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Strukturiert: Regelmäßige Anordnung (Schachbrett), Indizierung, effizient zu rechnen, aber schwer für komplexe Geometrien.

Unstrukturiert: Beliebige Anordnung (Dreiecke/Tetraeder), flexibel für jede Geometrie, aber aufwändiger zu rechnen/speichern.

Er ist der mathematische Kernschritt der Diskretisierung. Er wandelt das Volumenintegral der Divergenz (Quelldichte) in ein Oberflächenintegral der Flüsse um.

Verständnis: Dadurch muss man nicht mehr wissen, was im Inneren des Volumens passiert, sondern nur noch bilanzieren, was über die Ränder (Oberflächen) hinein- und hinausfließt. Das macht die Methode physikalisch so anschaulich und konservativ.

Sie ist definiert als C = u * deltat / deltax (Verhältnis von Strömungsweg pro Zeitschritt zur Zellgröße).

Verständnis: Sie ist das Stabilitätskriterium für explizite Zeitverfahren (dort muss C < 1 sein).

Physikalisch: Ein Fluidteilchen (bzw. eine Information) darf sich innerhalb eines Zeitschritts nicht weiter bewegen als über eine einzelne Gitterzelle hinweg. Wenn es Zellen "überspringt", verliert das explizite Verfahren die Information und wird instabil

• k-epsilon Modell:

  • Stärke: Sehr robust, gut für freie Strömungen (fern der Wand), weit verbreitet.

  • Schwäche: Versagt oft bei starken Druckgradienten (Ablösungen) und direkt an der Wand (benötigt Wandfunktionen oder Dämpfung).

• k-omega Modell (Wilcox):

  • Stärke: Sehr gut direkt an der Wand (in der viskosen Unterschicht) und bei Druckgradienten/Ablösungen integrierbar (Low-Re tauglich ohne Dämpfungsfunktionen).

  • Schwäche: Sehr empfindlich gegenüber den Randbedingungen im freien Anstrom (Freestream-Sensitivity).

• Lösung: Das SST-Modell (Shear Stress Transport) kombiniert beide: k-omega an der Wand und k-epsilon im freien Strom.

• Expansionsrate (Growth Rate): Das Größenverhältnis benachbarter Zellen. Sollte idealerweise kleiner als 1,3 (besser < 1,2) sein, um Diskretisierungsfehler gering zu halten. Sprunghafte Änderungen der Zellgröße führen zu Fehlern. Äquivaltent 0,7 bei Schrumpfung

• Seitenverhältnis (Aspect Ratio): Verhältnis von Länge zu Breite einer Zelle.

  • Ideal: 1 (kubisch/quadratisch).

  • In Grenzschichten sind hohe Aspect Ratios (flache Zellen) oft notwendig und erlaubt, solange die Strömung parallel zur langen Seite fließt.

  • In Bereichen komplexer Strömung oder Ablösung sollte das Aspect Ratio klein (nahe 1) sein, um Konvergenzprobleme zu vermeiden.

  • Erlaubter Bereich Lambda 0,1 bis 10

• Residuen: Müssen um mehrere Größenordnungen fallen (z.B. 10^-3 bis 10^-4) und sich auf niedrigem Niveau stabilisieren.

• Monitor-Points/Zielgrößen: Physikalische Zielgrößen (z.B. Luftwiderstandswert cw, Druckverlust, Massenstrom am Auslass) müssen sich auf einen konstanten Wert einpendeln und dürfen nicht mehr driften.

• Massenbilanz: Die Summe der Massenströme rein muss gleich der Summe raus sein (Globaler Fehler < 1% oder weniger).

• Energiebilanz, wenn eine Quelle im Inneren ist

• Strukturierte (regelmäßige) Gitter

• Blockstrukturierte Gitter

• Unstrukturierte Gitter

• Sonderformen (z. B. Verbund- oder Chimära-Gitter

• Strukturierte Gitter:

  • Bestehen aus separat angeordneten Gitterlinien für jede Raumrichtung, die sich nicht innerhalb einer Raumrichtung kreuzen

  • Dies erlaubt eine strukturierte Durchnummerierung (Indizierung) der Gitterlinien und Knotenpunkte in Zeilen und Spalten (z. B. kartesisches Indexsystem i, j, k)

