Mathedidaktik Zyklus 1

Unabhängig von Grösse, Farbe, Gewicht und anderen Eigenschaften können beliebige Elemente zusammengefasst werden. (Ein Elefant ist gleich viel wie ein Floh)

 Jedem Objekt wird genau ein Zahlwort zugeordnet

Es ist egal, in welcher Reihenfolge Objekte gezählt werden. Die Menge bleibt gleich.

Prinzip der stabilen Ordnung/Reihenfolge

Eins-zu Eins-Zuordnung

Prinzip der Irrelevanz der Reihenfolge

Abstraktionsprinzip

Kardinalität (das letzte Zahlwort gibt die Anzahl der Elemene (die Menge) an

• Zahlwörter von Eins bis zwölf
• Zahlwörter für die Zehnerzahlen: zehn, zwanzig, dreissig….
• Regel der Zahlwortbildung für Zehner/Einer-Zahlen bis 19:  dreizehn, vierzehn, fünfzehn...
• Regeln für die Zahlwortbildung ab 21: Nenne zuerst die Einerzahl, füge ein «und» ein und nenne die Zehnerzahl. EIN-UND-ZWANZIG
• Regel, dass nach dem 9. Zehner die erste Hunderterzahl kommt. Bei den Zahlen über hundert bis 109 wird zunächst die Hunderterzahl gesprochen und daran anschliessend gleich die Einerzahl, weil bei diesen Zahlen der 10er leer ist. Zwischen Hunderterzahl und Einerzahl darf ein «und» gesetzt werden.
• Für Hunderterzahlen die grösser sind als Hundertzehn gilt: zuerst wird der Hunderter genannt, anschliessend die Einerzahl und dann die Zehnerzahl. Zwischen Hunderter und Einerzahl darf ein «und» genannt werden.

Die Menge die durch eine Zahl bezeichnet wird ist unabhängig von der Beschaffenheit und Anordnung ihrer Elemente

Verständnis dafür, dass eine Zahl immer eine gleichgrosse Menge bezeichnet, unabhängig von der Beschaffenheit und Anordnung ihrer Elemente

Wenn man ein Kind bitten kann: " gib mir 4 Gummibärchen" und es das Richtige tut.

Zahlwortreihe kann zur Ermittlung der Anzahl einer Menge genutzt werden. Mit 4 Jahren Erkenntnis, dass sich das letzte genannte Zahlwort auf die Anzahl der gezählten Dinge bezieht.

String level: Zahlwortreihe als Ganzes. einszweidreivier... die einzelnen Zahlen treten noch nicht hervor.

unbreakable chain level: einzelne Zahlen der Zahlwortreihe werden klar unterschieden. Das Zählen muss aber immer bei EINS beginnen

breakable chain level: jetzt kann auch von grösseren Zahlen aus weitergezählt werden

nummerable chain level: Zählen von Zahlen, nicht nur von Objekten. Kinder können von einer Zahl bis zu einer grösseren zählen. ca. ab 7 Jahren auch rückwärts

bidirectional chain level: Kinder können problemlos und schnell vorwärts und rückwärts zählen, von jeder beliebigen Startzahl aus.

Bei jungen Kindern noch gar nichts. Später gehört das Verständnis, dass mit jedem Zahlwort die Zahl um 1 grösser wird  zum Zahlenverständnis.

Kardinales Zahlenverständnis  (MENGE)

Wissen, dass jede Zahl aus anderen Zahlen zusammengesetzt werden kann.

Für das Anzahlkonzept braucht es einerseits das Beherrschen der Zahlwortreihe / Zahlenfolge (inkl. Wissen, dass mit jedem Zahlwort die Menge umd 1 grösser wird) und andererseits die Protoquantitativen Schemata: Vergleichsschema / Zunahme-/Abnahmeschema /Teile-Ganzes-Schema.

Wird einer Teilmenge etwas hinzugefügt oder weggenommen so verändert sich auch die Gesamtmenge

Nimmt man von einer Teilmenge etwas weg und fügt es bei der zweiten Teilmenge dazu so ändert sich an der Gesamtmenge nichts.

