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Cartes-fiches
Was bedeutet Simulation?
Unter einer Simulation versteht man das Experimentieren an Modellen, die der Wirklichkeit entsprechen, um Erkenntnisse zu erlangen, die auf die Realität übertragbar sind. Es können Prognosen über das Verhalten des simulierten Systems getroffen werden.
Was ist Strömungssimulation:
Strömungssimulation (CFD = Computational Fluid Dynamics) ist ein Verfahren, um das Verhalten von Fluiden mithilfe von Computern vorherzusagen. Man löst zugrundeliegende physikalische Gesetze (Erhaltungsgleichungen) durch numerische Verfahren und macht somit eine Prognose über das Verhalten eines Systems, ohne echte Versuche durchzuführen.
Was sind die grundlegenden Schritte einer Strömungssimulation?
- Mathematische Modelle aufstellen: Strömungen werden durch physikalische Gesetze (Erhaltungsgleichungen) beschrieben
- Weitere Modelle (Turbulenzen etc.) anwenden
- Gleichungen lösen: Lösen der Erhaltungsgleichungen (Masse, Impuls, optional weitere). Die komplexen Gleichungen werden in kleine, lösbare Teile zerlegt (Diskretisierung) und dann schrittweise (iterativ) gelöst
- Ergebnisse auswerten: Berechnete Daten zielgerichtet ausgewertet und visualisiert, um Strömungsverhalten zu verstehen
Vor- und Nachteile einer Simulation gegenüber Versuchen?
Vorteile: oft billiger/schneller/einfacher als Messungen; kann Experimente ersetzen, die zu gefährlich/teuer/unethisch wären; liefert Ergebnisse in der Entwicklungsphase; Optimierungsstudien möglich; Vollständige Daten über gesamtes Strömungsfeldes; reproduzierbare Randbedingungen, reale Größe simulierbar -> keine Skalierungsfehler
Nachteile: basiert auf empirischen Werten und idealisierten Annahmen; Numerische Fehler; Hardware-Grenzen des Computers -> Rechenzeit; Qualifikation des Bedieners; kein gleichwertiger Versuchsersatz in gewissen Gebieten (Akzeptanz)
Welche Beispiele gibt es für Strömungssimulation?
Umströmung eines Fahrzeugs, Verbrennungssimulation Kolbenmotor, Tragflügel Flugzeug, Fußball, Medizintechnik, Vermischungsaufgaben, Turbinen, Windkraft, Boot
Welches physikalische Prinzip liegt der Vorgehensweise bei der Herleitung der fundamentalen Gleichungen der Strömungsmechanik zu Grunde?
Das zugrundeliegende physikalische Prinzip ist das Erhaltungsprinzip einer physikalischen Größe. Wir betrachten dabei die zeitliche Änderung einer Erhaltungsgröße X in einem Bilanzraum.
Änderungsrate der Größe = Transport in das Volumen – Transport aus dem Volumen + Quellen und Senken im Volumen
Welche Erhaltungsgrößen gibt es?
Masse, Impuls (in alle Raumrichtungen), Energie, Stoffmenge (bei Mehrkomponentenströmungen)
Was sind interessante Zustandsgrößen in der Strömungsmechanik?
Dichte, Geschwindigkeit (u, v, w), Druck, Temperatur, Stoffkonzentration
Aus welchen Einzelbeträgen setzt sich die zeitliche Änderung einer Erhaltungsgröße in einem Kontrollraum zusammen?
Änderungsrate der Größe = Stofftransport ein – Stofftransport aus + Molekulartransport ein – Molekulartransport aus + Quellen und Senken + größenabhängige Wirkung
Strömungstransport: Konvektiv, Menge der Größe, die durch die Strömung in das Kontrollvolumen hinein- und herausgetragen wird
Molekularer Transport: Diffusiv, Transport durch die Oberfläche des Kontrollvolumens, z.B. Wärmeleitung
Quelle und Senken: Terme die eine Erzeugung (Quelle) oder Vernichtung (Senke) innerhalb des Volumens beschreiben, z.B. Wärmeerzeugung durch chemische Reaktion
Größenabhängige Wirkung: Umfasst weitere, auf das Volumen wirkende Effekte
Was ist eine Divergenz?