  • Vorteil: Die Matrix des algebraischen Gleichungssystems hat eine reguläre Struktur, was sehr effiziente Lösungsverfahren ermöglicht

  • Nachteil: Sie sind nur für geometrisch einfache Lösungsgebiete gut einsetzbar

     

• Unstrukturierte Gitter:

  • Bestehen aus einem Netz von Rechenzellen (z. B. Tetraeder, Hexaeder, Polyeder) ohne regelmäßige Reihen- oder Spaltenstruktur

  • Die Verknüpfung erfolgt über Nachbarschaftslisten, nicht über ein geometrisches Schema

  • Vorteil: Sie passen sich bestens an sehr komplizierte Geometrien an und erlauben lokale Verfeinerungen

  • Nachteil: Die Erstellung und die Datenstruktur sind aufwändiger (irregular), und die Löser sind in der Regel langsamer als bei strukturierten Gittern

Orthogonalität:

• Bezieht sich auf den Winkel zwischen der Verbindungslinie zweier Zellzentren (P-E) und der Zellwand (e). Wenn diese orthogonal sind, ist die Berechnung des Gradienten einfach. Bei Nicht-Orthogonalität wird die Berechnung komplizierter und fehleranfälliger
• Das Gitter sollte möglichst orthogonal sein (Linie P-E senkrecht zur Seite e)
• Hauptsächlich nur für strukturierte Gitter relevant, bei heutigen Lösungsmethoden nicht mehr so relevant
• Je regelmäßiger und orthogonaler in Strömungsrichtung, desto besser

Expansionsrate:

• Beschreibt das Größenverhältnis benachbarter Zellen. Abweichungen von der Äquidistanz erhöhen den Abbruchfehler
• Der Faktor sollte idealerweise im Bereich zwischen 0,7 und 1,3 liegen (in Star-CCM+ oft 0,5 bis 1,5).

Seitenverhältnis:

• Das Verhältnis von Länge zu Breite eines Kontrollvolumens. Ein ungünstiges Verhältnis führt dazu, dass Punkte in einer Richtung viel stärker gekoppelt sind als in der anderen, was die Konvergenz verlangsamt
• Das Seitenverhältnis sollte im Bereich von 0,1 bis 10 gewählt werden.

• Regelmäßigkeit vs. Flexibilität: Je regelmäßiger ein Gitter ist, desto effizienter sind die Lösungsalgorithmen, aber desto unflexibler ist es bei komplexen Geometrien

• Einhaltung der Grenzwerte: Die oben genannten Parameter (Orthogonalität, Expansionsrate, Seitenverhältnis) sollten in den empfohlenen Bereichen liegen, um numerische Fehler und Konvergenzprobleme zu minimieren

• Auflösung der Grenzschicht: In wandnahen Bereichen (Grenzschichten) sollten bei unstrukturierten Gittern Prismenschichten verwendet werden, um in wandnormaler Richtung eine strukturierte und feine Diskretisierung zu ermöglichen

• Wandabstand (y+):

  • Bei Verwendung von Wandfunktionen (High-Re-Ansatz) sollte der dimensionslose Wandabstand des ersten Knotens im Bereich 30 < y+ < 30 liegen

  • Bei Auflösung der viskosen Unterschicht (Low-Re-Ansatz) sollte der erste Knoten bei y+ < 1 liegen

• Blockstrukturiert: Das Gebiet wird in mehrere Blöcke unterteilt. Innerhalb jedes Blocks ist das Gitter strukturiert (i,j,k-Indizierung), aber die Blöcke können unterschiedlich fein sein oder komplex angeordnet werden.

• Chimära/Overset: Mehrere Gitter werden einfach übereinandergelegt (z.B. ein Hintergrundgitter und ein Gitter um ein Auto). Die Information wird in den Überlappungsbereichen interpoliert. Vorteil: Sehr einfach für bewegte Teile (z.B. rotierende Räder, abwerfbare Lasten). Nachteil: Interpolationsfehler an den Grenzen.

• Formulieren der Problemstellung.
• Festlegung / Modellbildung des Strömungsgebietes.
• Festlegung der Randbedingungen (Position, Größe, Art der RB).
• Aufbau des Berechnungsgitters .
• Aufsetzen der Berechnung (Einbau RB, Einbau Modelle, usw.).
• Durchführen der Rechnung.
• Überwachen der Berechnung.
• Auswertung der Berechnungsergebnisse.
• Kritische Begutachtung der Ergebnisse, ev. Vergleich mit Experimenten.
• Durchführung einer Sensitivitätsanalyse (Einfluss Gitter, RB, Stoffwerte).
• Dokumentation der Ergebnisse.

