Mahte 3
MC Mathematik 3
MC Mathematik 3
Mit Hilfe des Richtungsvektorfeldes kann man eine ODE 1. Grades lösen.
Jede ODE hat ein Richtungsvektorfeld.
Zu jedem Skalar-Produkt können unendlich viele Metriken definiert wer den.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum kann durch Angabe einer Basis mit zugehöriger Gram-Matrix definiert werden.
Zwei Vektoren in einem reellen Vektorraum haben bezüglich jeder Metrik die gleiche Länge.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Winkel fest.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Längen, Flächen, Volumen bzw. Masse fest.
In jedem reellen Vektorraum kann genau eine Metrik definiert werden.
Die ODE (16) hat statische Lösungen.
Jede Lösung der ODE (16) ist monoton fallend.
Ist \(y_1(x)\) eine Lösung der ODE (16), dann ist auch \(y_2(x) := 2 · y_1\) eine Lösung.
Die Funktion \(y(x) = x+1\) ist eine Lösung der ODE (16).
Die ODE (16) ist zwar nicht linear, dafür aber separierbar.
Die ODE (16) hat den Grad 1.
Die Abkürzungen ODE und IVP kommen von den englischen Begriffen Order of Differential Equation bzw. Initial Value Problem.
Eine Differentialgleichung kann sowohl linear inhomogen als auch auto nom sein.
Ein Anfangswertproblem hat meistens unendlich viele Lösungen.
Jede Differentialgleichung hat entweder überhaupt keine oder genau eine Lösung.
Die Lösung einer Differentialgleichung, sofern überhaupt eine existiert, ist in jedem Fall eine reelle Zahl.
Differentialgleichungen spielen in der Physik eine grosse Rolle.
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(2x) \, dx\) berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine Substitution
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(x-1) \, dx\)berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine partielle Integration
Es gilt \(\int_{0}^{3} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Es gilt \(\int_{-1}^{1} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Die Dirac-Delta-Funktion $\delta(x)$ ist eine symbolische Schreibweise, welche nur als Faktor in einem Integranden sinnvoll interpretiert werden kann
Die Dirac-Delta-Funktion ist eine Funktion der Form \(\delta : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
Es gilt die Produkt-Regel \((f * g)' = f' * g + f * g'\)
Es gilt f(x)>0 und g(x)<0, dann folgt \((f * g)(x)<0\)
Es gilt \(f * g - g * f = 0 \quad \)
Die Faltung von zwei Funktionen ist eine komplexe Zahl.
Die Faltung ist für alle Paare von Funktionen \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) definiert.
Die Faltung spielt in der Signalverarbeitung eine grosse Rolle.
Es gilt \(lim_{t→∞}\dot{f}(t) = 0\).
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 5\).
Es gilt f(0) = 5.
f beschreibt eine freie, stark gedämpfte, harmonische Schwingung.
f beschreibt eine freie, gedämpfte harmonische Schwingung mit unge dämpfter Kreisfrequenz \(ω_0 = 6\).
f kann einfach mit Hilfe des Ähnlichkeitssatzes berechnet werden.
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 4\).
Es gilt \(\dot{f}(0) = 100\).
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Cartes-fiches
Jede Basis-Transformationsmatrix ist quadratisch
Für zwei beliebige Basen in einem beliebigen endlichdimensionalen Vek torraum gibt es ein eindeutiges Paar von Basis-Transformationsmatrizen.
Monoton fallende und monoton steigende Lösungen schneiden sich beim Wert y=0.
Das RVF visualisiert eine lineare ODE
Die Funktion y(x)=0 ist eine stabile, statische Lösung.
Die Lösung durch den Punkt (122;0.9) nähert sich für x→∞ immer mehr demWert 1 an.
Das RVF visualisiert eine separierbare ODE.
Das RVF visualisiert eine elementar integrierbare ODE.
Durch jeden Punkt der x-y-Ebenev erlaufen vier verschiedene Lösungen der visualisierten ODE.
Das RVF visualisiert eine ODE, welche geschrieben werden kann als \(y′= ay^2+by+c\).
Die Funktion y(x)=1.5 ist eine stabile, statische Lösung.
Die Lösung durch den Punkt (1.25;1.25) nähert sich für x→∞ immer mehrdem Wert 0.5 an.
Das RVF visualisiert eine separierbare ODE.
Das RVF visualisiert eine ODE vom Grad 3.
Anhand des Richtungsvektorfeldes einer ODE 1. Grades kann man die Stabilität ihrer statischen Lösungen beurteilen.
Die Graphen der Lösungen einer ODE 1. Grades stehen an jedem Punkt senkrecht auf dem Richtungsvektorfeld.
Die Vektoren des Richtungsvektorfeldes sind an jedem Punkt Einheitsvek toren.
Mit Hilfe des Richtungsvektorfeldes kann man eine ODE 1. Grades visua lisieren
Mit Hilfe des Richtungsvektorfeldes kann man eine ODE 1. Grades lösen.
Jede ODE hat ein Richtungsvektorfeld.
Zu jedem Skalar-Produkt können unendlich viele Metriken definiert wer den.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum kann durch Angabe einer Basis mit zugehöriger Gram-Matrix definiert werden.
Zwei Vektoren in einem reellen Vektorraum haben bezüglich jeder Metrik die gleiche Länge.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Winkel fest.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Längen, Flächen, Volumen bzw. Masse fest.
In jedem reellen Vektorraum kann genau eine Metrik definiert werden.
Die ODE (16) hat statische Lösungen.
Jede Lösung der ODE (16) ist monoton fallend.
Ist \(y_1(x)\) eine Lösung der ODE (16), dann ist auch \(y_2(x) := 2 · y_1\) eine Lösung.
Die Funktion \(y(x) = x+1\) ist eine Lösung der ODE (16).
Die ODE (16) ist zwar nicht linear, dafür aber separierbar.
Die ODE (16) hat den Grad 1.
Die Abkürzungen ODE und IVP kommen von den englischen Begriffen Order of Differential Equation bzw. Initial Value Problem.
Eine Differentialgleichung kann sowohl linear inhomogen als auch auto nom sein.
Ein Anfangswertproblem hat meistens unendlich viele Lösungen.
Jede Differentialgleichung hat entweder überhaupt keine oder genau eine Lösung.
Die Lösung einer Differentialgleichung, sofern überhaupt eine existiert, ist in jedem Fall eine reelle Zahl.
Differentialgleichungen spielen in der Physik eine grosse Rolle.