Sie ist ein Maß dafür, wie stark ein Vektorfeld an einem bestimmten Punkt eine Quelle oder Senke ist. Sie wird als Quelldichte oder Ergiebigkeit bezeichnet und gibt an, wie viel mehr aus der direkten Umgebung eines Punktes hinausfließt als hineinfließt.
Positive Divergenz: Punkt ist eine Quelle, mehr heraus als hinein. Wasserquelle
Negative Divergenz: Punkt ist eine Senke, mehr hinein als heraus. Abfluss Waschbecken
Divergenz von 0: Quellfrei, genauso viel hinein wie heraus
Was ist ein Gradient?
Ein Gradient ist ein Vektor, der die Richtung des steilsten Anstiegs eines Skalarfeldes an einem bestimmten Punkt angibt. Beschreibt die Antriebskräfte, die eine Strömung oder Wärmetransport verursachen (Druckgradient und Temperaturgradient). Verständnis warum sich ein Fluid bewegt oder abkühlt.
Eigenschaften:
Richtung: Der Gradientenvektor an einem Punkt zeigt immer in die Richtung, in die du gehen müsstest, um steilsten Anstieg zu erleben
Betrag: Die Länge (der Betrag) des Vektors gibt an, wie steil der Anstieg an diesem Punkt ist
Orthogonalität: Der Gradient steht immer senkrecht auf den Höhenlinien
Vektor- Tensornotation erklären (Indexschreibweise)
Kurzschrift für lange und komplexe Gleichungen der Strömungsmechanik. Stellt Gleichungen übersichtlich dar und es ist einfacher damit zu arbeiten.
Grundregeln:
- Ui steht für den kompletten Vektor, die Komponenten sind demnach u1, u2, u3
- Tensoren haben zwei Indizes, Tij, erster ist die Orientierung der Fläche und der zweite die Richtung der Komponenten
- Einstein’sche Summenkonvention: Kommt ein Index zwei Mal vor, wird automatisch über alle drei Raumrichtungen summiert
- Dyadisches (tensorielles) Produkt: Produkt zweier Vektoren = Tensor 2. Stufe (bei Tensorschreibweise mit Multiplikationszeichen)
- Kronecker-Tensor: Einheitstensor
Was ist die grundlegende Idee und Vorgehensweise bei einer Diskretisierung?
Grundlegende Idee ist, ein unendliches Problem in eine endliche Anzahl von abgeschlossenen, lösbaren (diskreten) Teilsystemen zu zerlegen, damit diese der Computer berechnen kann. Strömungsfeld ist ein Kontinuum und muss in einzelne Stücke (Diskretisierung) zerlegt werden für die Berechnung.
Räumliche Diskretisierung: Strömungsgebiet wird in eine endliche Anzahl abgeschlossener Elemente zerlegt. -> Ergebnis ist Berechnungsgitter oder Rechennetz. Gesuchte Größen werden nicht mehr überall, sondern an diskreten Punkten berechnet
Zeitliche Diskretisierung: bei instationären Problemen wird der betrachtete Zeitraum in einzelne, diskrete Zeitschritte unterteilt. Berechnung erfolgt nicht kontinuierlich, sondern springt von einem Zeitpunkt zum nächsten
- Am Ende hat man die Lösungen nur an bestimmten Orten zu bestimmten Zeiten
Was sind turbulente Strömungen und wie entstehen sie?
Turbulente Strömungen sind komplexe, chaotische Fluidbewegungen, für die es keine Definition und keine einheitliche Theorie gibt. Sie lassen sich anhand von charakteristischen Eigenschaften beschreiben.
Turbulenzen entstehen, wenn eine Strömung instabil wird. Das passiert durch eine ausreichend hohe Reynolds-Zahl (Rekrit). Vereinfacht gesagt entstehen Turbulenzen aufgrund übermäßiger Scherung, wo der Geschwindigkeitsgradient hoch ist (z.B. an einer Wand oder Freistrahl), dann wird die Strömung instabil und kippt, sie wechselt von reibungsdominiert in trägheitsdominiert
Welche Charakteristika zeigen turbulente Strömungen?
