Psychometrie

\(\frac{P(a,b)}{1 - P(a,b)} \circ \frac{P(b,c)}{1 - P(b,c)}=\frac{P(a,c)}{1 - P(a,c)}\)

Sowohl notwendige als auch hinreichende Bedingung für die Repräsentationsbedingung.

Bei der Berechnung der Item-Trennschärfe wird das Item aus der Berechnung exkludiert. So kann die Korrelation eines Items mit dem Test ohne den Bias des Items selbst erhalten werden (dieses würde ansonsten stark mit sich selbst korrelieren und so verzerren.)

Ohne würde die Trennschärfe überschätzt werden.

\(P(Uij = uij |\theta i ,\varepsilon j, δj ) = \frac{\exp\big(uij*δj*(\theta i - \varepsilon j \big)}{1 + \exp\big(δj(\theta i - \varepsilon j)\big)}\)

\(Ij (\theta i) = \frac{δ²j\exp\big[(δj*(\theta i - \varepsilon j )\big]}{\big[ 1 +\exp(δj(\theta i - \varepsilon j))\big]²}\)\(I(\theta) = \sum_{j=1}^{n} I_j(\theta)\)

\(P(Uij = uij |\theta i ,\varepsilon j, δj, \gamma j) = uij * \gamma j + (1 - \gamma j)* \frac{\exp\big(uij*δj*(\theta i - \varepsilon j \big)}{1 + \exp\big(δj(\theta i - \varepsilon j)\big)}\)

\(Ij (\theta i) = \frac{\exp(\theta i - \varepsilon j )}{\big[ 1 +\exp(\theta i - \varepsilon j)\big]²}\)\(I(\theta) = \sum_{j=1}^{m} I_j(\theta)\)

\(\hat{\theta} \pm \frac{z_{1-\alpha/2}}{\sqrt{I(\hat{\theta})}}\)

ML-Schätzer sind asymptotisch normalverteilt. 

Info ist die des gesamten Tests, Z-Wert in den meisten Fällen 1,96

Für Aufgaben werden Skills benötigt. 

Es gibt klar definierte Skills (z.B.  μ(a) = {{s,t}, {s, u}})

Dies bedeutet, dass um Aufgabe a zu lösen die Skills s und t oder s und u vorhanden sein müssen.

Ein Schüler über die Skills t und u aus S = {s,t,u} verfügt, könnte dementsprechend a nicht lösen, das sich 

aus t und u weder die Kombination s,t noch s,u bilden lassen. 

Die Problem Function ordnet jeder Aufgabe die Menge der Skills zu, die man besitzen muss, um diese Aufgabe lösen zu können.

p:Q→2^S

„Welche Fähigkeiten stecken hinter einer Aufgabe?“

• Q = Aufgabenmenge

• SSS = Skillmenge

• p(q)p(q)p(q) = benötigte Skills für Aufgabe qqq

Da p(a,x) kleiner wird, wenn ξ größer wird, definiert dieses die Aufgabenschwierigkeit. Theta ist die Fähigkeit.

Sie werden beide auf einer gemeinsamen Verhältnisskala gemessen, da das Verhältnis invariant unter Transformation mit einer reelen Konstante s größer Null ist. 

\(\wedge =\frac{Ltotal}{L1 * L2}\)

Bei auftretendem DIF wird die Schätzung des Personenparameters für eine Teilstichprobe über- und für die andere unterschätzt. (Verzerrung)

So werden nicht vorhandene Effekte gewahr und vorhandene verdeckt.

Er ist als ML-Schätzer asymptotisch normalverteilt.

Die Differenzen der Schwellenparameter müssen über die Items hinweg nicht gleich groß sein.

\(Freie Parameter= Itemzahl*(Antwortkategorien-1)-1\)

η zeigt an, dass geraten wurde. (1 - η) = Nicht gewusst und falsch

β zeigt einen Flüchtigkeitsfehler an. (1- β) = Gewusst und richtig

Die Wahrscheinlichkeiten werden multipliziert, da stochastische Unabhängigkeit gilt.

Schwache Ordnung

Schwache Assoziativität

Monotonie

Positivität

Archimedisches Axiom

Lösbarkeit

Wenn beide φ': X --> IR sind, gibt es eine reele Konstante p > 0 und q, r, sodass:

φ'(a) = p * φ(a) + q

φ'(x) = p * φ(x) + r 

Es resultieren unterschiedliche Intervallskalen

Besonders sensitiv für unerwartete Häufigkeiten bei Aufgaben, die für die Personen zu einfach oder schwer sind.

1 guter Fit

<1 overfit

>1 underfit

Für unerwartete Häufigkeiten bei Aufgaben, deren Schwierigkeiten nahe an den Personenfähigkeiten liegen.

Erwartungswert 1

<1 Overfit

>1 Underfit

Die Summe korrekt gelöster Aufgaben bildet die suffiziente Statistik für den Personenparameter θ.

Diese ist nicht von den Aufgabenparametern abhängig. 

\(Ti = (t (Ui1, ... Uin) = ∑ Uij ( i = 1, ..., m)\)

n & j =1 beim Summenzeichen

Auch hier existiert eine minimal suffiziente Statistik für θ (\(∑ δj uij\))

Sie enthält jedoch die Trennschärfe und ist somit nicht unabhängig von den Aufgabenparametern.

Manche Schätzverfahren können deshalb nicht angewandt werden.

