Lineare Algebra

Eine Aussage ist ein Wortlaut, welche eine objektive Realität beschreibt und welche genau einen Wahrheitswert hat (T = wahr oder F = Falsch).

Beispiele:

1. p: ”Euler war ein Mathematiker.” (T)

2. q: ”Alle Dreiecke weisen eine Symmetrieachse auf.” (F)

3. r: 5 + 3 < 10 (T)

Die Negation einer Aussage p, symbolisch mit \( {\displaystyle {\overline {p}}}\) bezeichnet, ist diejenige Aussage, welche genau dann wahr ist wenn p falsch ist und welche genau dann falsch ist, wenn p wahr ist.

Eine Aussageform ist ein Wortlaut, welcher eine oder mehrere Variablen enth¨alt und welche zu einer Aussage wird, wenn den Variablen geeignete Werte zugewiesen werden. 

Aussageformen sind ¨ublicherweise durch Kleinbuchstaben dargestellt, begleitet mit einer Liste von Variablen: p(x), q(x, y), r(x, y, z, w), . . .

Beispiele:

1. p(x) : ”x ist ¨alter als 30 Jahre.”

2. q(y) : ”Die geometrische Form von y ist ein Dreieck.”

3. r(x, y) : x + y < 10.

Bedeutet: "für alle" gilt.

Beispiel:

Ist p(x) die Aussageform p(x) : x 2 ≥ 0 so ist die Aussage ∀x ∈ R, p(x) wahr. 

Beudetet: ”es existiert”

Beispiel:

Ist p(x) die Aussageform p(x) : x − 1 = 2 dann ist die Aussage ∃x ∈ R, p(x) richtig, denn für die Zahl x = 3 gilt die Behauptung

Wir nennen die zusammengesetzte Aussage p und q von zwei Aussagen p und q eine Konjunktion, welche symbolisch mit p ∧ q ausgedr¨uckt wird. Die Konjunktion zweier Aussagen ist genau dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.

Die Disjunktion von zwei Aussagen p und q ist die Aussage p oder q, symbolisch bezeichnet mit p ∨ q. Die Disjunktion von zwei Aussagen ist genau wahr, wenn mindestens eine der beiden Aussagen wahr ist.

In gewissen F¨allen können nicht beide Aussagen wahr sein. In diesem Fall spricht man von ENTWEDER ODER mit der Notation p XOR q.

Beispiel:

p: ”Das Kind von Frau X ist ein Knabe.” (F)

q: ”Das Kind von Frau X ist ein M¨adchen.” (T)

p XOR q: ”Das Kind von Frau X ist entweder ein Knabe oder ein Mädchen.” (T)