- Unregelmäßig: alle Strömungsgrößen schwanken chaotisch und zufällig in Raum und Zeit
- Mischungsintensiv: führen zu einer starken Vermischung, was den Transport von Impuls, Wärme und Stoffen deutlich erhöht
- Dreidimensional: Turbulenz ist immer ein räumliches Phänomen
- Instationär: sind zeitlich veränderlich und umfassen ein breites Spektrum an Zeitskalen
- Drehbehaftet: sind durch eine Vielzahl von miteinander interagierenden Wirbeln gekennzeichnet (Strecken der Wirbel = Energietransfer)
- Dissipativ: kinetische Energie der Turbulenz wird durch viskose Reibung durchgehend in innere Energie umgewandelt -> Turbulenzschwankungen werden schnell kleiner
- Höhere Reibungsverluste: Durch vertikale Schubspannungen wird mehr Energie benötigt
Was interessiert den Ingenieur an der Turbulenz?
Sie ist interessant, weil sie in den meisten technischen Anwendungen vorgefunden wird. Sie hat massiv technische Auswirkungen auf die Funktion und Effizienz von Maschinen und Prozessen. Die Effekte können vorteilhaft und nachteilig sein.
Vorteilhaft: Bessere Wärme- und Stoffübertragung, Effizientere Vermischung
Negativ: Höhere Druckverluste durch mehr innere Reibung, Geräuschemission (Lärm)
Warum braucht man Turbulenzmodelle und worum handelt es sich dabei?
Turbulenzmodelle sind eine notwendige Vereinfachung, um turbulente Strömungen in einem realistischen Zeit- und Kostenrahmen am Computer berechnen zu können. Dafür gibt es 2 Hauptgründe:
1. Der Aufwand einer exakten Simulation ist zu hoch: Eine direkte numerische Simulation (DNS), die alle turbulenten Wirbel auflöst, würde selbst einfache technische Probleme eine extreme Rechenleistung und immense Rechenzeiten erfordern, was sie für den Alltag unmöglich macht.
2. Das Schließungsproblem der Turbulenz: Um den Rechenaufwand zu reduzieren, mittelt man die Strömungsgleichungen über die Zeit (RANS-Verfahren). Durch diesen Mittelungsprozess entstehen jedoch neue, unbekannte Terme in den Gleichungen – die Reynolds-Spannungen. Man hat am Ende also mehr Unbekannte als Gleichungen, was das System mathematisch unlösbar macht. Als Folge müssen Modelle zur Beschreibung formuliert werden, sodass Anzahl der Unbekannte = Anzahl Gleichungen ist.
Statistische Behandlung der Turbulenz und Schließungsproblem erklären
Statistische Behandlung:
Für die meisten technischen Anwendungen sind die Vielfalt der Informationen aus den turbulenten Schwankungen nicht von Interesse, zeitliche Mittelwerte reichen für die Berechnung wichtiger Strömungsgrößen. Die Reynolds-Mittelung zerlegt jede Strömungsgröße in einen zeitlichen Mittelwert und einen Schwankungsanteil. Diese zerlegten Größen werden in die NST eingesetzt und anschließend wird die gesamte Gleichung zeitlich gemittelt.
Ziel ist es die teure direkte Berechnung zu umgehen und mit Gleichungen für die Mittelwerte zu rechnen.
Das Schließungsproblem:
Um den Rechenaufwand zu reduzieren, mittelt man die Strömungsgleichungen über die Zeit (RANS-Verfahren). Durch diesen Mittelungsprozess entstehen jedoch neue, unbekannte Terme in den Gleichungen – die Reynolds-Spannungen. Man hat am Ende also mehr Unbekannte als Gleichungen, was das System mathematisch unlösbar macht. Als Folge müssen Modelle zur Beschreibung formuliert werden, sodass Anzahl der Unbekannte = Anzahl Gleichungen ist.
Darstellung verschiedener Turbulenzmodelle
Drei Hauptansätze zur Behandlung von Turbulenz:
- DNS (direkte numerische Simulation): exaktester Ansatz. alle turbulenten Wirbel werden direkt berechnet, kein Modell notwendig -> hohe Rechenzeit (nur für Forschung und 2D)
- LES (Large Eddy Simulation): Ein Kompromiss. Die großen, energiereichen Wirbel werden direkt berechnet, kleine Wirbel werden modelliert -> immer noch rechenintensiv und instationär
- RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes): pragmatischer Ansatz für die Industrie. Alle turbulenten Schwankungen werden modelliert, nur zeitlich gemittelte Gleichungen werden gelöst -> geringster Rechenaufwand und Standard, aber Informationsverlust
Familie der RANS:
Kernfrage: Wie werden die unbekannten Reynolds-Spannungen gelöst?
