MC Analysis FS25
MC Analysis FS25
MC Analysis FS25
Eine Funktion des Typs \(f : ℝ → ℝ\) hat genau dann eine MaclaurinEntwicklung, wenn sie unendlich oft differentierbar ist.
Eine Funktion des Typs \(f : ℝ→ ℝ\) hat genau dann eine MaclaurinEntwicklung, wenn sie analytisch ist.
Maclaurin-Entwicklungen sind Taylor-Entwicklungen an der Stelle \(x_0 = 0\).
Gilt f(−x) = +f(x), dann enthält die Maclaurin-Entwicklung von f nur gerade Potenzen von x.
Gilt f(−x) = −f(x), dann enthält die Maclaurin-Entwicklung von f nur gerade Potenzen von x.
Die Maclaurin-Entwicklung konvergiert genau dann gegen die Funktion, wenn Rn(x) → 0 für x → ∞.
Das Maclaurin-Polynom \(T_1(x)\) beschreibt gerade die Tangente an den Funktionsgraphen an der Stelle \(x_0 = 0\).
Jedes Polynom vom Grad q stimmt mit seinem Maclaurin-Polynom der Ordnung p überein, genau falls p = q.
Die Maclaurin-Entwicklung von f enthält nur ungerade Potenzen von x.
Die Maclaurin-Entwicklung von f enthält nur gerade Potenzen von x.
Die Maclaurin-Entwicklung 2. Ordnung von f verschwindet.
Es gilt \(T_3(x) = x^3\)
Die Maclaurin-Entwicklung von f konvergiert auf ganz \(ℝ\) gegen f.
Die Maclaurin-Entwicklung von f besteht nur aus endlich vielen Gliedern.
Es handelt sich um die Maclaurin-Entwicklung der Cosinus-Funktion.
Es gilt f ′′′(0) = 0.
Es gilt f(0.1) ≈ 0.995.
Es gilt f(1) = 2/3 .
Die Funktion f hat negative Parität.
Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 ein lokales Maximum.
Die Methode der linearen Modifikation basiert auf der Ketten-Regel der Differentialrechnung.
In der Praxis ist die lineare Modifikation die am häufigsten anzuwendende Methode zur Berechnung von nicht elementaren Integralen.
Die Methode der linearen Modifikation kann nur bei gegebenen Integrationsgrenzen angewendet werden.
Die Methode der linearen Modifikation eignet sich zur Integration von Linearkombinationen von Funktionen.
Es gilt \(∫cos(3x+4)dx = sin(3x+4)+c\)
Es gilt\(∫cos(3x+4)dx = 1/ 3 ·sin(x)+c\)
Die Idee des Archimedes-Cauchy-Riemann-Approximationsprozess reicht zurück bis in die Antike.
Der Archimedes-Cauchy-Riemann-Approximationsprozess wird in der Praxis fast ausschliesslich von Mathematikern angewendet.
Der Archimedes-Cauchy-Riemann-Approximationsprozess ist eine Standard-Methode zur Berechnung von Stammfunktionen bzw. Integralen.
Der Archimedes-Cauchy-Riemann-Approximationsprozess ist eine Standard-Methode zum Auffinden von Integralen in der Praxis.
Gilt \(δy≈cosh(δx)\), dann folgt \(y(x)=sinh(δx)\)
Gilt \(δy≈cosh(x)·δx\), dann folgt \(∆y=sinh(x_E)−sinh(xₒ)\)
Die mehrdimensionale Analysis basiert auf der eindimensionalen Analysis und der Vektorgeometrie.
Reellwertige Funktionen in mehreren reellen Variablen werden, vor allem in der Physik, auch Skalarfelder genannt.
Für n > 1 ist eine Funktion des Typs \(f : ℝⁿ → ℝ\) niemals injektiv.
Jede Ebene in 3D ist der Graph einer Funktion in zwei reellen Variablen.
Jede Sphäre in 3D ist der Graph einer Funktion in zwei reellen Variablen.
Es gilt \(f(3;0;4) = 5\)
\(f \) ist eine Funktion in drei Variablen.
