Mahte 3
MC Mathematik 3
MC Mathematik 3
Mit Hilfe des Richtungsvektorfeldes kann man eine ODE 1. Grades lösen.
Jede ODE hat ein Richtungsvektorfeld.
Zu jedem Skalar-Produkt können unendlich viele Metriken definiert wer den.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum kann durch Angabe einer Basis mit zugehöriger Gram-Matrix definiert werden.
Zwei Vektoren in einem reellen Vektorraum haben bezüglich jeder Metrik die gleiche Länge.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Winkel fest.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Längen, Flächen, Volumen bzw. Masse fest.
In jedem reellen Vektorraum kann genau eine Metrik definiert werden.
Die ODE (16) hat statische Lösungen.
Jede Lösung der ODE (16) ist monoton fallend.
Ist \(y_1(x)\) eine Lösung der ODE (16), dann ist auch \(y_2(x) := 2 · y_1\) eine Lösung.
Die Funktion \(y(x) = x+1\) ist eine Lösung der ODE (16).
Die ODE (16) ist zwar nicht linear, dafür aber separierbar.
Die ODE (16) hat den Grad 1.
Die Abkürzungen ODE und IVP kommen von den englischen Begriffen Order of Differential Equation bzw. Initial Value Problem.
Eine Differentialgleichung kann sowohl linear inhomogen als auch auto nom sein.
Ein Anfangswertproblem hat meistens unendlich viele Lösungen.
Jede Differentialgleichung hat entweder überhaupt keine oder genau eine Lösung.
Die Lösung einer Differentialgleichung, sofern überhaupt eine existiert, ist in jedem Fall eine reelle Zahl.
Differentialgleichungen spielen in der Physik eine grosse Rolle.
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(2x) \, dx\) berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine Substitution
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(x-1) \, dx\)berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine partielle Integration
Es gilt \(\int_{0}^{3} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Es gilt \(\int_{-1}^{1} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Die Dirac-Delta-Funktion $\delta(x)$ ist eine symbolische Schreibweise, welche nur als Faktor in einem Integranden sinnvoll interpretiert werden kann
Die Dirac-Delta-Funktion ist eine Funktion der Form \(\delta : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
Es gilt die Produkt-Regel \((f * g)' = f' * g + f * g'\)
Es gilt f(x)>0 und g(x)<0, dann folgt \((f * g)(x)<0\)
Es gilt \(f * g - g * f = 0 \quad \)
Die Faltung von zwei Funktionen ist eine komplexe Zahl.
Die Faltung ist für alle Paare von Funktionen \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) definiert.
Die Faltung spielt in der Signalverarbeitung eine grosse Rolle.
Es gilt \(lim_{t→∞}\dot{f}(t) = 0\).
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 5\).
Es gilt f(0) = 5.
f beschreibt eine freie, stark gedämpfte, harmonische Schwingung.
f beschreibt eine freie, gedämpfte harmonische Schwingung mit unge dämpfter Kreisfrequenz \(ω_0 = 6\).
f kann einfach mit Hilfe des Ähnlichkeitssatzes berechnet werden.
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 4\).
Es gilt \(\dot{f}(0) = 100\).
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Flashcards
Im Modell der freien ungedämpften harmonischen Schwingungen wird die innere Dämpfung berücksichtigt.
Das Modell der freien ungedämpften harmonischen Schwingungen spielt in der Ökonomie eine grosse Rolle.
Ist die Diskriminante des charakteristischen Polynoms negativ, dann ist die Lösung des IVP (127) oszillierend.
Das Verhalten der Lösung des IVP (127) für \(x \to \infty\) hängt nicht von den IC-Parametern y0 und v0 ab.
Ist \(y_1\)eine Lösung des IVP (127), dann gilt dies auch für die Funktion\(y = -\pi \cdot y_1\)
Sind \(y_1\) und \(y_2\) Lösungen der ODE in (127), dann gilt dies auch für die Funktion \(y := y_2 - y_1\).
Die ODE in (127) ist autonom.
Die ODE in (127) hat in jedem Falle eine reelle Lösung.
Die Lösung des IVP (83) ist nach oben beschränkt.
Für die Lösung des IVP (83) gilt y(x) → ∞ für x → ∞.
