Methode der finiten Elemente
TU Dresden 2021
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5 typen von nichtlinearitäten
1. nichtlineares materialverhalten (große deformation oder inelastizität)
2. geometrische nichtlinearitäten -> große verschiebungen, rotation
3. finite defmoation -> Bmatrix und gebietsintegration verschiebungsabhängig
4. nichtlineare RB, kontakt
5. gekoppelte feldprobleme
4.
was ist und wofür nutzt man das newton raphson verfahren
zum lösen von nicht linearen gleichungssystemen
newton raphson verfahren, bei jeder iteration wird eine neue tangente berechnet
was ist das modifiziozerte NR verfahren
vorteile -> berechnung von zwischenlösungen
-> und realisierung beliebiger last-zeit-verläufe
newton raphson verfahren, bei jeder iteration wird eine neue tangente berechnet
modifiziert: tangente wird nur einmal berechnet, nur eine tangentensteifigkeitsmatrix muss berechnet werden
3-6 iterationen - normal
wie kann man das problem lösen
kleinere kraft schritte
Inwiefern unterscheiden sich Finite-Elemente-Simulationen für statische und dynamische Probleme voneinander?
Ordnen Sie die folgenden Verhältnisse zwischen Geometrie- und Verschiebungsinterpolation den zugehörigen Konzepten zu.
gleiche ansätze - isoparametrisch
bessere Verschiebungs als Geometrieinterpolation - Subparametrisches Konzept
bessere Geometrie als Verschiebungsinterpolation - Superparametrisches Konzept
Welche Aussagen treffen für die reduzierte Massenmatrix (lumped mass matrix) bei dynamischen Problemen zu?
Welche der folgenden Aussagen treffen für die Lösung nichtlinearer Problemstellungen zu?
Ordnen Sie die nachfolgenden Beispiele der jeweiligen Art von Nichtlinearität zu!
Geometrische Nichtlinearität - Änderung der Querschnittsfläche einer Zugprobe aufgrund großer Verformungen
Materielle Nichtlinearität - Unterschiede im Be- und Entlastungspfad eines Materials
Nichtlineare Randbedingungen - Kontakt zwischen Projektil und Hindernis
Inwieweit unterscheiden sich die vollständige und reduzierte numerische Integration voneinander? Kreuzen Sie die richtige Antwort an!
Welche der folgenden Aussagen zum Verschiebungsansatz von Scheibenelementen sind richtig?
ansys in welcher ebene müssen 2d rechnungen erstellt würden
XY-Ebene
was ist richtig, was ist falsch
anzahl knoten x 2
Nenne 4 numerische Methoden
Finite Differenzen
Finite Volumen
Finite Elemente
Randelemente
Finite Differenzen Vor und Nachteile + Beispiel usecases
Finite Volumen Vor und Nachteile + Beispiel usecases
Finite Elemente Vor und Nachteile + Beispiel usecases
Randelemente Vor und Nachteile + Beispiel usecases
Was ist das Ziel/Ansatz von Finiten Elementen
Modellbildung für physikalische Phänomene
-> Randwertaufgabe bestehend aus:
- Differntialgleichung
- Randbedingungen (wesentliche // natürliche)
Unterschied natürliche wesentliche Randbedingungen
wesentliche RB:
- Verschiebung, Verdrehung
natürliche RB:
- Kräfte, Momente, Spannungsvektor
Beispiel / Standard DGL für finite elemente
Lösungsansätze für DGL
- Methode der gewichteten Residuen
- Variationsprinzip (Prinzip vom Minimum des elastischen Gesamtpotentials)
- Prinzip der virtuellen Arbeit
Methode der gewichtiteten Residuen
Da dieser Ansatz für RWA nicht generell exakte Antworten liefern kann, bleiben Residuen über. -> Ansatz gewichteter Residuen ->
fehler ist nicht an jedem punkt null sondern über ein wichtungssystem über das komplette integral = 0
aus starker -> schwache Form
Methode Variatsionsprinzip
Gleichgewicht: Verformung eines elastischen Systems, so dass das elastische Gesamtpotential einen stationären Wert (extremwert) annimmt
Regeln für natürliche und wesentliche RB
wenn in eine richtung eine natürliche RB gibt, kann es keine wesentliche geben
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was ist richtig, was ist falsch
anzahl knoten x 2
Nenne 4 numerische Methoden
Finite Differenzen
