Methode der finiten Elemente
TU Dresden 2021
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5 typen von nichtlinearitäten
1. nichtlineares materialverhalten (große deformation oder inelastizität)
2. geometrische nichtlinearitäten -> große verschiebungen, rotation
3. finite defmoation -> Bmatrix und gebietsintegration verschiebungsabhängig
4. nichtlineare RB, kontakt
5. gekoppelte feldprobleme
4.
was ist und wofür nutzt man das newton raphson verfahren
zum lösen von nicht linearen gleichungssystemen
newton raphson verfahren, bei jeder iteration wird eine neue tangente berechnet
was ist das modifiziozerte NR verfahren
vorteile -> berechnung von zwischenlösungen
-> und realisierung beliebiger last-zeit-verläufe
newton raphson verfahren, bei jeder iteration wird eine neue tangente berechnet
modifiziert: tangente wird nur einmal berechnet, nur eine tangentensteifigkeitsmatrix muss berechnet werden
3-6 iterationen - normal
wie kann man das problem lösen
kleinere kraft schritte
Inwiefern unterscheiden sich Finite-Elemente-Simulationen für statische und dynamische Probleme voneinander?
Ordnen Sie die folgenden Verhältnisse zwischen Geometrie- und Verschiebungsinterpolation den zugehörigen Konzepten zu.
gleiche ansätze - isoparametrisch
bessere Verschiebungs als Geometrieinterpolation - Subparametrisches Konzept
bessere Geometrie als Verschiebungsinterpolation - Superparametrisches Konzept
Welche Aussagen treffen für die reduzierte Massenmatrix (lumped mass matrix) bei dynamischen Problemen zu?
Welche der folgenden Aussagen treffen für die Lösung nichtlinearer Problemstellungen zu?
Ordnen Sie die nachfolgenden Beispiele der jeweiligen Art von Nichtlinearität zu!
Geometrische Nichtlinearität - Änderung der Querschnittsfläche einer Zugprobe aufgrund großer Verformungen
Materielle Nichtlinearität - Unterschiede im Be- und Entlastungspfad eines Materials
Nichtlineare Randbedingungen - Kontakt zwischen Projektil und Hindernis
Inwieweit unterscheiden sich die vollständige und reduzierte numerische Integration voneinander? Kreuzen Sie die richtige Antwort an!
Welche der folgenden Aussagen zum Verschiebungsansatz von Scheibenelementen sind richtig?
ansys in welcher ebene müssen 2d rechnungen erstellt würden
XY-Ebene
was ist richtig, was ist falsch
anzahl knoten x 2
Nenne 4 numerische Methoden
Finite Differenzen
Finite Volumen
Finite Elemente
Randelemente
Finite Differenzen Vor und Nachteile + Beispiel usecases
Finite Volumen Vor und Nachteile + Beispiel usecases
Finite Elemente Vor und Nachteile + Beispiel usecases
Randelemente Vor und Nachteile + Beispiel usecases
Was ist das Ziel/Ansatz von Finiten Elementen
Modellbildung für physikalische Phänomene
-> Randwertaufgabe bestehend aus:
- Differntialgleichung
- Randbedingungen (wesentliche // natürliche)
Unterschied natürliche wesentliche Randbedingungen
wesentliche RB:
- Verschiebung, Verdrehung
natürliche RB:
- Kräfte, Momente, Spannungsvektor
Beispiel / Standard DGL für finite elemente
Lösungsansätze für DGL
- Methode der gewichteten Residuen
- Variationsprinzip (Prinzip vom Minimum des elastischen Gesamtpotentials)
- Prinzip der virtuellen Arbeit
Methode der gewichtiteten Residuen
Da dieser Ansatz für RWA nicht generell exakte Antworten liefern kann, bleiben Residuen über. -> Ansatz gewichteter Residuen ->
fehler ist nicht an jedem punkt null sondern über ein wichtungssystem über das komplette integral = 0
aus starker -> schwache Form
Methode Variatsionsprinzip
Gleichgewicht: Verformung eines elastischen Systems, so dass das elastische Gesamtpotential einen stationären Wert (extremwert) annimmt
Regeln für natürliche und wesentliche RB
wenn in eine richtung eine natürliche RB gibt, kann es keine wesentliche geben
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Cartes-fiches
Grund idee gewichtete Residuen?
ist die gleichung korrekt
Mit welchem der angegebenen Ausdrücke lässt sich ausgehend vom elastischen Gesamtpotential die Forderung nach Gleichgewicht für das kontinuierliche System beschreiben?
Eigenschaften der Elementsteifigkeits matrix eines Stabelements im 1D-Fall?
Randbedingungen für Verschiebung und Längskraft?
Physikalische Forderungen bei FEM für Assemblierung?
Größe Gesamtsteifigkeitsmatrix
Zweidimensionales Fachwerk. Größe Gesamtsteifigkeitsmatrix des ungefesselten Systems?