Für die Lösung des IVP (83) gilt y′′(1) < 0.
Die Lösung des IVP (83) hat eine Nullstelle bei x = 1
Die Lösung des IVP (83) oszilliert
Die Lösung des IVP (83) ist reell.
Ein eindeutig lösbares BVP mit einer linear homogenen ODE 2. Grades benötigt genau zwei BC.
Ein eindeutig lösbares IVP mit einer linear homogenen ODE 2. Grades benötigt genau zwei IC.
Jede Lösung einer linear homogenen ODE 2. Grades kann als Linearkombination von zwei Basis-Lösungen geschrieben werden.
Die Lösungen einer linear homogenen ODE 2. Grades bilden einen Vektorraum mit unendlicher Dimension.
Das charakteristische Polynom einer linear homogenen ODE 2. Grades ist in jedem Fall eine quadratische Funktion.
Linear homogene ODE 2. Grades spielen in der Theorie der Schwingungen eine grosse Rolle.
Das Penrose-Diagramm der allgemeinen Relativitätstheorie und die Feynman-Diagramme der Quantenfeldtheorie basieren auf dem Lorentz–Minkowski-Diagramm.
Die zeitartige Richtung entlang der x0-Achse im Lorentz–Minkowski-Diagramm ist in \(\mathbb{R}^{1,1}\) gegenüber allen anderen zeitartigen Richtungen privilegiert.
Punkte in \(\mathbb{R}^{1,1}\), die vom Ursprung den Abstand 3 haben, liegen im Lorentz–Minkowski-Diagramm auf Hyperbeln.
Die Einheits-Ortsvektoren in \( \mathbb{R}^{1,1} \) entsprechen im Lorentz–Minkowski-Diagramm den Vektorpfeilen, die vom Ursprung auf den Einheitskreis zeigen.
Der Lichtkegel in \(\mathbb{R}^{1,1}\) entspricht im Lorentz–Minkowski-Diagramm den Winkelhalbierenden.
Jedes Element aus \( \mathbb{R}^{1,1} \) entspricht genau einem Punkt bzw. Vektorpfeil im Lorentz–Minkowski-Diagramm und umgekehrt.
Der Kreisbogen k hat die Länge L = π.
Der kürzeste Weg von A nach B hat die Länge \(L = \sqrt{8}\).
Die Punkte A und B sind raumartig separiert.
Es gilt \(|\vec{v}| < |\vec{w}| \).
Es gibt eine Linearkombination von \(\vec{v}\) und \(\vec{w} \) die raumartig ist.
Der Vektor \( \vec{u} = \vec{w} - \tfrac{1}{3}\vec{v} \) ist lichtartig.
Ob ein Vektor in \(\mathbb{R}^{1,1}\) zeitartig, lichtartig oder raumartig ist, lässt sich im Lorentz-Minkowski-Diagramm anhandderLänge des Vektor-Pfeils beurteilen.
Ob ein Vektor in \(\mathbb{R}^{1,1}\) zeitartig, lichtartig oder raumartig ist, lässt sich im Lorentz-Minkowski-Diagramm anhand der Richtung des Vektor Pfeils beurteilen.
Der Winkel zwischen zwei Vektoren in \(\mathbb{R}^{1,1}\) entspricht im Lorentz Minkowski-Diagramm dem Winkel zwischen den Vektor-Pfeilen.
Die Länge eines Vektors in \(\mathbb{R}^{1,1}\) entspricht im Lorentz-Minkowski Diagramm der Länge des Vektor-Pfeils.
Die Skalar-Multiplikation in \(\mathbb{R}^{1,1}\) entspricht im Lorentz-Minkowski Diagramm dem Verlängern bzw. Verkürzen des Vektor-Pfeils.
Die Vektor-Addition in \(\mathbb{R}^{1,1}\) entspricht im Lorentz-Minkowski Diagramm dem Aneinanderhängen der Vektor-Pfeile.
Aus dem Lorentz-Minkowski-Diagramm lassen sich qualitative und quantitative Aussagen über die Lorentz-Minkowski-Geometrie ma chen.
Aus dem Lorentz-Minkowski-Diagramm lassen sich nur qualitative Aussagen über die Lorentz-Minkowski-Geometrie machen.
