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Alexander Wurm
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Sprache Italiano
Stufe Mittelschule
Erstellt / Aktualisiert 15.06.2020 / 15.06.2020
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Was ist das Ziel der EFA?

 

Wie werden die Faktoren konstruiert? D.h. was sollen die Faktoren gut repräsentieren?

  • Ziel der explorativen/exploratorischen Faktorenanalyse (EFA) ist die Beschreibung der Zusammenhänge zwischen einer Reihe von beobachteten (manifesten) Variablen mittels einer möglichst kleinen Anzahl an Faktoren (latenten Variablen) --> Datenreduktion

 

  • Faktoren werden mathematisch so konstruiert, dass sie die gemeinsame Varianz (Korrelationen zwischen) einer größeren Zahl an (beobachteten) Variablen gut repräsentieren
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Die Bedeutung synthetischer Variablen:

  • „Synthetische“ Variable = Variable, die wechselseitig korrelierten Variablen zugrunde liegt

 

  • Partialisiert man den Faktor aus den Variablen heraus, verringern sich die wechselseitigen Korrelationen bedeutsam

 

  • Der Faktor „erklärt“ also den wechselseitigen Zusammenhang zwischen Variablen (wobei die inhaltliche Interpretation der Faktoren dem/der ForscherIn --> im rein explorativen Fall

 

  • Partialisiert man einen Faktor aus den Variablen heraus, bleibt (meist) Restvarianz übrig

 

  • Diese Restvarianz kann wiederum durch einen neuen „synthetischen“ Faktor erklärt werden

 

  • Faktorenanalyse ist ein Daten reduzierendes Verfahren Es werden weniger Faktoren als Variablen benötigt, um den wechselseitigen Zusammenhang der Variablen (ausreichend gut) zu erklären
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Was bedeutet Faktorwert?

Was bedeutet Faktorladung?

Faktorwerte

  • Der Faktorwert ������ einer Person v kennzeichnet die Position dieser Person auf dem Faktor q
  • Messwerte der Personen auf den latenten Variablen

 

Faktorladung

  • Eine Faktorladung ������ entspricht der Korrelation einer Variablen i und einem Faktor q im Falle unkorrelierter Faktoren
  • Im Falle korrelierter Faktoren handelt es sich bei den Faktorladungen um semipartielle standardisierte Regressionsgewichte
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Was ist die Kommunalität?

Lizenzierung: Keine Angabe

 

Die Kommunalität (ℎ2) einer Variablen i gibt an, in welchem Ausmaß die Varianz dieser Variablen durch die Faktoren aufgeklärt wird

d.h. die K. gibt an, wieviel Varianz durch die Faktoren in einem Item erklärt wird

 

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Was ist der Eigenwert eines Faktors?

Lizenzierung: Keine Angabe

Er gibt an, wie viel von der Varianz aller Variablen durch diesen Faktor erfasst wird

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Welche drei gängigen Methoden der Faktorenanalyse werden unterschieden? Was ist die Besonderheit der PCA?

 

 

  • Hauptkomponentenanayse (PCA)
  • Hauptachsenanaylse (PAF)
  • Maximum-Likelihood-Faktorenanalyse
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Was ist das Ziel der PCA? Kann man die Daten inhaltlich interpretieren?

Was ist das alleinige Ziel der PCA? Kann man die Daten nach der PCA inhaltlich interpretieren?

 

Ziel ist die reine Datenreduktion, man kann damit aber keine inhaltlich interpretierbaren latenten Variablen identifizieren, da immer die komplette Varianz (auch die Fehlervarianz) für die Schätzung der Ladungen verwendet wird

Man hat auch nicht das Ziel, das Ergebnis inhaltlich zu erklären, es geht rein um die Datenreduktion

 

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Welche Varianz wird betrachtet

a) bei der Hauptkomponentenanalyse (PCA)?

b) bei der Hauptachsenanalyse und der Maximum-Likelihood-Schätzung?

a) Hauptkomponentenanalyse -->  Gesamte Varianz wird verwendet

 

b) Hauptachsenanalyse und Maximum-Likelihood-Faktorenanalyse

-->  Nur gemeinsame (wahre) Varianz wird verwendet

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Was ist das Ziel der Faktorenanalyse bzgl. der Abweichung von den beobachteten Werten?

Welche 2 Restriktionen gelten dei der Faktorextraktion?

Ziel: Xsi (Faktorwerte) und Lambda (Faktorladungen) müssen so gewählt sein, dass die vorhergesagten Werte möglichst gering von den beobachteten Werten abweichen

Vorgaben der Extraktion:

  • Faktoren sind wechselseitig unabhängig voneinander (d.h. unkorreliert)
  • Faktoren klären sukzessive maximale Varianz auf
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Ziel der PCA?