- Reynolds-Spannungs-Modelle:
- Idee: Lösen 6 zusätzlicher, komplexer Transportgleichungen direkt für die Reynolds-Spannungen
- Vorteil: sehr genau, da Anisotropie der Turbulenz direkt erfasst wird
- Nachteil: Hoher Rechenaufwand (RANS), kann numerisch instabil werden
- Für komplexe Strömungsformen, z.B. stark verdrallte Strömungen
- Wirbelviskositäts-Modelle (Boussinesq-Ansatz):
- Idee: Massive Vereinfachung. Wirkung der Turbulenz wird durch eine künstliche „turbulente Viskosität“ beschrieben. Man reduziert das Problem von 6 unbekannten Spannungen auf nur eine unbekannte skalare Größe.
- Nachteil: weniger physikalisch exakt, Turbulenz wird als isotrop angenommen, was nicht oft der Fall ist
- Vorteil: Spart enorm Rechenzeit
- Unterteilung nach Anzahl der Transportgleichungen zur Lösung der turb. Viskosität:
- Null-Gleichungs-Modelle: Bestimmen von mü aus rein algebraischen Formeln (z.B. Mischungswegmodell). Sehr schnell, aber wenig allgemeingültug
- Ein-Gleichungs-Modelle: Lösen eine Transportgleichung, halbempirische Gleichung für das Geschwindigkeitsmaß der Turbulenz. Längenmaß weiterhin algebraisch
- Zwei-Gleichungs-Modelle: „Sweet-Spot“ für viele Anwendungen. Lösen von zwei Transportgleichungen, meist für Geschwindigkeits- als auch Längenmaß der Turbulenz (z.B k-epslion oder k-omega)
Turbulente Wandbehandlung
Problem: In Wandnähe versagen Standard-Turbulenzmodelle (k-epsilon) aufgrund von extremen Geschwindigkeitsgradienten und die Anisotropie der Strömung. Es ist existiert außerdem eine viskose Unterschicht, in der turbulente Schwankungen vernachlässigt werden können. Eine direkte Auflösung wäre sehr rechenaufwändig.
1. Wandfunktionen (High-Re-Ansatz)
- Idee: Die Wandnähe wird mit einer Formel (logarithmisches Wandgesetz) überbrückt
- Vorraussetzung: Erste Zelle muss im Bereich 30 < y+ < 300 liegen
- Vorteil: schnell & kostengünstig
- Nachteil: Ungenau bei z.B. Strömungsablösung, niedrigen Re-Zahlen
2. Ansatz Low-Re-Modelle
- Idee: Die wandnahe Schicht wird durch ein sehr feines Netz komplett aufgelöst
- Vorraussetzung: Erste Zelle muss bei y+ < 1 liegen
- Vorteil: sehr genau, vor allem bei Phänomen wie laminar-turbulenter Umschlag
- Nachteil: rechenaufwändig
- Es gibt Ansätze, die beide Funktionen automatisch verbinden
Klassifikation von linearen partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung und deren Eigenschaften.
Elliptische Gleichungen: (Gleichgewichts-Probleme)
- Informationsausbreitung unendlich schnell in alle Richtungen
- Der Wert an einem beliebigen Punkt P beeinflusst alle anderen Punkte im Gebiet und wird gleichzeitig von allen anderen Punkten beeinflusst
- Es sind ausschließlich Randbedingungen benötigt
- Beispiel: Stationäre Wärmeleitung (Laplace-Gleichung)
Parabolische Gleichungen: (Mischung aus Gleichgewichts- und Forschreitendes-Problem)
- Informationen breiten sich in eine Richtung fortschreitend (z.B. mit der Zeit) mit endlicher Geschwindigkeit aus
- In den anderen (räumlichen) Richtungen breitet sich die Information unendlich schnell aus
- Es werden Anfangsbedingungen und Randbedingungen benötigt
- Beispiel: Instationäre Wärmeleitung in einem Stab, Überschallströmung an einer Wand
Hyperbolische Gleichung: (Fortschreitendes Problem)
- Informationen breiten sich in alle Dimensionen mit endlicher Geschwindigkeit aus
- Der Zustand an einem Punkt P hängt nur von einem begrenzten „Abhängigkeitsbereich“ aus der „Vergangenheit“ ab. Störungen wirken nur stromabwärts
- Es werden Anfangs- und Randbedingungen benötigt
- Beispiel: Wellengleichung oder reibungsfreie Überschallströmung (Laval-Düse)
Was ist der Unterschied von Gleichgewichts-Physik und fortschreitender Physik?
