Algebraische Grundstruktur

Das inverse Element zu einem Element m ∈ M hat die Eigenschaft, dass eine Verknüpfung hiermit das neutrale Element e ∈ M ergibt. Wenn m′ ∈ M das zu m inverse Element ist, dann gilt m ∗ m′ = m′ ∗ m = e.

Eine Halbgruppe (M, ∗) nennt man eine abelsche (oder kommutative) Halbgruppe, falls für alle m1, m2 ∈ M das Kommutativgesetz gilt.

a + b = b + a

Im Unterschied zu einer Gruppe muss eine Halbgruppe kein neutrales Element besitzen und nicht jedes Element muss invertierbar sein. Eine Gruppe ist also eine Halbgruppe mit neutralem Element, in der jedes Element invertierbar ist.

Wir betrachten die Addition + : ℝ × ℝ → ℝ, definiert durch +(a, b) := a + b. Sie ist eine Verknüpfung auf ℝ, 0 ist das neutrale Element und für jedes a ∈ ℝ ist −a ∈ ℝ das inverse Element. Die Verknüpfung ist sowohl assoziativ als auch kommutativ. Damit ist (ℝ, +) eine abelsche Gruppe.

Die Multiplikation · : ℝ × ℝ → ℝ, definiert durch · (a, b) := a · b für alle (a, b) ∈ ℝ × ℝ, ist ebenfalls eine assoziative Verknüpfung auf ℝ mit 1 als neutralem Element. Damit ist (ℝ, ·) eine Halbgruppe mit neutralem Element.
Darüber hinaus gelten für + und · die genannten Distributivgesetze. Somit ist (ℝ, +, ·) ein Ring.

In R sind nicht unbedingt alle Elemente bezüglich · invertierbar. Die Menge der invertierbaren Elemente in R bezeichnet man mit R×. (R×, ·) ist eine Gruppe. Man nennt (R×, ·) die Einheitengruppe von R.

Aufzählung von Objekten

Sei M eine Menge. Unter einem n-Tupel (oder kurz Tupel) verstehen wir eine Aufzählung von n Objekten m1, …, mn ∈ M in einer Liste. Wir schreiben ein solches Tupel als (m1, …, mn).

eine Abbildung ∗ von M × M nach M

Sei M eine nichtleere Menge. Eine Abbildung ∗ von M × M nach M, also ∗ : M × M → M, nennen wir eine Verknüpfung auf M. Statt ∗ ((m1, m2)) für m1, m2 ∈ M schreiben wir abgekürzt auch m1 ∗ m

m′ ∈ M mit m ∗ m′ = m′ ∗ m = e. Beispiel:

In einer Halbgruppe (ℕ0, +) ist 0 das neutrale Element

Sei (M, ∗) eine Halbgruppe mit neutralem Element. Dann ist dieses neutrale Element eindeutig bestimmt.

siehe Lösung

Eine Menge R mit zwei binären Operationen + und · heißt Ring, wenn für diese Operationen die folgenden Gesetze gelten:

• (R,+) ist eine kommutative Gruppe.
• (R,·) ist Halbgruppe.
• Es gilt das Distributivgesetz.

Ein Ring R heißt kommutativer Ring, wenn für · das
Kommutativgesetz gilt.

Gibt es ein neutrales Element e (oft mit 1 bezeichnet!)

bzgl. der Multiplikation ·, mit a · e = a = e · a für alle a, so spricht man von einem Ring mit
Einselement oder unitärer Ring oder Ring mit Einheit.

In einem Ring (R,+,·) gilt immer:
a ·(b+c) = a · b+a · c und
(b+c)· a = b · a+c · a
für alle a,b, c ∈ R.

(ℕ, +, ·) ist kein Ring, denn es existiert kein neutrales Element in (ℕ, +).

invertierbar: wenn r in (R, ·) invertierbar ist Einheit: invertierbares Element r ∈ R