Wie funktioniert die Hauptkomponentenanalyse (=PCA?) Was ist das Ziel?  Wie werden die beiden Hauptkomponenten erklärt? (in Bezug auf Varianzaufklärung und Abhängigkeit voneinander?)

Ziel: Ziel: Datenreduktion (keine Modellannahmen, rein deskriptiv), Verwendung der Gesamtvarianz, man hat keine Idee, wie man das Ergebnis inhaltlich erklären kann/soll

Einfachster Fall:

Zwei Variablen z1 und z2 -->  Die PCA zerlegt die beiden beobachteten Variablen wie folgt

��1=��11⋅��1+��12⋅��2

��2=��21⋅��1+��22⋅��2

 

--> man sieht, dass ei hier fehlt, d.h. die gesamte Varianz wird verwendet. Die beiden Hauptkomponenten werden so bestimmt, dass sie sukzessive maximal Varianz erklären (Ziel der Varianzmaximierung) und unabhängig voneinander sind

 

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Geometrische Veranschaulichung des Extraktionsprinzips bei der PCA:

Ein kleiner Winkel bedeutet? (hohe oder niedrige Korrelation?)

Was bedeutet ein Winkel von 90°?

Kleiner Winkel = hohe Korrelation

90° = Korrelation von 0

Die Summe aller Winkel zu Faktor 1 sollte möglichst gering sein

 

Die beiden Hauptkomponenten werden so bestimmt, dass sie sukzessive maximal Varianz erklären (Ziel der Varianzmaximierung)

 

Generell: Die Anzahl extrahierter Hauptkomponenten entspricht der Anzahl an Variablen, die in die Analyse eingehen

 

Datenreduktion? -->   Auswahl der Anzahl an Hauptkomponenten, mit denen die Variablen ohne großen Informationsverlust ersetzt werden können

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Wie wird die Hauptachsenanalyse (PAF) durchgeführt?

In welche drei Bestandteile wird die Gesamtvarianz zerlegt?

Welche Varianz wird faktorisiert, d.h. zu Faktoren zusammengefasst?

Bei der Hauptachsenanalyse wird die Gesamtvarianz zerlegt in:

  • Gemeinsame Varianz: Varianzanteil, den sich die manifesten Variablen teilen
  • Spezifische Varianz: Spezifische Varianz einer manifesten Variablen, die sie mit keiner anderen Variable teilt
  • Fehlervarianz: Messfehlereinflüsse

 

Faktorisiert wird die gemeinsame Varianz, d.h. die gemeinsame Varianz stellt das dar, was die Variablen aufgrund der (unbekannten) zugrundeliegenden latenten Struktur miteinander teilen

Diese gemeinsame Varianz ist unbekannt (genauso wie der Anteil spezifischer Varianz und Fehlervarianz) Kommunalitätenproblem

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Was ist das Kommunalitätenproblem? Wie geht man mit diesem um?

Die gemeinsame Varianz ist unbekannt (genauso wie die spezifische und die Fehlervarianz)

Lösung: Schätzung der Kommunalitäten  --> iterative Schätzung (Kommunalitäteniteration)

Vorschläge für Startwerte des Iterationsverfahrens:

a) Quadrat der multiplen Korrelation der Variablen mit allen anderen Variablen (SPSS-Voreinstellung)

b) höchste bivariate Korrelation der Variablen mit einer anderen Variablen

 

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Wie funktioniert das Prinzip der PAF (principal axis factor analysis) ?

Prinzip

(1)Durchführung einer Hauptkomponentenanalyse mit den Startwerten

(2)Ersetzen der Startwerte durch die mit der ersten Hauptkomponentenanalyse erhaltenen neuen Kommunalitätenschätzer

(3)Durchführung einer erneuten Hauptkomponentenanalyse

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Wie funktioniert die Maximum-Likelihood-Schätzung?

Schätzung von Populationsparametern aus Stichprobenstatistiken

 

Verwendung eines Maximum-Likelihood-Schätzers zur Bestimmung der Ladungen und Fehlervarianzen

 

Prinzip: Finde Schätzer für die Modellparameter, für die die Differenz zwischen der modellimplizierten Korrelationsmatrix (meist aber Kovarianzmatrix) und der Stichprobenkorrelationsmatrix (bzw. Stichprobenkovarianzmatrix) minimal ist (ausführlicher in Kurs 3444 im Rahmen von Strukturgleichungsmodellen behandelt!)

 

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Wie viele Faktoren sollten extrahiert werden?

