Mahte 3
MC Mathematik 3
MC Mathematik 3
Mit Hilfe des Richtungsvektorfeldes kann man eine ODE 1. Grades lösen.
Jede ODE hat ein Richtungsvektorfeld.
Zu jedem Skalar-Produkt können unendlich viele Metriken definiert wer den.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum kann durch Angabe einer Basis mit zugehöriger Gram-Matrix definiert werden.
Zwei Vektoren in einem reellen Vektorraum haben bezüglich jeder Metrik die gleiche Länge.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Winkel fest.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Längen, Flächen, Volumen bzw. Masse fest.
In jedem reellen Vektorraum kann genau eine Metrik definiert werden.
Die ODE (16) hat statische Lösungen.
Jede Lösung der ODE (16) ist monoton fallend.
Ist \(y_1(x)\) eine Lösung der ODE (16), dann ist auch \(y_2(x) := 2 · y_1\) eine Lösung.
Die Funktion \(y(x) = x+1\) ist eine Lösung der ODE (16).
Die ODE (16) ist zwar nicht linear, dafür aber separierbar.
Die ODE (16) hat den Grad 1.
Die Abkürzungen ODE und IVP kommen von den englischen Begriffen Order of Differential Equation bzw. Initial Value Problem.
Eine Differentialgleichung kann sowohl linear inhomogen als auch auto nom sein.
Ein Anfangswertproblem hat meistens unendlich viele Lösungen.
Jede Differentialgleichung hat entweder überhaupt keine oder genau eine Lösung.
Die Lösung einer Differentialgleichung, sofern überhaupt eine existiert, ist in jedem Fall eine reelle Zahl.
Differentialgleichungen spielen in der Physik eine grosse Rolle.
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(2x) \, dx\) berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine Substitution
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(x-1) \, dx\)berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine partielle Integration
Es gilt \(\int_{0}^{3} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Es gilt \(\int_{-1}^{1} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Die Dirac-Delta-Funktion $\delta(x)$ ist eine symbolische Schreibweise, welche nur als Faktor in einem Integranden sinnvoll interpretiert werden kann
Die Dirac-Delta-Funktion ist eine Funktion der Form \(\delta : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
Es gilt die Produkt-Regel \((f * g)' = f' * g + f * g'\)
Es gilt f(x)>0 und g(x)<0, dann folgt \((f * g)(x)<0\)
Es gilt \(f * g - g * f = 0 \quad \)
Die Faltung von zwei Funktionen ist eine komplexe Zahl.
Die Faltung ist für alle Paare von Funktionen \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) definiert.
Die Faltung spielt in der Signalverarbeitung eine grosse Rolle.
Es gilt \(lim_{t→∞}\dot{f}(t) = 0\).
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 5\).
Es gilt f(0) = 5.
f beschreibt eine freie, stark gedämpfte, harmonische Schwingung.
f beschreibt eine freie, gedämpfte harmonische Schwingung mit unge dämpfter Kreisfrequenz \(ω_0 = 6\).
f kann einfach mit Hilfe des Ähnlichkeitssatzes berechnet werden.
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 4\).
Es gilt \(\dot{f}(0) = 100\).
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Lernkarten
Im Lorentz-Minkowski-Diagramm können jeweils 2 der 4 Dimensio nen des \(\mathbb{R}^{1,3}\) dargestellt werden
Im Lorentz-Minkowski-Diagramm können alle 4 Dimensionen des \(\mathbb{R}^{1,3}\) dargestellt werden.
Das Lorentz-Minkowski-Diagramm dient der Veranschaulichung der speziellen Relativitätstheorie.
Das Lorentz-Minkowski-Diagramm wurde 1908 von Hermann Min kowski entwickelt.
Die Lorentz-Transformationen bilden eine Gruppe.
Die Lorentz-Transformationen bilden einen Vektorraum.
Jede Lorentz-Transformation ist orthogonal.
Jede Lorentz-Transformation ist bijektiv.
Ob eine reguläre Matrix \(Λ ∈ \mathbb{M}(4,4,\mathbb{R})\) eine Lorentz-Transformation beschreibt, lässt sich mit Hilfe des Lorentz-Kriteriums überprüfen.
Die Lorentz-Transformationen sind genau die Isometrien des Lorentz-Minkowski-Raums.
Sind m(x) und q(x) Polynome, dann läuft durch jeden Punkt \((x; y) ∈ \mathbb{R}^2\) genau eine Lösung von (1)
Um die Methode der Variation der Konstanten auf (1) anwenden zu kön nen, benötigt man eine Stammfunktion von q.
Die Methode der Variation der Konstanten basiert auf der Produkt-Regel der Differentialrechnung.
Sind y1 und y2 Lösungen von (1), dann gilt dies auch für die Funktion y3 := y2 −y1.
Ist y1 eine Lösung von (1), dann gilt dies auch für die Funktion y2 := −5·y1.
Die ODE (1) ist genau dann separierbar, wenn gilt q(x) = 0.
Die Vektoren \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) sind linear abhängig.
Es gilt \(\vec{v} \perp \vec{w}\)
Es gilt \(\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle = |\vec{w}| \cdot |\vec{v}|\)
Es gilt \(\hat{\vec{v}} = \sqrt{2} \cdot \vec{v}\)
Der Vektor \(\vec{w}\) ist lichtartig.
Der Vektor \(\vec{v}\) ist ein Einheitsvektor.
Jeder zeitartige Lorentz-Minkowski-Vektor steht senkrecht auf jedem raumartigen Lorentz-Minkowski-Vektor.
Es gibt von Null verschiedene Lorentz-Minkowski-Vektoren, welche senkrecht auf sich selbst stehen.
Es gibt einen Lorentz-Minkowski-Vektor, welcher sowohl zeitartig als auch raumartig ist.
Zwischen zwei beliebigen Lorentz-Minkowski-Vektoren ist ein Winkel definiert.
Für jeden Lorentz-Minkowski-Vektor ist eine Länge definiert.
Der Lorentz-Minkowski-Raum hat seine Hauptanwendung in der speziellen Relativitätstheorie.
Im Lorentz-Minkowski-Raum ist das Grassmann-Vektorprodukt definiert.
Der Lorentz-Minkowski-Raum und der Euklid-Raum in der gleichen Dimension unterscheiden sich in der Definition des Skalarprodukts.
Der Lorentz-Minkowski-Raum und der Euklid-Raum in der gleichen Dimension unterscheiden sich in der Definition der Vektoraddition und Skalarmultiplikation.
Der Lorentz-Minkowski-Raum ist ein Vektorraum über den reellen Zahlen.
Die Theorie des Lorentz-Minkowski-Raums hat Anwendungen in Naturwissenschaft, Technik und vor allem Ökonomie.
Die Theorie des Lorentz-Minkowski-Raums wurde im 20. Jahrhundert entwickelt.
\(\hat{e}_x + \hat{e}_y + \hat{e}_z \text{ ist ein Eigenvektor von } B\)
\(A \text{ und } B \text{ sind simultan diagonalisierbar.}\)
Es gilt \(1 \in \operatorname{spec}(B)\)
\(A \text{ ist positiv definit.}\)
\(A \text{ ist orthogonal diagonalisierbar.}\)
\(A \text{ ist orthogonal.}\)