Gleichgewichts-Probleme:
- Stationäre Zustände, bei denen sich nichts mehr zeitlich ändert, „eingefroren“
- Informationsausbreitung: Eine Störung an einem beliebigen Punkt im Gebiet wirkt sich unendlich schnell und in alle Richtungen auf das gesamte Gebiet aus. Der Zustand von jedem Punkt hängt also von allen anderen Punkten ab.
- Es ist ein Randwertproblem, es werden zur Lösung alle Randbedingungen benötigt
Fortschreitende Probleme:
- Beschreibt Prozesse, die sich in eine bestimmte Richtung entwickeln – meisten in der Zeit. Die Lösung schreitet voran oder marschiert
- Informationsausbreitung: Informationen breiten sich nur in eine Richtung (z.B. in die Zukunft) mit einer endlichen Geschwindigkeit aus. Die Zukunft hat keinen Einfluss auf die Vergangenheit
- Es ist ein gemischtes Rand- und Anfangswertproblem, man benötigt also einen Startpunkt und zusätzliche Randbedingungen, die den Prozess räumlich einordnen
Wie können Differentialgleichungen diskretisiert werden?
DGLs werden diskretisiert, indem man die kontinuierlichen Ableitungen durch algebraische Näherungen ersetzt. In der Finiten Differenzen Methode basiert die Herleitung der Formeln auf der Taylorreihenentwicklung
Vorgehensweise:
- Taylor-Reihe aufstellen: Eine Funktion am Nachbarpunkt (i+1) wird durch eine Taylor-Reihe am Punkt (i) ausgedrückt
- Nach Ableitungen umstellen: Die Formel wird nach der gesuchten Ableitung umgestellt
- Abbrechen: Man vernachlässigt die Terme höherer Ordnung. Dies macht die exakte Formel zu einer Näherung und erzeugt einen Abbruchfehler
Was ist eine Vorwärts-, Rückwärts- und Zentraldifferenz? Wie werden diese gebildet?
Vorwärtsdifferenz (VDS):
- Was ist das? Näherung für die Steigung am Punkt i, die den Wert am aktuellen Punkt i und den nächsten Punkt i+1 verwendet
- Wie wird sie gebildet? Sie ergibt sich aus der Taylor-Reihe für den Punkt i+1 und hat die Formel: (i+1-i)/deltax
- Genauigkeit: Approximation 1. Ordnung, bedeutet der Abbruchfehler ist proportional zum Gitterabstand deltaX
Rückwärtsdifferenz (RDS):
- Was ist das? Näherung für die Steigung am Punkt i, die den Wert am aktuellen Punkt i und den vorherigen Punkt i-1 verwendet
- Wie wird sie gebildet? Sie ergibt sich aus der Taylor-Reihe für den Punkt i-1 und hat die Formel: (i – i-1)/deltax
- Genauigkeit: ebenfalls Approximation 1. Ordnung
Zentraldifferenz (ZDS):
- Was ist das? Näherung für die Steigung am Punkt i, die die Werte der beiden benachbarten Punkte i+1 und i-1 verwendet
- Wie wird sie gebildet? Sie ergibt sich durch eine Kombination der Taylor-Reihen für die Punkte i+1 und i-1 und hat die Formel: (i+1 – i-1)/2*deltaX
- Genauigkeit: Approximation 2.Ordnung, damit in der Regel genauer als VDS/RDS
Wie wird die 2. Ableitung typischerweise approximiert?
Häufig wird für die 2. Ableitung die Zentraldifferenz für innere und äußere Ableitung angewendet, wegen der höheren Fehlerordnung. Die zweite Ableitung wird als Differenz der ersten Ableitungen an gedachten Hilfspunkten betrachtet. Die ersten Ableitungen an den Hilfspunkten werden ihrerseits über eine Zentraldifferenz über die benachbarten Punkte approximiert.
- Zentraldifferenz zwei Mal anwenden
- Die 2. Ableitung der Zentraldifferenz ist ebenfalls eine Approximation 2. Ordnung
- Man brauch mindestens drei Stützstellen für die Bildung einer zweiten Ableitung
Welche Arten von Randbedingungen gibt es und wie werden diese berücksichtigt?
