Mathematik 1.Sem. AET
Mathe vokabeln/ Grundwissen
Mathe vokabeln/ Grundwissen
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Lernkarten
wie wendet man die Cramersche Regel an?
A*x=b
wenn nur einzelne unbekannte gesucht sind (z.b. z)
xi=detAi/detA Ai=Matrix A der i-Spalte wird durch Störvektor b erstetzt
1x1+1x2+1x3=6
2x1−1x2+2x3=6
3x1−2x2+1x3=2
(x gesucht) det Ai=
6 1 1
6 -1 2
2 -2 3
Funktionen und Kurven
was ist definitionsbereich was Bildbereich?
f: A->B
x -> f(x)
x ist Definitionsbereich
B oder f(x) ist Bildbereich
Diskretes Merkmal
Ein Merkmal heißt diskret, wenn es nur endlich viele oder höchstens diskrete abzählbar unendlich viele Ausprägungen besitzt. zBsp.: Einwohnerzahl, Steuerklasse (Gegenteil-> stetiges Merkmal)
Stetiges Merkmal
Stetiges Merkmal besitzt überzählbar viele Ausprägungen. zBp Lebensdauer, Größe
Was ist ein monom?
4x. Oder x^2/3. eingliedrig, keine addition oder subtraktion
Binom
Zweigliedriger ausdruck. X-3y. Oder 2x+4
Polynom
Mehrgliedriger ausdruck zb. A^4-b/2+5c+1
Grundmenge
G{. }enthält alle zahlen die für die belegung eines therms vorgesehen sind
Definitionsmenge
D=R\{0}.Enthält jene elemente die tatsächlich in den therm für die variablen eingesetzt werden dürfen. X achse
Lösungsmenge
Ist lösung.L={.}. Oder L=R\]1,3]
Wertemenge
Oder auch bildmenge einer funktion ist die menge aller möglichen funktionswerte die herauskommen können wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt. Y achse
Relation
(8,5),(7,9),(9,5) sind je x und y werte 1. komponente: definitionsmenge/ definitionsbereich, x 2. komp : wertemenge/ bildbereich y
Nullstelle
Wo der graph x achse schneidet, y=0
Ordinatenschnittpunkt
Wo graph y achse schneidet X=0
Fixpunkt
Sind punkte an denen der graph denselben x und y wert hat rechn lösung: statt y x=f(x)
Asymptote
Linie, der sich der Graph einer Funktion im Unendlichen immer weiter annähert
sin(30)=
1/2
sin(45)=
wurzel(2)/2
sin(60)=
wurzel(3)/2
cos(30)=
wurzel(3)/2
cos(45)=
wurzel(2)/2
cos(60)=
1/2
Komplexe zahlen: argument?
Winkel phi zwischen real u imaginäranteil
Komplexe Zahlen Komplexe Arithmetische Form/ Kartesische Form (algebraische Form)
Z=a+b*i
Komplexe Zahlen Polarform
z = r·(cos(φ) + j·sin(φ))
Komplexe Zahlen exponentialform
z = r·e^jφ
Funktionen und Kurven
was ist definitions und Bildbereich? D->B
x: definitions, y bildbereich oder auch f:A->B A:
jene x die ich in die Funktion einsetzen darf
Bildbereich: jene y die als Funktionswerte herauskommen
Wie errechnet man: Nullstellen, Polstellen und Verhalten für große x?
bei Bruch: Nullstellen: Zähler=0 setzen, bzw allg y=0 d.h. y geht gegen 0 also schnittpunkt mit x achse
Polstellen: Nenner=0 setzen nulldivision! d.h. y geht gegen unendlich: stelle an der y gegen unendlich wird
Verhalten für große x: Führungsterm: lim x->unendl
Was ist eine Bijektive Funktion?
zu jedem y element aus Bildbereich gibt es enau ein x element aus Definitionsbereich (jedes y hat nur ein x)
Floor Funktion?
x->⌊x⌋
Abrunden/ abschneiden beim komma
ceiling Funktion?
x->⌈x⌉
aufrunden auf nächst größere ganze zahl
Hintereinanderausführung von Funktionen
(f∘g)(x)=f(g(x))
zuerst g(x) danach f(x) ausführen
z.b. f(x)=x^2, g(x)=x+3 (f∘g)(x)= (x+3)^2
Inverse Funktion: wie wird sie gefunden?
2 Möglichkeiten
1. Möglichkeit x und f(x)^-1 vertauschen x->f^-1 f->x
d.h. bei Funktion f(x)=2x+4
wird x=2f^-1+4
->(x-4)/2=f^-1 =x/2-2
denn f(f^-1)=x
2. Möglichkeit um 1.Mediane spiegeln
was muss eine Funktion sein um sie zu invertieren?
bijektiv (jedes y besitzt nur ein x)
bei der inversen Funktion werden Bildbereich und Definitionsbereich vertauscht
qualitative skizzen:
was ist eine gerade Funktion?
ist symetrisch um die y-Achse
Polynomfunktion hat nur gerade exponenten
qualitative skizzen:
was ist eine ungerade Funktion?
ist symetrisch zum Ursprung/ punktsymetrisch zum Ursprung, gespiegelt um beide Achsen
z.b. sin
Polynomf hat u.a. Auch ungerade exponenten x^1 ungerade
wie nennt man Funktionen ohne Symetrie?
weder gerade noch ungerade
qualitative skizzen:
wie sehen Potenzfunktionen aus je höher ihr Grad wird, was ist mit Nullstellen?
je höher die Potenz, desto flacher wirwd die Kurve zwischen 0 und 1
die Nullstellen werden vielfache (entsprechend der potenz) z.b. x^3 hat 3 Nullstellen alle bei x=0
qualitative skizzen:
eine gerade Polynomfunktion (symetrisch um y) welche Potenzen hat diese?
nur gerade Potenzen
zb 2^4-3x^2+1 (hat dementsprechend 4 Nullstellen da die höchste Potenz 4 ist)
qualitative skizzen:
eine Ungerade Polynomfunktion (spiegelsymetrisch zum Ursprung, um x und y gespiegelt) welche Potenzen hat diese?
Ungerade Potenzen
zb -4x^3+x (führende Funktion: Potenz vom Grad 3-> 3 Nullstellen)