In der FA werden q wechselseitig unabhängige Faktoren bestimmt, die sukzessiv maximale Varianz aufklären

  • Informationsreduktion? Zugrunde liegende gemeinsame Konstrukte?
  • Extraktion von wenigen Faktoren, die „hinreichend gut“ die wechselseitigen Zusammenhänge zwischen den Variablen aufklären
  • Es sollten immer, wenn möglich, auch inhaltliche Vorüberlegungen einfließen!
  • Ansonsten werden bestimmte Kriterien herangezogen, die allerdings zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und unterschiedlich gut geeignet sind
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Kriterien für die Faktorextraktion:

  • Inhaltliche Vorüberlegungen
  • Eigenwertkriterium größer eins
  • Scree-Test nach Cattel
  • Parallelanalyse nach Horn
  • Minimum-Average-Partial-Test (MAP-Test)
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Was bedeutet das Eigenwertkriterium? --> ist ein schlechtes Kriterium, besser sind die anderen Kriterien

Idee: Ein Faktor sollte mehr Varianz aufklären als ein einzelnes Item an Varianz besitzt

  • Kriterium: Interpretation derjenigen Faktoren, deren Eigenwert größer als 1 ist
  • Probleme: Extraktion von zu vielen Faktoren (bei großer Anzahl an Variablen)
  • Eigenwerte stellen nur Populationsschätzer dar -->  KI sollten berücksichtigt werden
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Scree-Test nach Catell

Idee: Substantielle Faktoren sollten Eigenwerte haben, die sich deutlich von denen der anderen unterscheiden.

  • Vorgehen: Es wird ein Diagramm („Screeplot“) des Eigenwertverlaufs der Faktoren erstellt und inspiziert
  • Kriterium: Diejenigen Faktoren extrahieren, die links vor einem „Knick“ im Eigenwertverlauf liegen
  • Problem: Eigentlich kein „(statistischer) Test“, sondern ein Verfahren der visuellen Inspektion, daher oftmals Subjektivität der Beurteilung.
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Vorgehen bei der Parallelanalyse nach Horn:

Lizenzierung: Keine Angabe

Vorgehen:
(1)aus einer Population, in der die Variablen unkorreliert sind, wird eine Zufallsstichprobe gezogen (hinsichtlich i und Personenanzahl selber Umfang wie in der tatsächlichen Stichprobe)
(2)die Korrelations-Matrix dieser Stichprobe (alle Zusammenhänge zwischen den Variablen sind nur zufällig) wird einer EFA unterzogen
(3)Der Verlauf der Eigenwerte dieser Analyse („Zufallseigenwerte“) wird in einem Diagramm mit den Eigenwerten der EFA der tatsächlichen Stichprobe abgetragen

 

Kriterium: Diejenigen Faktoren sind bedeutsam (über Zufallsniveau), deren Eigenwerte über dem Schnittpunkt der beiden Eigenwertverläufe liegen.

  • Einwand: Warum werden Faktoren, die knapp über der Linie liegen, extrahiert und diejenigen, die knapp unter der Linie liegen, nicht?

 

  • Aber: Führt in den meisten Fällen zu einer angemessenen Extraktion, insgesamt zu empfehlen (Fabrigar et al., 1999).

 

  • Praktische Durchführung: Die Zufallsdaten können selbst erzeugt werden, dies ist jedoch zunächst noch nicht in SPSS verfügbar, sondern erfordert ein Makro (s. Tutorial)
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Wie funktioniert/läuft der MAP-Test (ab)? Minimum-Average-Partial-Test

Minimum-Average-Partial-Test (MAP-Test)
Schritt 1:

  • Nach Durchführung einer PCA wird die erste Hauptkomponente aus der Korrelationsmatrix herauspartialisiert Residualmatrix
  • Berechnung der mittleren quadrierten Partialkorrelation -->  Mittel aus den quadrierten Korrelationen der Residualmatrix (so heißt, die, die noch verbleibt, quasi der Rest vom Schützenfest)

Schritt 2:

  • Aus der Residualmatrix wird die zweite Hauptkomponente herauspartialisiert#
  • Berechnung der mittleren quadrierten Partialkorrelation berechnet

Weitere Schritte:

  • Wiederholung dieser Schritte bis die mittlere quadrierte Partialkorrelation ein Minimum erreicht -->  Extraktion der Anzahl der Komponenten an diesem Minimum (die mittlere quadrierte Partialkorrelation erreicht ein Minimum, steigt dann aber wieder an und alles am Minimum wird extrahiert)
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Vorgehen bei der Maxmimum-Likelihood-Faktorenanaylse

Modelltestung unter Verwendung eines Likelihood-Quotienten-Tests (Χ2−Test)

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 Probleme der Interpretierbarkeit einer "Anfangslösung" (d.h. erstes Ergebnis der PCA oder PAF)

Oftmals sind die Ergebnisse einer Faktorenanalyse, unabhängig von dem verwendeten Verfahren (z.B. PCA oder PAF), inhaltlich nicht interpretierbar

  • Zum Beispiel ist in Folge der Eigenschaft der Vorgabe, dass die extrahierten Faktoren sukzessiv maximale Varianz erklären, dass viele Variablen hoch auf dem ersten Faktor laden und niedrig(er) auf allen weiteren Faktoren

 

  • Aus diesem Grund folgt in der Regel nach Extraktion der Faktoren eine erneute Rotation dieser Faktoren, um die Lösung zu optimieren
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warum ist eine Rotation der Anfangslösung zulässig?