Es gibt drei Hauptarten von Randbedingungen, die beschreiben, wie das Berechnungsgebiet mit einer Umgebung interagiert.
1. Art (Diriclet): Hier wird der Wert der Funktion direkt am Rand vorgegeben.
Beispiel: Festgelegte Temperatur an einer Wand
In FD: am einfachsten, Wert des Gitterknotens am Rand wird auf den vorgegebenen Wert gesetzt
2. Art (Neumann): Hier wird der Wert der ersten Ableitung (Gradient) senkrecht zum Rand vorgegeben
Beispiel: Ein festgelegter Wärmestrom durch eine Wand, da dieser proportional zum Temperaturgradienten ist
In FD: komplizierter, am Rand muss eine einseitige Differenzenformel (Vorwärts- oder Rückwärtsdifferenz) verwendet werden, um Ableitung zu approximieren. Führt zu einer algebraischen Gleichung für den Randknoten
3. Art (Cauchy): Hier wird eine Kombination aus Funktionswert und erster Ableitung vorgegeben
Beispiel: Vorgabe des Wärmeübergangskoeffizienten, da dieser von der Temperaturdifferenz zur Umgebung und dem Wärmestrom abhängt
In FD: selbe wie 2. Art
Was ist die Fehlerordnung einer Differenzen-Approximation?
Die Fehlerordnung gibt an, wie schnell der Abbruchfehler einer Finiten-Differenzen-Approximation kleiner wird, wenn man den Gitterabstand deltaX verkleinert. Die Fehlerordnung ist der Exponent, mit dem der Gitterabstand im führenden Term des Abbruchfehlers auftritt. Abbruchfehler = Terme höherer Ordnung bei Taylor-Reihe vernachlässigt.
1. Ordnung -> Bei Halbierung von deltaX halbiert sich der Fehler
2. Ordnung -> Bei Halbierung von deltaX viertelt sich der Fehler
Was bedeutet Beschränktheit einer Lösung?
Es bedeutet, dass die berechneten Werte physikalisch sinnvoll bleiben und nicht über die vorgegebenen Randwerte hinausschießen, besonders wenn keine Quellen und Senken im System existieren.
Wärmeleitung: Die Temperatur im Inneren darf nicht höher als die höchste Randtemperatur oder niedriger als die niedrigste Randtemperatur sein.
Wie können die diskretisierten Gleichungen gelöst werden?
Die diskreten Gleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem, zur Lösung gibt es zwei Hauptansätze:
Direkte Lösungsverfahren:
- Idee: Das LGS wird durch eine feste Anzahl von Rechenschritten exakt gelöst (abgesehen von Rundungsfehlern)
- Beispiel: Gauß-Elemination. Koeffizientenmatrix wird in eine Dreiecksform gebracht und dann durch Rückwärtseinsetzen gelöst
- Nachteil: Sehr hoher Rechenaufwand (n^3) und großer Speicherbedarf. Unwirtschaftlich in CFD
Iterative Lösungsverfahren:
- Idee: Man startet mit einer Schätzung für die Lösung und verbessert diese schrittweise (Iteration für Iteration), bis die Änderung hinreichend klein ist (Konvergenz)
- Beispiel: Gauß-Seidel-Methode: Gleichungen werden nacheinander nach der jeweiligen Unbekannten aufgelöst, wobei die aktuellen verfügbaren Werte der Nachbarn verwendet werden
- Vorteil: Rechenaufwand pro Iteration ist gering, braucht deutlich weniger Rechenzeit insgesamt als beim direkten Verfahren, besonders bei dünn besetzten Matrizen wie in der CFD üblich. Speicherbedarf auch viel geringer.
- Nachteil: Die Konvergenz ist nicht immer garantiert
Welche Vor- und Nachteile hat eine (Über-/Unter-)Relaxation?
Unterrelaxation:
- Vorteile: Stabilisierung, kann ein instabiles Verfahren (mit Oszillationen und Divergenz) stabilisieren, indem die Änderung pro Iteration gedämpft wird. Es erhöht die Diagonaldominanz der Iterationsmatrix
- Nachteile: Verlangsamung, verlangsamt zwangsläufig die Konvergenzgeschwindigkeit, da die Änderungen kleiner werden
Überrelaxation:
- Vorteile: Beschleunigung, Kann die Konvergenz deutlich beschleunigen, wenn das Verfahren stabil, aber langsam ist (Successive Over-Relaxation)
- Nachteile: Eine zu aggressive Überrelaxation kann ein stabiles Verfahren instabil machen und zur Divergenz führen
Was besagt das Konvergenz-Kriterium nach Scarborough?