Aufgabe des Preprozessor
Parameter definieren
Festlegung der Materialeigenschaften
Definition von Knoten und Elementen (Diskretisierung)
Randbedingungen (Auflager, Belastungen)
Ablauf FEM analyse
Preprozessor
Lösungsprozessor - Solver
Postprozessor
Aufgabe des Postprozessor
Auswertung der Ergebnisse (Plots, Diagramme, Listen)
Kritische Begutachtung der Resultate!
Ablauf einer FEM-Analyse in Ansys-Workbench
Vorteile Ansys gegenüber Programmierung mit APDL
•Aufbau von komplexen Projekten als Sammlung von Einzelmodellen
•Modellierung mit CAD-Oberfläche (Design-Modeler)
•Möglichkeit der Datenkorrektur für die spätere FE-Modellierung
•Assistenten zur Unterstützung der Modellierung, Vernetzung und Berechnung
•Erweiterbare Materialdatenbank•Berichtsassistent zum Aufbau einer Berechnungsdokumentation•Keine Programmierkenntnisse erforderlich
Nachteile Ansys gegenüber Programmierung mit APDL
•Umfangreiche Programmvielfalt
•Viele Automatismen und Blackbox-Mechanismen
•Menü-und Mausgesteuerte interaktive Bearbeitung
•Einbindung von Schleifen und Abfragen aufwendig•Großer Speicherbedarf
Was tun wenn komplexe geometrien nicht vernetzen (Ansys)
Was macht das defeaturing feature (ansys)
Was macht übergang, spannwinkel (ansys)
Wie kann man sich die netzqualität anschauen (ansys)
Erzeugung von Prismenschichten (ansys)
wo kann man sich die anzahl knoten und elemente (ansys)
wie sehen meshes aus
wie kann man das netz verfeinern an einer beliebigen stelle
kinematischen annahmen der benoulli hypothese
senkrecht zur balkenachse angeordnete querschnitte, diese bleiben eben zur verformten balkenachse
dehnung linear über querschnitt
dehnung linear über den querschnitt
natürliche wesentliche RB für ballken
Welche bedingung setzt ein balkensystem an die ansatzfunktionen und was bedeutet dies
stetiger und kompatibler übergang von durchbiegung v und winkel gamma zwischen elementen
kann nicht mit lagrange polynomen gelöst werden, da damit keine stetigkeit der verdrehung an knotenpunkten gewährleistet werden kann -> hermit polynom (schwer oder kaum aufzustellen für 3D fälle)
Wie sehen Hermit Polynome aus und was haben sie für eigenschaften
verschiebung N1 und N2
verdrehung N3 und N4 ableitung von denen = 1 bei 0 und 1
Nenne Vier FEM elementtypen inklusive ihrer speziellen bezeichnungen
CST -> Constant strain triangle -> linear 3 punkte
bilinear Q4
LST -> linear strain triangle -> 6 punkte
Q9 biquadratisch
Vorteil Triangle vs quadangles
Welche Regeln bzgl der ansatzfunktionen gibt es für die konsstruktion der FEM elementtypen
Regeln zur konstruktion:
mindestens vollständiges polynom vom grad 1 -> (konstante verzerrungen (spannungen + starrkörperbewegung abbilden)
keine richtung bevorzugen -> würde zu richtungsabhängigen material verhalten führen
verbesserung der genauigkeit zur vollständiges polynomgrad -> p-konvergenz
konstanter term für translation
linear term für starrkörperrotation
erste ableitung muss konstant sein um dehnung darzustellen
Ansatzfunktion, Verschiebungsansatz und eigenschaften von CST
was ist das problem generell mit linearen ansätzen
locking
konstante dehnung
Wie wird die Formfunktion für ein Q4 element gebildet und eigenschaften verglichen zu CST
Wie wird die Formfunktion eines Q9 elements gebaut
vollständiges ausmultiplizieren des quadratischen lagrangian polynoms von stab elementen
was ist das serendipity
Q8 / Srendipity
mittelknoten weglassen - weniger freiwerte, aber kaum genauigkeitsverlust
kein lagrange element
formfunktion aus interpolationsbedingung
wofür werden isoparametrische objekte benötigt?
umwandlung von natürlichen koordinaten auf physikalische koordinaten (für komplexe element geometrien)
Vorteile isoparametrische elemente
+ Ziel: Schiefwinklig und krummlinig berandete Scheibenelemente
- genauigkeit sinkt
- gebrochen rationale integranden -> numerische integration (B wird schwer zu berechnen weil determinante von J)
+ starrkörper translation und rotation verzerrungsfrei (für mechanische feldprobleme) abbilden können
Warum benötigt man numerische integration
zum lösen von gebrochen-rationalen integranden die bei der koordinatentranfamoramtion entstehen
was sind die eigenschaften des gaus integrators
macht fehler bei nicht polynomen