Antwort: Die substantielle Ableitung  beschreibt die zeitliche Änderung einer Größe Phi, die ein mit der Strömung mitbewegtes Teilchen erfährt.

• Sie setzt sich zusammen aus der lokalen zeitlichen Änderung, (instationär an einem festen Ort) und der konvektiven Änderung (Änderung durch Ortswechsel in ein Gebiet mit anderem Wert)

• Residuum (rho): Ist ein Maß für den Fehler in der Gleichungserfüllung nach einer Iteration. Es ist die Differenz zwischen der linken und rechten Seite des Gleichungssystems (Q - A*Phi). Es sollte gegen Null gehen. In CFD Solvern wird für jede Zelle ein Residuum gebildet und durch verschiedene Verfahren (L1, L2 Lunendlich Norm) ein Gesamtresiduum gebildet. Dieses wird meist noch skaliert um verschiedene Lösungsgrößen gegenüberzustellen. Das Residuum ist der Term, der bei einem Kräftegleichgewicht (bei Impulsgleichung) zu einer Imbilanz führen würde. 

• Korrektur (delta): Ist ein Maß dafür, wie stark sich die Variable von einer Iteration zur nächsten ändert (Phi{n} - Phi{n-1}).

• Wichtig: Eine kleine Korrektur bedeutet nicht zwingend eine genaue Lösung (das Verfahren könnte einfach nur sehr langsam konvergieren oder „steckenbleiben“), weshalb das Residuum das wichtigere Abbruchkriterium ist

• Wandel der Methodik: Verschiebung von „Design -> Bauen -> Testen“ hin zu „Design -> Simulieren/Optimieren -> Bauen“. Die virtuelle Absicherung erfolgt vor dem physischen Prototypenbau 

• Kosten- & Zeitreduktion: Einsparung teurer Hardware-Prototypen und Verkürzung der Entwicklungszyklen

• Front-Loading: Verlagerung der Problemlösung in frühe Entwicklungsphasen (Konzept/Design), wo Änderungen noch günstig und einfach möglich sind

• Erweiterte Möglichkeiten: Durchführung von Parameterstudien, Optimierungen und Tests, die real zu gefährlich, teuer oder unmöglich wären

• Kontrollvolumen festlegen: Man betrachtet ein winziges, ortsfestes Volumenelement (Würfel) in der Strömung.

• Bilanz aufstellen: Man formuliert das physikalische Erhaltungsprinzip für dieses Element: Die zeitliche Änderung im Inneren entspricht dem, was hineinfließt, minus dem, was hinausfließt (Nettofluss), plus eventuellen Quellen.

• Taylor-Reihe anwenden: Um den Fluss an der Austrittsseite mathematisch auszudrücken (da dieser unbekannt ist), nähert man ihn ausgehend von der Eintrittsseite mittels einer Taylor-Reihenentwicklung an. Erster Term reicht, aus, da deltaX sehr klein ist. 

• Einsetzen & Vereinfachen: Setzt man diese Näherung in die Bilanz ein, heben sich die Eintrittsterme gegenseitig auf ("Rein" minus "Rein"). Übrig bleiben nur die Änderungsterme (Gradienten mal Kantenlänge).

• Grenzübergang (Volumen herauskürzen): Man teilt die gesamte Gleichung durch das Volumen des Würfels. Da in jedem Term nun das Volumen enthalten war, kürzt es sich komplett heraus. Das Ergebnis ist die partielle Differentialgleichung, die unabhängig von der Größe des gedachten Würfels an jedem Punkt gilt 

1. Massenerhaltung (Kontinuitätsgleichung)

• Was wird bilanziert?

  Die zeitliche Änderung der Dichte im Volumen gegen die Differenz der ein- und ausströmenden Massenströme.

• Modelle / Näherungen:

  Keine speziellen physikalischen Modelle nötig (gilt exakt für jedes Kontinuum).

2. Impulserhaltung (Navier-Stokes-Gleichungen)

• Was wird bilanziert?

  Die zeitliche Änderung des Impulses entspricht der Summe der angreifenden Kräfte (2. Newtonsches Gesetz).

