werden.
f hat negative Parität.
Bei der periodischen Erweiterung eines nichtperiodischen Signals auf ei nem Intervall ist die Herstellung einer Parität wichtiger als die Vermei dung von Sprüngen.
Bei der periodischen Erweiterung eines nichtperiodischen Signals auf ei nem Intervall ist die Vermeidung von Sprüngen wichtiger als die Herstel lung einer Parität.
Jedes stückweise stetige Signal des Typs \(f : [t_0,t_E] → \mathbb{R}\) hat eine Fouri er-Entwicklung.
Jedes stückweise stetige Signal des Typs \(f : [0,a] → \mathbb{R}\) hat eine Fourier Entwicklung.
Jedes stückweise stetige, periodische Signal des Typs \(f : \mathbb{R} → \mathbb{R}\) hat eine Fourier-Entwicklung.
Jedes stückweise stetige Signal des Typs \(f : \mathbb{R} → \mathbb{R}\) hat eine Fourier Entwicklung.
In jedem Fall hat die Funktion x(t) negative Parität.
In jedem Fall gilt xn(t) = xn(−t) für alle t ∈ \(\mathbb{R}\).
