7-9 Reihen, Funktionenfolgen, Potenzreihen, Differentialrechnung, Ableitung und Integral
Analysis vom ETH-Basisjahr Mathematik bzw. Physik oder RW; Dozent Peter Jossen; zu den Kapiteln 7, 8 und 9 aus der Vorlesung
Analysis vom ETH-Basisjahr Mathematik bzw. Physik oder RW; Dozent Peter Jossen; zu den Kapiteln 7, 8 und 9 aus der Vorlesung
Kartei Details
| Karten | 36 |
|---|---|
| Sprache | Deutsch |
| Kategorie | Mathematik |
| Stufe | Universität |
| Erstellt / Aktualisiert | 18.06.2020 / 05.03.2022 |
| Lizenzierung | Namensnennung (CC BY) (Skript: Analysis I und II von Peter Jossen - https://metaphor.ethz.ch/x/2020/fs/401-1262-07L/sc/SkriptAnalysis.pdf) |
| Weblink |
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Stapel: 8 Differenzialrechnung
Ableitung
\(f: (a,b) \to \mathbb C\) sei bei \(x_0 \in (a,b) \not = \{\}\) differenzierbar, falls der folgende Grenzwert existiert:
\(f'(x_0) = \lim \limits_{ \begin{smallmatrix}x \to x_0 \\ x \not = x_0\end{smallmatrix} }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =\lim \limits_{ \begin{smallmatrix}h \to 0 \\ h \not = 0\end{smallmatrix} }\frac{f(x_0 + h)}{h}\)
\(f\) ist differenzierbar auf \((a,b)\), falls in jedem Punkt differenzierbar. Dann nennen wir \(f' : (a,b) \to \mathbb C\) Ableitung von \(f\).
Linksseitige Ableitung: \(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to x_0 \\ x < x_0 \end{smallmatrix}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) (rechts-s. analog)
Ableitbar bei \(x_0 \implies \)stetig bei \(x_0\)
Für \(f,g: D \to \mathbb R\) ableitbar bei \(x_0 \in D\) gilt:
\((f+g)\) und \((f\,g)\) sind ableitbar bei \(x_0\) und es gilt:
- \((f+g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)\)
- \((f\,g)'(x_0) = f'(x_0) \, g(x_0) + f(x_0) \, g'(x_0)\)
Leibnitzregel
Seien \(D,E \subseteq \mathbb R\) offen. Seien \(f: D \to E\) und \(g: E \to \mathbb R\) ableitbar. Die Funktion \((g \circ f) : D \to \mathbb R\) ist ableitbar und es gilt:
\((g \circ f)'(x_0) = g'(f(x_0)) \, f'(x_0)\)
Ableitung der Inversen
Seien \(D,E \subseteq \mathbb R\) offen. \(f: D \to E\) stetig, bijektiv und ableitbar. Sei \(g = f^{-1} : E \to D\) stetig.
Ist bei \(x_0 \in D\) \(f'(x_0) \not = 0\), so gilt:
\(g\) ist bei \(f(x_0) =: y_0\) ableitbar und es gilt:
\(g'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}\)
Klassen von stetig diff'baren Funktionen
Sei \(D \in \mathbb R\) ohne isolierte Punkte.
\(\mathcal C(D) = \mathcal C^0(D) :=\) Klasser der stetigen, reellwertigen Fct. auf D
\(\mathcal C^1(D) := \) Vektorraum aller stetig diff'baren Fct. auf D
\(\mathcal C^n (D) := \) Vektorraum aller Fct. \(f\) auf D mit \(f' \in \mathcal C^{n-1}(D)\)
\(\mathcal C^\infty (D) = \bigcap\limits_{n=0}^\infty \mathcal C^n(D)\) (glatte Funktionen)
Lokales Minimum von \(f\)
(Sei \(f: D \in \mathbb R \to \mathbb R\) Funktion.)
\(x_0 \in D\) lokales Maximum von \(f\), falls \(\exists \varepsilon > 0 : \) \(f(x) \le f(x_0) \quad \forall x \in B(x_0, \varepsilon)\cap D\)
isoliertes Maximum wenn \(f(x) < f(x_0)\)
Bei lokalem Maxima oder Minima gilt mindestens eine der folgenden Aussagen:
- \(x_0\) ist Randpunkt von \(D\)
- \(f\) nicht ableitbar bei \(x_0\)
- \(f\) ist ableitbar bei \(x_0\) und \(f'(x_0) =0\)
Mittelwertsatz (V1, V2)
Sei \(D \subseteq \mathbb R\) Intervall, \(f: D \to \mathbb R\) ableitbar, \(a < b \in D\)
- Wenn \(f(a) = f(b)\), dann existiert \(x \in (a,b)\) mit \(f'(x) = 0\) (Satz von Rolle)
- Es existiert \(x \in (a,b)\) mit \(f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
( Lässt sich auf Satz von Rolle zurückführen: \(g(x) := f(x) - \frac{f(b)- f(a)}{b-a}(x-a)\) mit \(g(a)=g(b)=f(a)\) )
Generell sagt Mittelwertsatz: Mittlere Steigung wird erreicht.
Mittelwertsatz von Cauchy
Seien \(f,g: [a,b] \to \mathbb R\) diff'bar.
Dann existiert \(x \in (a,b)\) mit \(\frac{g'(x)}{f'(x)} = \frac{g(b)-b(a)}{f(b)-f(a)}\) bzw. \(g'(x) \, \big( f(b) - f(a) \big) = f'(x) \, \big( g(b) - g(a) \big) \)
Zurückführen auf Satz von Rolle mit \(F: [a,b] \to \mathbb R\), \(F(x) = g(x) \big( f(b) - f(a) \big) - f(x) \big( g(b) - g(a) \big)\), \(F(a) = f(b) g(a) - f(a) g(b) = F(b)\)