  • Ströme: Konvektiver Impulstransport.

  • Kräfte: Druckkräfte (Normalspannungen), Reibungskräfte (Schubspannungen) und Volumenkräfte (z.B. Schwerkraft) 

• Wichtige Modelle:

  Stokes'sches Gesetz: Da die Reibungsspannungen (tau) unbekannt sind, werden sie durch die Geschwindigkeitsgradienten (Scherung) modelliert (Annahme: Newtonsches Fluid). Das Stoke'sche Gesetz setzt die viskosen Spannungen proportional zu den Deformationsraten.

   

3. Energieerhaltung

• Was wird bilanziert?

  Die Änderung der Gesamtenergie (innere + kinetische) entspricht der Summe aus Wärmeströmen und verrichteter Arbeit (1. Hauptsatz der Thermodynamik).

  • Wärme: Konvektion und Wärmeleitung.

  • Arbeit: Arbeit der Druckkräfte und Arbeit der Reibungskräfte (Dissipation) 

• Wichtige Modelle:

  • Fourier'sches Gesetz: Der Wärmeleitstrom (q) ist unbekannt und wird proportional zum Temperaturgradienten modelliert (q = -lambda \nabla T).

  • Stokes'sches Gesetz: Für die Reibungsarbeit (Dissipation).

  • Ideales Gasgesetz: Oft nötig, um Dichte, Druck und Temperatur zu verknüpfen

Reynolds-Zahl

Wie wird sie gebildet? Man multipliziert die charakteristische Geschwindigkeit mit der charakteristischen Länge und teilt das Ergebnis durch die kinematische Viskosität des Fluids. 

Was ist die Bedeutung? Sie beschreibt das Verhältnis von Trägheitskräften zu Zähigkeitskräften (Reibungskräften).

Peclet-Zahl

Wie wird sie gebildet? Man bildet das Produkt aus Dichte, Strömungsgeschwindigkeit, charakteristischer Länge und spezifischer Wärmekapazität. Dieses gesamte Produkt wird dann durch die Wärmeleitfähigkeit geteilt.

Was ist die Bedeutung? Sie beschreibt das Verhältnis von konvektivem Transport (Transport durch Strömung) zu diffusivem Transport (Transport durch Wärmeleitung). Eine hohe Zahl bedeutet, dass die Strömung dominiert

Festkörper:

- Schubspannungen im ruhenden Zustand übertragbar

- Festkörper behalten ihre Form

- Charakteristische Eigenschaft: Elastizität

Fluid:

- bei ruhendem Fluid nur Normalspannungen übertragbar, zur Übertragung von Schubspannung ist eine Scherung erforderlich

- Fluide nehmen Form von Gefäß an

- Charakteristische Eigenschaft: Viskosität

Durchmesser-Bereich von 0,1 bis 0,01 mm und Drehfrequenz von 10kHz

Strömungssimulation (CFD = Computational Fluid Dynamics) ist ein Verfahren, um das Verhalten von Fluiden mithilfe von Computern vorherzusagen. Man löst zugrundeliegende physikalische Gesetze (Erhaltungsgleichungen) durch numerische Verfahren und macht somit eine Prognose über das Verhalten eines Systems, ohne echte Versuche durchzuführen.

• Mathematische Modelle aufstellen: Strömungen werden durch physikalische Gesetze (Erhaltungsgleichungen) beschrieben
• Weitere Modelle (Turbulenzen etc.) anwenden
• Gleichungen lösen: Lösen der Erhaltungsgleichungen (Masse, Impuls, optional weitere). Die komplexen Gleichungen werden in kleine, lösbare Teile zerlegt (Diskretisierung) und dann schrittweise (iterativ) gelöst
• Ergebnisse auswerten: Berechnete Daten zielgerichtet ausgewertet und visualisiert, um Strömungsverhalten zu verstehen

Vorteile: oft billiger/schneller/einfacher als Messungen; kann Experimente ersetzen, die zu gefährlich/teuer/unethisch wären; liefert Ergebnisse in der Entwicklungsphase; Optimierungsstudien möglich; Vollständige Daten über gesamtes Strömungsfeldes; reproduzierbare Randbedingungen, reale Größe simulierbar -> keine Skalierungsfehler