Die Anfangslösung stellt eine von (unendlich) vielen möglichen Lösungen dar

  • Dies liegt daran, dass das Modell nicht identifiziert ist und man bestimmte (und eben unterschiedliche) Festlegungen (Restriktionen) vornehmen muss (Identifikationsproblem)

 

  • Eine solche Festlegung ist durch das Kriterium der sukzessiven maximalen Varianzaufklärung (und auch Orthogonalität der Faktoren) vorgenommen worden

 

  • Ausgehend von dieser Anfangslösung kann aber nun nach besser interpretierbaren, aber (mathematisch) äquivalenten Lösungen gesucht werden
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Welche alternative Lösung ist besser interpretierbar? (nach Roation)

Ziel der Rotation ist eine sog. Einfachstruktur Ladung der Variablen auf den Faktoren ist hoch oder nahezu Null

  • Diese rotierte Lösung stellt eine mathematisch äquivalente Rotationstransformation dar, die allerdings besser zu interpretieren ist

 

  • Zwei generelle Klassen von Rotationstechniken
    • Orthogonale Rotationen (Unabhängigkeit der Faktoren wird beibehalten)
    • Oblique (schiefwinklige) Rotationen (Korrelationen zwischen den Faktoren werden zugelassen)

 

  • Unabhängig von der Rotationsart gilt: Zwar ändern sich die Faktorladungen, die erklärte Gesamtvarianz bleibt jedoch gleich
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Beispiel für eine orthogonale Rotation:

hier

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Beispiel oblique Rotation:

hier

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Arten der orthognalen Rotation:

Transformation der Faktoren, die gewährleistet, dass die Faktoren auch nach der Rotation noch unkorreliert sind

  • Wenn die Faktoren tatsächlich unkorreliert sind, lässt sich das neue Ladungsmuster gut interpretieren
  • Verschiedene Rotationstechniken: VariMax, QuartiMax, EquaMax

 

VariMax-Rotation

  • Gebräuchlichste orthogonale Rotationstechnik
  • Hintergrund: das Einfachstrukturkriterium verlangt, dass pro Faktor einige Variablen möglichst hoch u. die anderen möglichst niedrig laden
  • dies ist mit der Forderung gleichzusetzen, dass die Varianz der quadrierten Faktorladungen pro Faktor möglichst groß ist

Zielkriterium:

  • die Faktoren werden orthogonal so rotiert, dass die Varianz der quadrierten Faktorladungen pro Faktor maximal ist

Weitere orthogonale Rotationsverfahren

  • QuartiMax: Summe der vierten Potenzen der Faktorladungen wird maximiert, was einen generellen, dominierenden Faktor eher zulässt

 

  • EquaMax: Kombination aus VariMax und QuartiMax.
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Prinzip der obliquen Rotation

Oblique (schiefwinklige) Rotation

  • Transformation, die korrelierte Faktoren zulässt
  • Dadurch wird oftmals eine Einfachstruktur der Ladungen (noch) besser erreicht und die Interpretierbarkeit erleichtert
  • Zudem ist die Annahme der Korreliertheit oft theoretisch plausibel
  • Da die Faktorladungen nicht mehr den Korrelationen zwischen einem Faktor und Item entsprechen, stellt die Lösung zwei Matrizen bereit:
  • Mustermatrix (Ladungsmatrix): enthält die Faktorladungen zur Interpretation
  • Strukturmatrix: enthält die Korrelationen zw. den Faktoren u. Items

Nach obliquer Rotation sollten zusätzlich die Korrelationen zwischen den Faktoren angegeben werden

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zentrale Techniken: Oblique Rotation

Benötigen Richtwerte für die Stärke der Faktorenkorrelationen.

  • ProMax: Transformation der Lösung einer orthogonalen VariMax-Rotation unter Zulassung von Korrelationen zwischen Faktoren

 

  • ObliMin, direkt: Die Kovarianz der quadrierten Ladungen, die zu verschiedenen Faktoren gehören, wird minimiert

 

  • QuartiMin, direkt: Spezialfall der ObliMin-Rotation (Delta-Parameter wird auf 0 gestellt); hat vorteilhafte Eigenschaften, ist insgesamt als Technik der obliquen Rotation zu empfehlen (Fabrigar et al., 1999)