Mahte 3
MC Mathematik 3
MC Mathematik 3
Mit Hilfe des Richtungsvektorfeldes kann man eine ODE 1. Grades lösen.
Jede ODE hat ein Richtungsvektorfeld.
Zu jedem Skalar-Produkt können unendlich viele Metriken definiert wer den.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum kann durch Angabe einer Basis mit zugehöriger Gram-Matrix definiert werden.
Zwei Vektoren in einem reellen Vektorraum haben bezüglich jeder Metrik die gleiche Länge.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Winkel fest.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Längen, Flächen, Volumen bzw. Masse fest.
In jedem reellen Vektorraum kann genau eine Metrik definiert werden.
Die ODE (16) hat statische Lösungen.
Jede Lösung der ODE (16) ist monoton fallend.
Ist \(y_1(x)\) eine Lösung der ODE (16), dann ist auch \(y_2(x) := 2 · y_1\) eine Lösung.
Die Funktion \(y(x) = x+1\) ist eine Lösung der ODE (16).
Die ODE (16) ist zwar nicht linear, dafür aber separierbar.
Die ODE (16) hat den Grad 1.
Die Abkürzungen ODE und IVP kommen von den englischen Begriffen Order of Differential Equation bzw. Initial Value Problem.
Eine Differentialgleichung kann sowohl linear inhomogen als auch auto nom sein.
Ein Anfangswertproblem hat meistens unendlich viele Lösungen.
Jede Differentialgleichung hat entweder überhaupt keine oder genau eine Lösung.
Die Lösung einer Differentialgleichung, sofern überhaupt eine existiert, ist in jedem Fall eine reelle Zahl.
Differentialgleichungen spielen in der Physik eine grosse Rolle.
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(2x) \, dx\) berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine Substitution
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(x-1) \, dx\)berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine partielle Integration
Es gilt \(\int_{0}^{3} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Es gilt \(\int_{-1}^{1} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Die Dirac-Delta-Funktion $\delta(x)$ ist eine symbolische Schreibweise, welche nur als Faktor in einem Integranden sinnvoll interpretiert werden kann
Die Dirac-Delta-Funktion ist eine Funktion der Form \(\delta : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
Es gilt die Produkt-Regel \((f * g)' = f' * g + f * g'\)
Es gilt f(x)>0 und g(x)<0, dann folgt \((f * g)(x)<0\)
Es gilt \(f * g - g * f = 0 \quad \)
Die Faltung von zwei Funktionen ist eine komplexe Zahl.
Die Faltung ist für alle Paare von Funktionen \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) definiert.
Die Faltung spielt in der Signalverarbeitung eine grosse Rolle.
Es gilt \(lim_{t→∞}\dot{f}(t) = 0\).
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 5\).
Es gilt f(0) = 5.
f beschreibt eine freie, stark gedämpfte, harmonische Schwingung.
f beschreibt eine freie, gedämpfte harmonische Schwingung mit unge dämpfter Kreisfrequenz \(ω_0 = 6\).
f kann einfach mit Hilfe des Ähnlichkeitssatzes berechnet werden.
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 4\).
Es gilt \(\dot{f}(0) = 100\).
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Cartes-fiches
Ist eine Matrix \((A \in M(n,n,\mathbb{R}))\) diagonalisierbar, dann hat A insgesamt n verschiedene Eigenwerte.
Hat eine Matrix \((A \in M(n,n,\mathbb{R}))\) insgesamt n verschiedene Eigenwerte, dann ist A diagonalisierbar.
Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar.
Jede diagonalisierbare Matrix ist symmetrisch.
Jede diagonalisierbare Matrix ist regulär.
Eine quadratische Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sich aus ihren Eigenvektoren eine Basis bilden lässt.
\(A \text{ und } \tilde{A} \text{ haben das gleiche Spektrum.}\)
Es gilt \(\det(A) \cdot \det(\tilde{A}) \ge 0\)
\(\text{Ist } A \text{ schiefsymmetrisch, dann gilt } \operatorname{tr}(\tilde{A}) = 0.\)
\(\text{Ist } A \text{ symmetrisch, dann gilt dies auch für } \tilde{A} \text{ und umgekehrt.}\)
\(\text{Ist } A \text{ orthogonal, dann gilt dies auch für } \tilde{A} \text{ und umgekehrt.}\)
\(\text{Ist } A \text{ regulär, dann gilt dies auch für } \tilde{A} \text{ und umgekehrt.}\)
Nur 1 (Doppelstrich) ist ähnlich zu 1 (Doppelstrich).
Nur 0 ist ähnlich zu 0.
Zueinander ähnliche Matrizen kommutieren.
Jede quadratische Matrix ist ähnlich zu sich selbst.
Ähnlichkeit ist nur für quadratische Matrizen definiert.
Ähnliche Matrizen beschreiben die gleiche lineare Abbildung bezüglich ver schiedenen Basen.
Das RVF visualisierte eine lineare ODE.
Die Funktion y(x)=1 ist eine instabile, statische Lösung.
Die Lösung durch den Punkt (−20;0.9) nähert sich für x→∞ immer mehr dem Wert −1 an.
Das RVF visualisierte eine separierbare ODE.
Das RVF visualisierte eine elementar integrierbare ODE.
Das RVF visualisierte eine ODE vom Grad 2.
Um ein IVP mit separierbarer ODE zu lösen, muss man zuerst die allge meine Lösung der ODE bestimmen.
Die Methode der Separation der Variablen kann nur auf lineare ODE angewendet werden.
Die Methode der Separation der Variablen beruht auf der Substitutions Regel der Integral-Rechnung.
Jede separierbare ODE hat genau eine Lösung.
Jede elementar integrierbare ODE ist separierbar.
Jede analytisch isolierbare, autonome ODE 1. Grades ist separierbar.
\(\{\hat{e}_2, \hat{u}\} \text{ bildet eine Orthonormalbasis von } \mathbb{R}^2\)
\(\{\hat{e}_2, v\} \text{ bildet eine Basis von } \mathbb{R}^2\)
\(\{\vec{u}, \vec{v}\} \text{ bildet eine Orthonormalbasis von } \mathbb{R}^2\)
\(\{\hat{e}_1, u\} \text{ bildet eine Basis von } \mathbb{R}^2\)
\(\{\hat{u}, \hat{v}\} \text{ bildet eine Orthonormalbasis von } \mathbb{R}^2\)
\(\{{\vec{u},\vec{v}} \}\)bildet eine Basis von \(ℝ²\)
Sind B und B̃ Orthonormalbasen, dann sind die Basis Transformationsmatrizen für die Basen B und B̃ orthogonal.
Sind die Basis-Transformationsmatrizen für die Basen B und B̃ orthogo nal, dann sind B und B̃ Orthonormalbasen.
Jede Basis-Transformationsmatrix ist regulär.
Jede Basis-Transformationsmatrix ist symmetrisch.