Nachteile: basiert auf empirischen Werten und idealisierten Annahmen; Numerische Fehler; Hardware-Grenzen des Computers -> Rechenzeit; Qualifikation des Bedieners; kein gleichwertiger Versuchsersatz in gewissen Gebieten (Akzeptanz)

Umströmung eines Fahrzeugs, Verbrennungssimulation Kolbenmotor, Tragflügel Flugzeug, Fußball, Medizintechnik, Vermischungsaufgaben, Turbinen, Windkraft, Boot

Das zugrundeliegende physikalische Prinzip ist das Erhaltungsprinzip einer physikalischen Größe. Wir betrachten dabei die zeitliche Änderung einer Erhaltungsgröße X in einem Bilanzraum.

Änderungsrate der Größe = Transport in das Volumen – Transport aus dem Volumen + Quellen und Senken im Volumen

Masse, Impuls (in alle Raumrichtungen), Energie, Stoffmenge (bei Mehrkomponentenströmungen)

Dichte, Geschwindigkeit (u, v, w), Druck, Temperatur, Stoffkonzentration

Änderungsrate der Größe = Stofftransport ein – Stofftransport aus + Molekulartransport ein – Molekulartransport aus + Quellen und Senken + größenabhängige Wirkung

Strömungstransport: Konvektiv, Menge der Größe, die durch die Strömung in das Kontrollvolumen hinein- und herausgetragen wird

Molekularer Transport: Diffusiv, Transport durch die Oberfläche des Kontrollvolumens, z.B. Wärmeleitung

Quelle und Senken: Terme die eine Erzeugung (Quelle) oder Vernichtung (Senke) innerhalb des Volumens beschreiben, z.B. Wärmeerzeugung durch chemische Reaktion

Größenabhängige Wirkung: Umfasst weitere, auf das Volumen wirkende Effekte

Sie ist ein Maß dafür, wie stark ein Vektorfeld an einem bestimmten Punkt eine Quelle oder Senke ist. Sie wird als Quelldichte oder Ergiebigkeit bezeichnet und gibt an, wie viel mehr aus der direkten Umgebung eines Punktes hinausfließt als hineinfließt.

Positive Divergenz:           Punkt ist eine Quelle, mehr heraus als hinein. Wasserquelle

Negative Divergenz:          Punkt ist eine Senke, mehr hinein als heraus. Abfluss Waschbecken

Divergenz von 0:              Quellfrei, genauso viel hinein wie heraus

Ein Gradient ist ein Vektor, der die Richtung des steilsten Anstiegs eines Skalarfeldes an einem bestimmten Punkt angibt. Beschreibt die Antriebskräfte, die eine Strömung oder Wärmetransport verursachen (Druckgradient und Temperaturgradient). Verständnis warum sich ein Fluid bewegt oder abkühlt.

Eigenschaften:

Richtung: Der Gradientenvektor an einem Punkt zeigt immer in die Richtung, in die du gehen müsstest, um steilsten Anstieg zu erleben

Betrag: Die Länge (der Betrag) des Vektors gibt an, wie steil der Anstieg an diesem Punkt ist

Orthogonalität: Der Gradient steht immer senkrecht auf den Höhenlinien

Kurzschrift für lange und komplexe Gleichungen der Strömungsmechanik. Stellt Gleichungen übersichtlich dar und es ist einfacher damit zu arbeiten.

Grundregeln:

• Ui steht für den kompletten Vektor, die Komponenten sind demnach u1, u2, u3
• Tensoren haben zwei Indizes, Tij, erster ist die Orientierung der Fläche und der zweite die Richtung der Komponenten
• Einstein’sche Summenkonvention: Kommt ein Index zwei Mal vor, wird automatisch über alle drei Raumrichtungen summiert
• Dyadisches (tensorielles) Produkt: Produkt zweier Vektoren = Tensor 2. Stufe (bei Tensorschreibweise mit Multiplikationszeichen)
• Kronecker-Tensor: Einheitstensor

Grundlegende Idee ist, ein unendliches Problem in eine endliche Anzahl von abgeschlossenen, lösbaren (diskreten) Teilsystemen zu zerlegen, damit diese der Computer berechnen kann. Strömungsfeld ist ein Kontinuum und muss in einzelne Stücke (Diskretisierung) zerlegt werden für die Berechnung.

