Mahte 3
MC Mathematik 3
MC Mathematik 3
Mit Hilfe des Richtungsvektorfeldes kann man eine ODE 1. Grades lösen.
Jede ODE hat ein Richtungsvektorfeld.
Zu jedem Skalar-Produkt können unendlich viele Metriken definiert wer den.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum kann durch Angabe einer Basis mit zugehöriger Gram-Matrix definiert werden.
Zwei Vektoren in einem reellen Vektorraum haben bezüglich jeder Metrik die gleiche Länge.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Winkel fest.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Längen, Flächen, Volumen bzw. Masse fest.
In jedem reellen Vektorraum kann genau eine Metrik definiert werden.
Die ODE (16) hat statische Lösungen.
Jede Lösung der ODE (16) ist monoton fallend.
Ist \(y_1(x)\) eine Lösung der ODE (16), dann ist auch \(y_2(x) := 2 · y_1\) eine Lösung.
Die Funktion \(y(x) = x+1\) ist eine Lösung der ODE (16).
Die ODE (16) ist zwar nicht linear, dafür aber separierbar.
Die ODE (16) hat den Grad 1.
Die Abkürzungen ODE und IVP kommen von den englischen Begriffen Order of Differential Equation bzw. Initial Value Problem.
Eine Differentialgleichung kann sowohl linear inhomogen als auch auto nom sein.
Ein Anfangswertproblem hat meistens unendlich viele Lösungen.
Jede Differentialgleichung hat entweder überhaupt keine oder genau eine Lösung.
Die Lösung einer Differentialgleichung, sofern überhaupt eine existiert, ist in jedem Fall eine reelle Zahl.
Differentialgleichungen spielen in der Physik eine grosse Rolle.
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(2x) \, dx\) berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine Substitution
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(x-1) \, dx\)berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine partielle Integration
Es gilt \(\int_{0}^{3} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Es gilt \(\int_{-1}^{1} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Die Dirac-Delta-Funktion $\delta(x)$ ist eine symbolische Schreibweise, welche nur als Faktor in einem Integranden sinnvoll interpretiert werden kann
Die Dirac-Delta-Funktion ist eine Funktion der Form \(\delta : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
Es gilt die Produkt-Regel \((f * g)' = f' * g + f * g'\)
Es gilt f(x)>0 und g(x)<0, dann folgt \((f * g)(x)<0\)
Es gilt \(f * g - g * f = 0 \quad \)
Die Faltung von zwei Funktionen ist eine komplexe Zahl.
Die Faltung ist für alle Paare von Funktionen \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) definiert.
Die Faltung spielt in der Signalverarbeitung eine grosse Rolle.
Es gilt \(lim_{t→∞}\dot{f}(t) = 0\).
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 5\).
Es gilt f(0) = 5.
f beschreibt eine freie, stark gedämpfte, harmonische Schwingung.
f beschreibt eine freie, gedämpfte harmonische Schwingung mit unge dämpfter Kreisfrequenz \(ω_0 = 6\).
f kann einfach mit Hilfe des Ähnlichkeitssatzes berechnet werden.
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 4\).
Es gilt \(\dot{f}(0) = 100\).
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Bei dieser Fourier-Entwicklung tritt das Gibbs-Phänomen auf.
Die Funktion x hat keine Sprung-Stellen.
Die Periode von x ist 1.
Es gilt x17(t) = x18(t) für alle t ∈ \(\mathbb{R}\).
Falls f reellwertig ist, dann gilt \(a_k, b_k ∈\mathbb{R}\) für alle \(k ∈ \mathbb{N}\)
Falls fff reellwertig ist: \(c_k=c^*_{-k}\) für alle \(k ∈\mathbb{Z}\)
In jedem Fall gilt \(c_{-k} = (a_k + ib_k)/2 \) für \(k∈\mathbb{Z}\)
In jedem Fall gilt: \(c_k = (a_k - i·b_k) / 2 für k ∈ \mathbb{N}\)
In jedem Fall gilt: \(a_k,b_k∈\mathbb{R}\) für alle \(k∈\mathbb{N}\)
In jedem Fall gilt: \(b_0=0\).
Die Fourier-Entwicklung einer periodischen Funktion \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) mit positiver Parität ist eine reine Sinus-Entwicklung.
Die Fourier-Entwicklung einer periodischen Funktion \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) mit negativer Parität ist eine reine Sinus-Entwicklung.
Jede Fourier-Reihe besteht aus unendlich vielen Summanden.
Jede periodische Funktion \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) wird durch eine Fourier-Reihe exakt dargestellt.
Jede periodische Funktion \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) hat eine Fourier-Entwicklung.
Die Idee der Fourier-Entwicklung basiert auf der Orthogonalprojektion aus der Linearen Algebra.
Es gilt: x(t) → 0 für t → ∞.
Die Anregung der Schwingung erfolgt auf der Resonanz-Frequenz.
Wegen der IC ist die Lösung des IVP trivial, d.h. x(t) = 0.
Die ODE in (53) hat genau eine stationäre Lösung.
Die ODE in (53) hat eine stationäre Lösung.
Das IVP beschreibt eine Situation mit schwacher Dämpfung.
Die Frequenz der stationären Lösung einer erzwungenen gedämpften har monischen Schwingung wird alleine durch die Anregung vorgegeben.
Im Modell der erzwungenen gedämpften harmonischen Schwingungen wer den äussere Anregungen vernachlässigt.
ImModellder erzwungenen gedämpften harmonischen Schwingungen wer den äussere Anregungen berücksichtigt.
Im Modell der erzwungenen gedämpften harmonischen Schwingungen wird die innere Dämpfung vernachlässigt.
Im Modell der erzwungenen gedämpften harmonischen Schwingungen wird die innere Dämpfung berücksichtigt.
Das Modell der erzwungenen gedämpften harmonischen Schwingungen wird fast ausschliesslich in der Mechanik eine grosse Rolle.
Für die Lösung des IVP (39) gilt: \(lim_{t → ∞} ẋ(t) = 0\)
Für die Lösung des IVP (39) gilt \(lim_{t → ∞} x(t) = 0\)
Die Lösung des IVP (39) ist periodisch.
Die Lösung des IVP (39) hat ein lokales Maximum bei t=3.
Die Lösung des IVP (39) verläuft durch den Punkt (5,−5).
Das IVP (39) beschreibt ein schwach gedämpftes System.
Gilt δ < ω0, dann oszilliert die Lösung x(t) mit der Kreisfrequenz ω0.
Gilt δ > ω0, dann oszilliert die Lösung x(t) mit der Kreisfrequenz ωd < ω0
Die Grössen δ und ω0 haben die gleiche Masseinheit.
Sind x1 und x2 Lösungen des IVP(25), dann gilt dies auch für die Funktion x3 := x2 +x1.
Ist x1 eine Lösung der ODE in (25), dann gilt dies auch für die Funktion x2 := 7x1.
Bei freien gedämpften harmonischen Schwingungen in der Mechanik wer den auch Störkräfte wie Reibung und Strömungswiderstand berücksichtigt.