Das Teile-Ganzes-Schema enthält das Wissen, das in jeder natürlichen Zahl alle kleineren Zahlen enthalten sind.
Eine Menge verändert sich nicht, wenn sie in zwei Teilmengen unterteilt wird.

Gleiche Elemente werden zu Gruppen von Gleichen zusammengefügt.

Schema der Mengenveränderung

Schema des Mengenvergleichs

Teile-Ganzes-Schema

Grundlegendes Wissen über Mengen. Schon lange bevor Kinder zählen oder rechnen können verfügen sie über Vorstellungen von mehr/weniger/gleich | Mengenzunahme/Mengenabnahme | Zerlegung einer Menge und Teilmengen

Im Zehnersystem entsprechen immer zehn Einer einem Zehner. Umgekehrt besteht ein Zehner aus 10 einzelnen Einern. Mit diesem Verständnis sind Nichtstandard-Zerlegungen möglich.

Unkonventionelle Zerlegung von Zahlen. Es wird nicht nur in die offensichtlichen Zehner und Einer zerlegt. Einzelne Zehner können auch als 10 Einer verstanden werden: 65 = 4 Zehner und 15 Einer 

Zweistellige Zahlen werden ausschliesslich in ganze Zehner und Einer zerlegt. Dabei bleiben alle Zehner ganz (keine Zerlegung der Zehner in Einer) 65 = 6 Zehner und 5 Einer

Verbindungsgesetz 4 x 6 = 2(2x6)

Verteilungsgesetz: 4 x 6 = 4 x 5  plus 4 x 1

Vertauschungsgesetz bei Addition und Multiplikation 4+3= 3+4 / 4x 3= 3 x 4

Verbindung von Seriation (in eine Reihenfolge bringen) und Klassifikation also Zusammenfassen aller gezählten Dinge (das Gezähltsein ist hier das herausragende Merkmal, nachdem die Klasse gemacht wird.)

Reihenbildunng vom Kleinsten zum Grössten, von hell nach dunkel

Objekte nach gemeinsamen Merkmalen ordnen und in Klassen zusammenfassen (alle mit drei Ecken, vier Ecken...)

1. Bedeutung der Werte der einzelnen Ziffern kennen

2. Bedeutung der Position einer Ziffer muss klar sein

3. Multiplikative Struktur des Stellenwertsystem verstehen: 2345 = 2 x 1000, 3 x 100, 4 x 10, 5 x 1

4. Additive Struktur verstehen: 435= 4 x 100 PLUS 3 x 10 PLUS 5 x 1

Jede beliebige Zusammenstellung von Ziffern bildet eine eindeutige Zahl ab.

Ich habe drei Reihen mit je 7 Schülern im Schulzimmer

Multiplizieren zeitlich gesehen: ich gehe 4 x in den Keller und hole mir je drei Flaschen Wein

Intramodaler Transfer: innerhalb einer Darstellungform wechseln können. Also bspw. sehen, dass 3 x 4 Plättchen in Gruppen genau so viel sind wie 3 x 4 Plättchen in Reihen.

Intermodal bedeutet zwischen den drei Darstellungsformen von Aufgaben wechseln. (Zahl/Sachaufgabe/Bildliche Darstellung)

Ein Umdenken ist möglich vom Symbol (geschriebene Zahl) zur Darstellung mit Plättli (Objekten) - zur Darstellung als Sachaufgaben (Hansli hat drei Äpfel und isst einen, wieviele hat er jetzt noch?)

Verteilen einer Menge an eine bestimmte Anzahl von Personen oder

Aufteilen einer Menge in eine festgelegte Anzahl gleichgrosser Portionen

mehrfach die gleiche Menge dazuzählen. 

Abziehen/Wegnehmen, Ergänzen: Ich suche die zweite Teilmenge /den anderen/fehlenden Teil des Ganzen