Räumliche Diskretisierung: Strömungsgebiet wird in eine endliche Anzahl abgeschlossener Elemente zerlegt. -> Ergebnis ist Berechnungsgitter oder Rechennetz. Gesuchte Größen werden nicht mehr überall, sondern an diskreten Punkten berechnet

Zeitliche Diskretisierung: bei instationären Problemen wird der betrachtete Zeitraum in einzelne, diskrete Zeitschritte unterteilt. Berechnung erfolgt nicht kontinuierlich, sondern springt von einem Zeitpunkt zum nächsten

• Am Ende hat man die Lösungen nur an bestimmten Orten zu bestimmten Zeiten

Turbulente Strömungen sind komplexe, chaotische Fluidbewegungen, für die es keine Definition und keine einheitliche Theorie gibt. Sie lassen sich anhand von charakteristischen Eigenschaften beschreiben.

Turbulenzen entstehen, wenn eine Strömung instabil wird. Das passiert durch eine ausreichend hohe Reynolds-Zahl (Rekrit). Vereinfacht gesagt entstehen Turbulenzen aufgrund übermäßiger Scherung, wo der Geschwindigkeitsgradient hoch ist (z.B. an einer Wand oder Freistrahl), dann wird die Strömung instabil und kippt, sie wechselt von reibungsdominiert in trägheitsdominiert

• Unregelmäßig: alle Strömungsgrößen schwanken chaotisch und zufällig in Raum und Zeit
• Mischungsintensiv: führen zu einer starken Vermischung, was den Transport von Impuls, Wärme und Stoffen deutlich erhöht
• Dreidimensional: Turbulenz ist immer ein räumliches Phänomen
• Instationär: sind zeitlich veränderlich und umfassen ein breites Spektrum an Zeitskalen
• Drehbehaftet: sind durch eine Vielzahl von miteinander interagierenden Wirbeln gekennzeichnet (Strecken der Wirbel = Energietransfer)
• Dissipativ: kinetische Energie der Turbulenz wird durch viskose Reibung durchgehend in innere Energie umgewandelt -> Turbulenzschwankungen werden schnell kleiner
• Höhere Reibungsverluste: Durch vertikale Schubspannungen wird mehr Energie benötigt

Sie ist interessant, weil sie in den meisten technischen Anwendungen vorgefunden wird. Sie hat massiv technische Auswirkungen auf die Funktion und Effizienz von Maschinen und Prozessen. Die Effekte können vorteilhaft und nachteilig sein.

Vorteilhaft:    Bessere Wärme- und Stoffübertragung, Effizientere Vermischung

Negativ:        Höhere Druckverluste durch mehr innere Reibung, Geräuschemission (Lärm)

Turbulenzmodelle sind eine notwendige Vereinfachung, um turbulente Strömungen in einem realistischen Zeit- und Kostenrahmen am Computer berechnen zu können. Dafür gibt es 2 Hauptgründe:

1. Der Aufwand einer exakten Simulation ist zu hoch: Eine direkte numerische Simulation (DNS), die alle turbulenten Wirbel auflöst, würde selbst einfache technische Probleme eine extreme Rechenleistung und immense Rechenzeiten erfordern, was sie für den Alltag unmöglich macht.

2. Das Schließungsproblem der Turbulenz: Um den Rechenaufwand zu reduzieren, mittelt man die Strömungsgleichungen über die Zeit (RANS-Verfahren). Durch diesen Mittelungsprozess entstehen jedoch neue, unbekannte Terme in den Gleichungen – die Reynolds-Spannungen. Man hat am Ende also mehr Unbekannte als Gleichungen, was das System mathematisch unlösbar macht. Als Folge müssen Modelle zur Beschreibung formuliert werden, sodass Anzahl der Unbekannte = Anzahl Gleichungen ist.

Statistische Behandlung:

Für die meisten technischen Anwendungen sind die Vielfalt der Informationen aus den turbulenten Schwankungen nicht von Interesse, zeitliche Mittelwerte reichen für die Berechnung wichtiger Strömungsgrößen. Die Reynolds-Mittelung zerlegt jede Strömungsgröße in einen zeitlichen Mittelwert und einen Schwankungsanteil. Diese zerlegten Größen werden in die NST eingesetzt und anschließend wird die gesamte Gleichung zeitlich gemittelt.

Ziel ist es die teure direkte Berechnung zu umgehen und mit Gleichungen für die Mittelwerte zu rechnen.