Finite Volumen
Finite Elemente
Randelemente
Finite Differenzen Vor und Nachteile + Beispiel usecases
Finite Volumen Vor und Nachteile + Beispiel usecases
Finite Elemente Vor und Nachteile + Beispiel usecases
Randelemente Vor und Nachteile + Beispiel usecases
Was ist das Ziel/Ansatz von Finiten Elementen
Modellbildung für physikalische Phänomene
-> Randwertaufgabe bestehend aus:
- Differntialgleichung
- Randbedingungen (wesentliche // natürliche)
Unterschied natürliche wesentliche Randbedingungen
wesentliche RB:
- Verschiebung, Verdrehung
natürliche RB:
- Kräfte, Momente, Spannungsvektor
Beispiel / Standard DGL für finite elemente
Lösungsansätze für DGL
- Methode der gewichteten Residuen
- Variationsprinzip (Prinzip vom Minimum des elastischen Gesamtpotentials)
- Prinzip der virtuellen Arbeit
Methode der gewichtiteten Residuen
Da dieser Ansatz für RWA nicht generell exakte Antworten liefern kann, bleiben Residuen über. -> Ansatz gewichteter Residuen ->
fehler ist nicht an jedem punkt null sondern über ein wichtungssystem über das komplette integral = 0
aus starker -> schwache Form
Methode Variatsionsprinzip
Gleichgewicht: Verformung eines elastischen Systems, so dass das elastische Gesamtpotential einen stationären Wert (extremwert) annimmt
Regeln für natürliche und wesentliche RB
wenn in eine richtung eine natürliche RB gibt, kann es keine wesentliche geben
Komplette Durchführung eines FE Ansatzes
Ausgangspunkt ist eine schwache Form
method der gew. residuen
variationsprinzip
prinzip der virtuellen arbeit
Dies erlaubt eine diskretisierung des kompletten berechnungsbereiches in finite elemente
diese haben eine einheitliche ansatzfunktion (linear, polynom…
müssen nur noch die einzelnen freiwerte (verschiebungen) berechnet werden
assemblierung der einzelnen gleichungen zu gleichungssystem
danach können aus einfachen ansatz die FE berechnet werden
-diskretisierung und algebraisierung der RWA
Stab lineares Lagrangein interpolationspolinom
Eigenschaften der Elementsteifigkeitsmatrix Ke:
Eigenschaften der Elementsteifigkeitsmatrix Ke:
quadratisch
größe [FG x FG]
symmetrisch Ke = ke^T
singulär -> daher nicht invertierbar
liegt daran, dass starrkörperbewegung noch nicht eingeschränkt ist
-> RB einfügen
Der Verschiebungsansatz ist abhängig von
Anzahl der Knoten pro Element
Anzahl der Freiwerte pro Knoten
Streichen von Zeilen und Spalten - r ist feste verschiebung
Strafparameterverfahren - r ist feste verschiebung
Berechnung der Reaktionskräfte aus strafparameterverfahren
Grundlage für die Assemblierung
Kompatibilität der Knotenverschiebungen
Gleichgewicht der Kräfte
Eigenschaften der Gesamtsteifigkeitsmatrix
symmetrisch
quadratisch [FGxFG]
schwach besetzt
Bandstruktur
singulär
schräge randbedingungen einbauen
alpha = winkel von verdrehter x achse zu originaler x achse!
RB für folgende Aufgabe
Generell zwei Methoden zum einarbeiten der Parameter und deren Eigenschaften
Strafparameterverfahren über modifiziertes elastisches gesamtpotential
+größe des GLS bleibt unverändert
RB nur näherungsweise erfüllt
Lagrangesche Multiplikation
mehr freiwerte
+RB exakt erfüllt
Was gewährleisten die polynomen ansatzfunktionen und was ist nicht gewährleistet
stetige verschiebung im Element
stetige Verzerrung im Element
stetige spannung im Element
-> Spannung und verzerrung unstetig über elementgrenzen
spannungsfelder im element verletzen gleichgewichtsbedingungen
Feher in de FEM und welche lassen sichvermeiden
Welche konvergenztypen gibt es
h-Konvergenz -> erhöhung der elementanzahl
p-Konvergenz -> erhöhung der ordnung der form-/ansatzfunktion (es muss ein vollständiges polynom enthalten sein)
linearer verschiebungsverlauf und schnittkraftverlauf für folgende konstellation
1
2
10 elemente
quadratische verschiebungsverlauf und schnittkraftverlauf für folgende konstellation
1
2 elemente
Konvergenzverhalten FE für lineare quadratische ansätze
