Mahte 3
MC Mathematik 3
MC Mathematik 3
Mit Hilfe des Richtungsvektorfeldes kann man eine ODE 1. Grades lösen.
Jede ODE hat ein Richtungsvektorfeld.
Zu jedem Skalar-Produkt können unendlich viele Metriken definiert wer den.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum kann durch Angabe einer Basis mit zugehöriger Gram-Matrix definiert werden.
Zwei Vektoren in einem reellen Vektorraum haben bezüglich jeder Metrik die gleiche Länge.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Winkel fest.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Längen, Flächen, Volumen bzw. Masse fest.
In jedem reellen Vektorraum kann genau eine Metrik definiert werden.
Die ODE (16) hat statische Lösungen.
Jede Lösung der ODE (16) ist monoton fallend.
Ist \(y_1(x)\) eine Lösung der ODE (16), dann ist auch \(y_2(x) := 2 · y_1\) eine Lösung.
Die Funktion \(y(x) = x+1\) ist eine Lösung der ODE (16).
Die ODE (16) ist zwar nicht linear, dafür aber separierbar.
Die ODE (16) hat den Grad 1.
Die Abkürzungen ODE und IVP kommen von den englischen Begriffen Order of Differential Equation bzw. Initial Value Problem.
Eine Differentialgleichung kann sowohl linear inhomogen als auch auto nom sein.
Ein Anfangswertproblem hat meistens unendlich viele Lösungen.
Jede Differentialgleichung hat entweder überhaupt keine oder genau eine Lösung.
Die Lösung einer Differentialgleichung, sofern überhaupt eine existiert, ist in jedem Fall eine reelle Zahl.
Differentialgleichungen spielen in der Physik eine grosse Rolle.
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(2x) \, dx\) berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine Substitution
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(x-1) \, dx\)berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine partielle Integration
Es gilt \(\int_{0}^{3} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Es gilt \(\int_{-1}^{1} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Die Dirac-Delta-Funktion $\delta(x)$ ist eine symbolische Schreibweise, welche nur als Faktor in einem Integranden sinnvoll interpretiert werden kann
Die Dirac-Delta-Funktion ist eine Funktion der Form \(\delta : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
Es gilt die Produkt-Regel \((f * g)' = f' * g + f * g'\)
Es gilt f(x)>0 und g(x)<0, dann folgt \((f * g)(x)<0\)
Es gilt \(f * g - g * f = 0 \quad \)
Die Faltung von zwei Funktionen ist eine komplexe Zahl.
Die Faltung ist für alle Paare von Funktionen \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) definiert.
Die Faltung spielt in der Signalverarbeitung eine grosse Rolle.
Es gilt \(lim_{t→∞}\dot{f}(t) = 0\).
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 5\).
Es gilt f(0) = 5.
f beschreibt eine freie, stark gedämpfte, harmonische Schwingung.
f beschreibt eine freie, gedämpfte harmonische Schwingung mit unge dämpfter Kreisfrequenz \(ω_0 = 6\).
f kann einfach mit Hilfe des Ähnlichkeitssatzes berechnet werden.
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 4\).
Es gilt \(\dot{f}(0) = 100\).
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Flashcards
Die Frequenz einer freien gedämpften harmonischen Schwingung lässt sich direkt aus der ODE ablesen.
Im Modell der freien gedämpften harmonischen Schwingungen werden äussere Anregungen vernachlässigt.
Im Modell der freien gedämpften harmonischen Schwingungen werden äussere Anregungen berücksichtigt.
Im Modell der freien gedämpften harmonischen Schwingungen wird die innere Dämpfung vernachlässigt.
Im Modell der freien gedämpften harmonischen Schwingungen wird die innere Dämpfung berücksichtigt.
Das Modell der freien gedämpften harmonischen Schwingungen spielt in der Physik eine grosse Rolle.
Es gilt det(B) = dim(ker(eB))
Ea gilt \(e^A · e^B=e^{A+B}\)
Es gilt \(e^{206·B}= e^{3·B}·e^{-3·B}\)
Es gilt \(e^{2 \cdot A} = 2 \cdot A + 1\).
\(e^{B/3}\) ist eine Drehmatrix.
A ist schiefsymmetrisch und B ist nilpotent.
Ist A diagonalisierbar, dann ist auch eA diagonalisierbar.
Ist A orthogonal, dann ist auch eA orthogonal.
Ist A singulär, dann ist auch eA singulär.
Ist A nilpotent, dann ist auch eA nilpotent.
Ist A schiefsymmetrisch, dann ist auch eA schiefsymmetrisch.
Ist A symmetrisch, dann ist auch eA symmetrisch.
Es gilt \(e^{A+B} = e^A ·e^B\)
Es gilt \(e^0 = \mathbb{1}\).
Das Matrix-Exponential wird mit Hilfe der Maclaurin-Entwicklung der natürlichen Exponentialfunktion definiert.
Das Matrix-Exponential ist für jede quadratische Matrix mit reellen oder komplexen Komponenten definiert.
Das Matrix-Exponential ist für jede Matrix mit reellen oder komplexen Komponenten definiert.
Mit Hilfe des Matrix-Exponentials können Rotationen und Lorent- Transformationen parametrisiert werden.
Die Phasenverschiebung der Lösung des IVP (60) beträgt π/4.
Die Amplitude der Lösung des IVP (60) beträgt 5.
Die Lösung des IVP (60) ist 2π-periodisch, das heisst \(x(t+2π) = x(t)\) für alle \(t ≥ t_0\).
Die Frequenz beträgt ν = 1.
Die Lösung des IVP (60) verläuft durch den Punkt (−2; 0).
Das IVP (60) beschreibt die Bewegung eines realen Feder-Pendels in der Mechanik.
Die Frequenz der Lösung des IVP (11) ist unabhängig von den IC-Parametern x0 und v0.
Die Amplitude der Lösung des IVP (11) hängt von \(\omega\) ab.
Verdoppelt man sowohl x0 als auch v0, dann verdoppelt man die Amplitude der Lösung des IVP (11).
Sind x1 und x2 Lösungen des IVP (11), dann gilt dies auch für die Funktion x3 := x2 - x1.
Ist x1 eine Lösung der ODE in (11), dann gilt dies auch für die Funktion x2 := -5 x1.
Bei freien ungedämpften harmonischen Schwingungen in der Mechanik werden Störkräfte wie Reibung und Strömungswiderstand nicht betrachtet.
Die Frequenz einer freien ungedämpften harmonischen Schwingung lässt sich direkt aus der ODE ablesen.
Im Modell der freien ungedämpften harmonischen Schwingungen werden äussere Anregungen vernachlässigt.
Im Modell der freien ungedämpften harmonischen Schwingungen werden äussere Anregungen berücksichtigt.
Im Modell der freien ungedämpften harmonischen Schwingungen wird die innere Dämpfung vernachlässigt.