Das Schließungsproblem:

Um den Rechenaufwand zu reduzieren, mittelt man die Strömungsgleichungen über die Zeit (RANS-Verfahren). Durch diesen Mittelungsprozess entstehen jedoch neue, unbekannte Terme in den Gleichungen – die Reynolds-Spannungen. Man hat am Ende also mehr Unbekannte als Gleichungen, was das System mathematisch unlösbar macht. Als Folge müssen Modelle zur Beschreibung formuliert werden, sodass Anzahl der Unbekannte = Anzahl Gleichungen ist.

Drei Hauptansätze zur Behandlung von Turbulenz:

• DNS (direkte numerische Simulation): exaktester Ansatz. alle turbulenten Wirbel werden direkt berechnet, kein Modell notwendig -> hohe Rechenzeit (nur für Forschung und 2D)
• LES (Large Eddy Simulation): Ein Kompromiss. Die großen, energiereichen Wirbel werden direkt berechnet, kleine Wirbel werden modelliert -> immer noch rechenintensiv und instationär
• RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes): pragmatischer Ansatz für die Industrie. Alle turbulenten Schwankungen werden modelliert, nur zeitlich gemittelte Gleichungen werden gelöst -> geringster Rechenaufwand und Standard, aber Informationsverlust

Familie der RANS:

Kernfrage: Wie werden die unbekannten Reynolds-Spannungen gelöst?

• Reynolds-Spannungs-Modelle:
  • Idee: Lösen 6 zusätzlicher, komplexer Transportgleichungen direkt für die Reynolds-Spannungen
  • Vorteil: sehr genau, da Anisotropie der Turbulenz direkt erfasst wird
  • Nachteil: Hoher Rechenaufwand (RANS), kann numerisch instabil werden
  • Für komplexe Strömungsformen, z.B. stark verdrallte Strömungen

• Wirbelviskositäts-Modelle (Boussinesq-Ansatz):
  • Idee: Massive Vereinfachung. Wirkung der Turbulenz wird durch eine künstliche „turbulente Viskosität“ beschrieben. Man reduziert das Problem von 6 unbekannten Spannungen auf nur eine unbekannte skalare Größe.
  • Nachteil: weniger physikalisch exakt, Turbulenz wird als isotrop angenommen, was nicht oft der Fall ist
  • Vorteil: Spart enorm Rechenzeit
  • Unterteilung nach Anzahl der Transportgleichungen zur Lösung der turb. Viskosität:
    • Null-Gleichungs-Modelle: Bestimmen von mü aus rein algebraischen Formeln (z.B. Mischungswegmodell). Sehr schnell, aber wenig allgemeingültug
    • Ein-Gleichungs-Modelle: Lösen eine Transportgleichung, halbempirische Gleichung für das Geschwindigkeitsmaß der Turbulenz. Längenmaß weiterhin algebraisch
    • Zwei-Gleichungs-Modelle: „Sweet-Spot“ für viele Anwendungen. Lösen von zwei Transportgleichungen, meist für Geschwindigkeits- als auch Längenmaß der Turbulenz (z.B k-epslion oder k-omega)

Problem: In Wandnähe versagen Standard-Turbulenzmodelle (k-epsilon) aufgrund von extremen Geschwindigkeitsgradienten und die Anisotropie der Strömung. Es ist existiert außerdem eine viskose Unterschicht, in der turbulente Schwankungen vernachlässigt werden können. Eine direkte Auflösung wäre sehr rechenaufwändig.

1. Wandfunktionen (High-Re-Ansatz)

• Idee: Die Wandnähe wird mit einer Formel (logarithmisches Wandgesetz) überbrückt
• Vorraussetzung: Erste Zelle muss im Bereich 30 < y+ < 300 liegen
• Vorteil: schnell & kostengünstig
• Nachteil: Ungenau bei z.B. Strömungsablösung, niedrigen Re-Zahlen

2. Ansatz Low-Re-Modelle

• Idee: Die wandnahe Schicht wird durch ein sehr feines Netz komplett aufgelöst
• Vorraussetzung: Erste Zelle muss bei y+ < 1 liegen
• Vorteil: sehr genau, vor allem bei Phänomen wie laminar-turbulenter Umschlag
• Nachteil: rechenaufwändig

• Es gibt Ansätze, die beide Funktionen automatisch verbinden