Es ist ein hinreichendes (aber nicht notwendiges) Kriterium, das die Beschränktheit und Stabilität der Lösung in iterativen Verfahren sicherstellt. Es besagt, dass eine algebraische Gleichung beschränkte Lösungen hat, wenn die Koeffizientenmatrix diagonaldominant ist.
- Diagonaldominanz: Kriterium erfüllt, wenn der Betrag des Hauptdiagonalen-Koeffizienten in jeder Gleichung gleich oder größer als die Summe der Beträge aller anderen Koeffizienten und an mindestens einem Punkt strikt größer ist.
- Stabilität: Ist das Kriterium erfüllt, ist die Lösung stabil und beschränkt
- Verbesserung: Bei Nicht-Erfüllung kann eine Unterrelaxation verwendet werden, um die Diagonaldominanz der Iterationsmatrix zu erhöhen und das Problem zu stabilisieren
Wie funktioniert das Gauß-Seidel-Verfahren?
Gauß-Seidel:
- Iteratives Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems
- Man startet mit einem Schätzwert für alle Unbekannten Werte
- Gleichungen nach Phi umstellen
- Geht alle Gleichungen nacheinander durch und berechnet Phi neu
- Wichtig: Nutzt sofort die neu berechneten Werte der Nachbarn in derselben Iteration
- Wiederholt, bis sich die Werte kaum ändern (Konvergenz)
Was bedeutet Unter- bzw. Überrelaxation?
Unter- und Überrelaxation:
- Beeinflusst die Konvergenz (Stabilität und Geschwindigkeit) iterativer Verfahren. Relaxationsfaktor omega wird eingeführt
- Die Formel für die aktuelle Zelle wird angepasst: Statt den neuen Wert direkt aus der umgestellten Gleichung (mit den Werten der Nachbarn) zu übernehmen, wird er als Mischung aus dem alten Wert und dem Ergebnis berechnet.
- Unterrelaxation (0 < omega < 1)
- Wenn Zellwerte sich zu stark pro Iteration ändern, kann es zu Schwingungen und Divergenz kommen
- Unterrelaxation dämpft das Verhalten, verlangsamt aber die Konvergenz
- Überrelaxation (1 < omega < 2)
- Wenn das Problem zu langsam konvergiert, kann mit der Überrelaxation die Konvergenz beschleunigt werden
- Ein zu großes omega kann das Verfahren aber instabil machen
- Omega = 1 entspricht dem normalen Gauß-Seidel-Verfahren
Wie unterscheidet sich das FV- vom FD-Verfahren?
Ausgangsgleichung:
- Finite-Volumen (FV): Löst die integrale Form der Erhaltungsgleichungen
- Finite-Differenzen (FD): Löst die differentielle Form der Erhaltungsgleichungen
Physikalischer Bezug:
- FV: physikalisch anschaulich, über Flussbilanz über Kontrollvolumen
- FD: mathematisch anschaulich, Approximation von Ableitung als Sekantensteigung der Netzknoten
Erhaltungseigenschaft:
- FV: Erhaltung von Masse, Impuls und Energie ist garantiert, da Flüsse bilanziert werden
- FD: Erhaltungseigenschaft ist nicht automatisch garantiert
Flexibilität:
- FV: sehr flexibel, funktioniert gut mit komplexen Geometrien und unstrukturierten Netzen; aber insgesamt aufwändiger
- FD: hauptsächlich für einfache Geometrien und strukturierte Netze, aber einfache Anwendung
Was sind die wesentlichen Schritte bei der Diskretisierung nach dem FV-Verfahren?