Die x-Achse ist eine Level-Linie von \(f\)
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Cartes-fiches
\(\vec{v}\) ist konservativ
\(\vec{v}\) ist quellenfrei.
\(\vec{v}\) ist wirbelfrei.
Es gibt ein Skalarfeld \(ϕ\), so dass \(\vec{v}=\vec{∇}ϕ\)
Es gibt ein Vektorfeld \(\vec{A}\), so dass \(\vec{v}=rot(\vec{A})\).
Die Zirkulation von \(\vec{v}\) entlang des Einheitskreises in der x-y-Ebene verschwindet.
Der Stokes-Integralsatz gilt in Euklid-Räumen beliebiger Dimension.
Der Stokes-Integralsatz gilt nur für ebene geschlossene Kurven.
Der Stokes-Integralsatz wird standardmässig in Bezug auf die rechtsumlaufene Einheitsnormale \(\vec{\hat{n}}\) einer berandeten Fläche im Raum formuliert.
Der Stokes-Integralsatz wird standardmässig in Bezug auf die linksumlaufene Einheitsnormale \(\vec{\hat{n}}\) einer berandeten Fläche im Raum formuliert.
Verschwindet die Zirkulation von \(\vec{v}\) entlang einer geschlossenen Kurve im Raum, dann gilt \(rot(\vec{v})=0\) im Innern der Fläche, die diese Kurve einschliesst.
Die Zirkulation eines homogenen Vektorfeldes entlang einer geschlossenen Kurve im Raum verschwindet in jedem Fall.
\(\vec{v}\) ist konservativ.
\(\vec{v}\) ist quellenfrei.
\(\vec{v}\) ist wirbelfrei.
Es gibt eine reellwertige Funktion \(ϕ\), so dass \(\vec{v}=\vec{∇}ϕ\).
Es gibt ein Vektorfeld \(\vec{A}\), so dass \(\vec{v}=rot(\vec{A})\).
Die Zirkulation von \(\vec{v}\) entlang des Einheitskreises in der x-y-Ebene verschwindet.
Der Gradient zeigt tangential zum Graphen von f.
Der Gradient steht senkrecht auf dem Graphen von f.
Der Gradient zeigt tangential zu den Level-Linien von f.
Der Gradient steht senkrecht auf den Level-Linien von f.
In Richtung des Gradienten fällt der Graph von f am steilsten ab
Der Betrag des Gradienten ist die max. Steigung des Graphen von f.
Die Hesse-Matrix ist für Skalarfelder in nD, d.h. in beliebiger Dimension \(n∈ℕ^+\) definiert.
Die Hesse-Matrix ist benannt nach dem bekannten deutschen Schriftsteller Hermann Hesse.
Ist der Graph von f eine Gerade, Ebene bzw. Hyperebene, etc.., dann verschwindet die Hesse-Matrix von f.
Für zweimal stetig differentierbare Funktionen ist die Hesse-Matrix in jedemFall symmetrisch.
Für zweimal stetig differentierbare Funktionen ist die Hesse-Matrix in jedem Fall schiefsymmetrisch.
Die Hesse-Matrix ist niemals diagonal.
Der Gradient der Funktion f verschwindet am Punkt (−1;0).
Die Funktion f hat am Punkt (2;0) einen Sattel-Punkt.
Am Punkt (1;1.25) zeigt der Gradient der Funktion f in Richtung der positiven x-Achse.
Am Punkt (−1;1.25) ist der Gradient der Funktion f länger als am Punkt (−2;0.5).
Am Punkt (1;0) gilt \(δf≈δx+δy\).
In jedem Fall gilt \(\int_{-2}^{2} f(t; -1)\, dt = 0\).
Es gilt \(f(−1;0)=f(0;0)\).
Der Gradient der Funktion f verschwindet am Punkt (0;0).
Die Funktion f hat keine Sattel-Punkte.
Am Punkt (−0.5;0) zeigt der Gradient der Funktion f in Richtung der positiven y-Achse.