Die Reduktion der Daten ohne Informationsverlust bezüglich der Schätzung des Parameters. 

Anzahl gelöster Aufgaben.

Eine Statistik Tn = tn (x₁...x₂) ist genau dann suffizient für den Parameter ϑ, wenn zwei nicht negative Funktionen g und h existieren, sodass für die Likelihood gilt:

\(L(x1, ..., xn| ϑ) = g(tn(x1...xn)|ϑ) *h(x1,...,xn) \)

wobei g nur von den Daten abhängt und h unabhängig von ϑ ist.

1. Die Summenstatistik ist nur in der LTT suffizient. In der KTT wird dies fälschlicherweise impliziert.
2. In der LTT ist die suffiziente Summenstatistik unabhängig von den Aufgabenparametern. In der KTT nicht so. 
3. In der LTT ist die suffiziente Summenstatistik nur ein Hinweis auf den Personenparameter. In der KTT bestimmt sie die Fähigkeit.

Es werden Verteilungsannahmen über die Personenparameter gemacht (meist Normalverteilung).

Dadurch kann der Aufgabenparameter unabhängig von den Personenparametern geschätzt werden.

Dann kann über die Personenparameter integriert werden und die Aufgabenparameter in der Randverteilung geschätzt werden, wo keine einzelnen Personenparameter mehr enthalten sind.

Die statistischen Eigenschaften der Schätzer hängen stark von der Gültigkeit der gemachten a-priori Verteilungsannahme der Personenparameter ab.

τ : Charakterisierung der Kategoriengrenzen relativ zur Aufgabenschwierigkeit

θ: Personenfähigkeit

ε: Beitrag der Aufgabe ("Schwierigkeit")

Y: Zufallsvariable

r: Anzahl der Kategoriengrenzen

k: Anzahl der Kategorien

Anzahl der Items + (r -1)

Ist die Menge X eines ausbalancierten, probabilistischen Paarvergleichssystems <a, x> endlich, so existiert eine Abbildung φ: x -> IR, sodass für alle a, b enthalten in X gilt:

\(p(a,b) \geq p(b, a) gdw. p (a) \geq p (b)\)

Ist es, denn:

\(\frac{φ(a)}{φ(a)+φ(b)} \geq \frac{φ(b)}{φ(b)+φ(a)} | * (φ(a)+φ(b))\)

\(= φ(a) \geq φ(b)\)

Keine, da die Aussage mit Exponentialfunktion erst in das multiplikative Raschmodell überführt werden muss, damit der Wahrheitswert beurteilt werden kann.

Eine Darstellung der relativen Lösungshäufigkeiten in den durch die Summenstatistik definierten Teilstichproben.

Overfit:

wMNSQ-Wert ist kleiner 1 

--> Zu hohe Diskrimination, da Kurve steiler als Modellkurve.

Zu wenig Variation.

Underfit:

wMNSQ-Wert größer 1

--> Flacher als Modellkurve, da zu viel Variation

Ein guter Wert ist 1 --> guter Fit

Ein probabilistisches Paarvergleichssystem <A,x,P> ist genau dann raschskalierbar, wenn für alle a,b enthalten in A & x, y enthalten in X gilt:

\(\frac{\frac{P(a, x)}{1 - P(a, x)}}{\frac{P(b, x)}{1 - P(b, x)}} = \frac{\frac{P(a, y)}{1 - P(a, y)}}{\frac{P(b, y)}{1 - P(b, y)}}\)

Die Multiplikationsbedingung sagt aus, dass das Verhältnis der Wettchancen unabhängig von der für den Vergleich der Person gewählten Aufgabe ist.

Personen lassen sich unabhängig von Aufgaben vergleichen und anders herum.

Eine an den bisherigen Antworten der Person orientierte Vogabe einer Teilmenge der Aufgaben.

Nur in der LTT ist die Testaufgabe vom Rest des Tests losgelöst betrachtbar (Primitivum Test vs. Aufgabe). Die Aufgaben und Parameter sind durch die suffiziente Summenstatistik nämlich trennbar.

Durch die Stichprobenunabhängigkeit der Parameter in den LTT-Modellen ist so eine Vergleichbarkeit der Ergebnisse trotz anderer präsentierter Aufgaben möglich.

In der KTT gibt es keine lokale stochastische Unabhängigkeit und Theta und Epsilon sind nicht trennbar (Primitivum Test!).

1. Die Personenstichprobe wird (zumeist am Median) geteilt.
2. Es werden in den Substichproben bedingte ML-Schätzungen der AP vorgenommen.
3. Die resultierenden Schätzwerte werden dann für jede Aufgabe gegeneinander abgetragen.
4. Bei geltendem Raschmodell sollten die Werte auf der Winkelhalbierenden liegen.
5. Falls resultierende Konfidenzellipsen die Winkelhalbierende nicht schneiden, verletzen diejenigen Items die Stichprobenunabhängigkeit und somit auch die Annahmen des Raschmodells.

Wenn nur maximale Information als Selektionkriterium gilt, dann werden manche Aufgaben sehr häufig und manche sehr wenig präsentiert. (Bspw. die Anfangsaufgaben für mittlere Fähigkeit)

Dies untergräbt die Testökonomik und ist insofern problematisch, als dass die Aufgaben besser gelernt werden können.

Lösungansätze:

1. Einführen einer Zufallsvariable für die Aufgabenpräsentation
2. Einführen eines Parameters zur Kontrolle der Vorgaberate
3. Kombination aus 1 & 2