- Netzgenerierung: Gesamtes Strömungsgebiet in eine endliche Anzahl Kontrollvolumina zerlegen
- Integration: Erhaltungsgleichungen (in integraler Form) werden auf jedes einzelne Kontrollvolumen angewendet und darüber integriert -> Integro-Differentialgleichung
- Anwendung Integralsatz nach Gauß: Volumenintegrale der Flüsse (konvektiv und diffusiv) werden in Oberflächenintegrale über die Ränder des Kontrollvolumens umgewandelt. Reduzierung der Bilanz auf eine Betrachtung der Flüsse durch die Zellwände
- Approximation der Integrale: Integrale werden durch Näherungen ersetzt, die auf Mittelwerten basieren (Mittelwerthypothese)
- Approximation der Randflüsse: Die Werte der Lösungsgröße phi und ihrer Gradienten (Ableitungen) an den Rändern des Kontrollvolumens werden durch die Werte in den Zellzentren der umliegenden Zellen approximiert. Hierfür werden Schemata wie UDS oder CDS verwendet.
- Algebraische Gleichung: Das Ergebnis ist eine algebraische Nachbarschaftsbeziehung für jedes Kontrollvolumen, die den Wert im Zentrum mit den Werten seiner Nachbarn verknüpft.
- Alle Gleichungen zusammen bilden ein großes, lineares Gleichungssystem, das iterativ gelöst wird
Was besagt die Mittelwerthypothese?
Zentrale Näherung im Finite-Volumen-Verfahren. Besagt, dass die Integrale, die bei der Diskretisierung entstehen, durch ein Produkt aus einem Mittelwert und der Fläche (bzw. Volumen) ersetzt werden können.
- Fluss-Integrale: Integral eines Flusses über eine Randfläche wird durch den Wert des Flusses in der Mitte der Randfläche multipliziert mit der Fläche ersetzt.
- Volumen-Integrale (Quellterme): Integral eines Quellterms über gesamtes Kontrollvolumen wird durch einen gemittelten Quellterm multipliziert mit dem Volumen ersetzt.
Hypothese wandelt die exakten integralen Gleichungen in handhabbare algebraische Gleichungen um.
Wie werden die konvektiven und diffusiven Flüsse modelliert?
Konvektive Flüsse:
Wert von Phi muss auf der Fläche bestimmt werden.
- UDS (Upwind-Differencing-Scheme)
- Wert auf der Fläche wird aus Anströmrichtung genommen
- Wenn von P nach E ist am Rand = E
- Fehlerordnung 1. Ordnung, sehr stabil aber ungenau (Numerische Diffusion)
- CDS (Central-Differencing-Scheme)
- Wert auf der Fläche wird linear zwischen den Zellzentren P und E interpoliert
- 2. Fehlerordnung, genauer aber bei starker Konvektion instabil
Diffusive Flüsse:
Hier muss der Gradient (Ableitung) an der Fläche bestimmt werden
- Man verwendet eine Zentraldifferenzformel (CDS)
- Der Gradient an der Fläche wird durch die Werte in den benachbarten Zellzentren approximiert
- Gradient = (phiE - phiP)/(xE - xP)
Was ist die Idee des Upwind Differencing Scheme?
Die Idee ist, dass der Wert eine Größe phi an einer Kontrollvolumen-Fläche von der Strömungsrichtung bestimmt wird.
Man nimmt an, dass der Wert an der Fläche gleich dem Wert im Zellzentrum ist, das stromaufwärts liegt.
Eigenschaften:
- Sehr stabiles Verfahren, besonders bei hoher Konvektion
- 1. Fehlerordnung und neigt zu Ungenauigkeit, indem es numerische Diffusion (künstliche Verschmierung) erzeugt.
Welche Vor- und Nachteile hat das Central Differencing Scheme gegenüber dem Upwind Differencing Scheme?
Vorteile:
- Es ist genauer: Verfahren 2. Ordnung erhöht die Genauigkeit
- Weniger diffusiv: Es „verschmiert“ die Lösung nicht so stark wie UDS (weniger numerische Diffusion)
Nachteile:
- Weniger stabil: bei konvektionsdominierenden Problemen unphysikalische Oszillationen und Instabilität möglich
Was bedeutet „numerische Diffusion“?
Numerische Diffusion ist ein Diskretisierungsfehler, der hauptsächlich bei Schemata 1. Ordnung wie dem UDS auftritt.
Der Fehler sorgt für künstliche, zusätzliche Diffusion (z.B. Wärmeleitung), die in der realen Physik gar nicht vorhanden ist.
In der Praxis führt dies zu einem „Verschmieren“ der Lösung, wodurch scharfe Gradienten ungenau und zu flach dargestellt werden
