MC Analysis FS25
MC Analysis FS25
MC Analysis FS25
Eine Funktion des Typs \(f : ℝ → ℝ\) hat genau dann eine MaclaurinEntwicklung, wenn sie unendlich oft differentierbar ist.
Eine Funktion des Typs \(f : ℝ→ ℝ\) hat genau dann eine MaclaurinEntwicklung, wenn sie analytisch ist.
Maclaurin-Entwicklungen sind Taylor-Entwicklungen an der Stelle \(x_0 = 0\).
Gilt f(−x) = +f(x), dann enthält die Maclaurin-Entwicklung von f nur gerade Potenzen von x.
Gilt f(−x) = −f(x), dann enthält die Maclaurin-Entwicklung von f nur gerade Potenzen von x.
Die Maclaurin-Entwicklung konvergiert genau dann gegen die Funktion, wenn Rn(x) → 0 für x → ∞.
Das Maclaurin-Polynom \(T_1(x)\) beschreibt gerade die Tangente an den Funktionsgraphen an der Stelle \(x_0 = 0\).
Jedes Polynom vom Grad q stimmt mit seinem Maclaurin-Polynom der Ordnung p überein, genau falls p = q.
Die Maclaurin-Entwicklung von f enthält nur ungerade Potenzen von x.
Die Maclaurin-Entwicklung von f enthält nur gerade Potenzen von x.
Die Maclaurin-Entwicklung 2. Ordnung von f verschwindet.
Es gilt \(T_3(x) = x^3\)
Die Maclaurin-Entwicklung von f konvergiert auf ganz \(ℝ\) gegen f.
Die Maclaurin-Entwicklung von f besteht nur aus endlich vielen Gliedern.
Es handelt sich um die Maclaurin-Entwicklung der Cosinus-Funktion.
Es gilt f ′′′(0) = 0.
Es gilt f(0.1) ≈ 0.995.
Es gilt f(1) = 2/3 .
Die Funktion f hat negative Parität.
Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 ein lokales Maximum.
Die Methode der linearen Modifikation basiert auf der Ketten-Regel der Differentialrechnung.
In der Praxis ist die lineare Modifikation die am häufigsten anzuwendende Methode zur Berechnung von nicht elementaren Integralen.
Die Methode der linearen Modifikation kann nur bei gegebenen Integrationsgrenzen angewendet werden.
Die Methode der linearen Modifikation eignet sich zur Integration von Linearkombinationen von Funktionen.
Es gilt \(∫cos(3x+4)dx = sin(3x+4)+c\)
Es gilt\(∫cos(3x+4)dx = 1/ 3 ·sin(x)+c\)
Die Idee des Archimedes-Cauchy-Riemann-Approximationsprozess reicht zurück bis in die Antike.
Der Archimedes-Cauchy-Riemann-Approximationsprozess wird in der Praxis fast ausschliesslich von Mathematikern angewendet.
Der Archimedes-Cauchy-Riemann-Approximationsprozess ist eine Standard-Methode zur Berechnung von Stammfunktionen bzw. Integralen.
Der Archimedes-Cauchy-Riemann-Approximationsprozess ist eine Standard-Methode zum Auffinden von Integralen in der Praxis.
Gilt \(δy≈cosh(δx)\), dann folgt \(y(x)=sinh(δx)\)
Gilt \(δy≈cosh(x)·δx\), dann folgt \(∆y=sinh(x_E)−sinh(xₒ)\)
Die mehrdimensionale Analysis basiert auf der eindimensionalen Analysis und der Vektorgeometrie.
Reellwertige Funktionen in mehreren reellen Variablen werden, vor allem in der Physik, auch Skalarfelder genannt.
Für n > 1 ist eine Funktion des Typs \(f : ℝⁿ → ℝ\) niemals injektiv.
Jede Ebene in 3D ist der Graph einer Funktion in zwei reellen Variablen.
Jede Sphäre in 3D ist der Graph einer Funktion in zwei reellen Variablen.
Es gilt \(f(3;0;4) = 5\)
\(f \) ist eine Funktion in drei Variablen.
Die x-Achse ist eine Level-Linie von \(f\)
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Für den Bahnvektor gilt \(\hat{e⃗}(1) = \hat{e⃗}_x\)
Linienintegrale spielen bei der Berechnung von Arbeitsleistungen in der Physik eine grosse Rolle.
Wählt man den neuen Kurvenparameter \( \tilde{\tau}=2τ\), dann verändert man den Wert von \( I\) nicht.
Wechselt man die Laufrichtung der parametrisierten Kurve, dann verändert man den Wert von \(I\) nicht.
Gilt überall \(∡(w⃗,v⃗)=π/2\), dann folgt \(I=0\).
Gilt überall \(∡(w⃗,v⃗)=0\), dann folgt \( I=0\).
Gilt überall \(∡(w⃗,v⃗)=π\) dann folgt \(I<0\).
Es gilt \(I = 0\)
Es gilt \(I > 0\)
Es gilt \( |I| = 18π\)
Der Bahnvektor der parametrisierten Kurve steht an jedem Punkt senk recht auf \(w⃗\)
Verlängert man die parametrisierte Kurve durch \(τ ∈ [0,2]\), dann bleibt der Wert von \(I\) unverändert.
Verlängert man die parametrisierte Kurve durch \(τ ∈ [0,2]\), dann verdoppelt man den Wert von \(I\)
Ein Zweifach-Integral beschreibt das Volumen zwischen dem Graphen einer Funktion \( f : ℝ^² → ℝ\) und einem Gebiet in der x-y-Ebene.
Die Fläche eines Gebiets in 2D lässt sich mit Hilfe eines Zweifach-Integrals berechnen.
Gemäss FUBINI-Satz darf die Integrationsreihenfolge eines Zweifach Integrals nicht vertauscht werden.
Mit Hilfe des FUBINI-Satzes kann man nur Integrale über achsenparallele Rechtecke berechnen.
Für \(f(x;y) ≥ 0\) gilt \(∫_G f(x;y) dA ≥ 0\) für jedes Gebiet G in der x-y Ebene.
Für \(f(x;y) ≤ 0\) gilt \(\int_{x_0}^{x_E} \int_{y_E}^{y_0} f(x; y) \, dy \, dx \leq 0\) für alle\( x_0,x_E,y_0,y_E ∈ ℝ\)
Für alle \(r ∈ ℝ^+\), kann \(I(r)\) mit Hilfe des FUBINI-Satzes berechnet werden.
\(I(r)\) steigt monoton mit \(r ∈ ℝ^+\)
Für \(r ∈ R^+ \) gilt \(I(r) > 0\)
Verdoppelt man r, dann vervierfacht man \(I(r)\).
Es gilt \(\lim_{r \to 0} I(r) = 0\)
Für alle \(r ∈ ℝ^+\) gilt \(I(r) > πr^3\)
Jede parametrisierte Fläche lässt sich als Graph einer Funktion in zwei Variablen darstellen.
Jeder Graph einer Funktion in zwei Variablen lässt sich als parametrisierte Fläche darstellen.
Alle Sphären im Raum lassen sich als parametrisierte Flächen darstellen.
Die Parametrisierung einer parametrisierten Fläche ist eine Funktion des Typs \(\vec{P} : ℝ^2 →ℝ\).
Die Parametrisierung einer parametrisierten Fläche ist in jedem Fall injektiv.
Die Parametrisierung einer parametrisierten Fläche ist in jedem Fall surjektiv.
In jedem Fal lzeigen \(e⃗_1\) und \(e⃗_2\) tangential zu \(M\).
In jedem Fall gilt \(e⃗_1⊥e⃗_2\).
In jedem Fall ist \(n⃗\) eine Linearkombination von \(e⃗_1\) und \(e⃗_2\).
In jedem Fall gilt \(e⃗_1⊥n⃗\) und \(e⃗_2⊥n⃗\)
In jedem Fall gilt \(\sqrt{g}=|e⃗_1×e⃗_2|\).
Die Metrik ist genau dann diagonal, wenn gilt \( e⃗_1⊥e⃗_2\)
Es gilt \(\hat{n⃗} = \hat{e⃗}_z\)
Die Fläche ist ein Rechteck.
Die Fläche ist ein Parallelogramm.
