22FS Banking and Finance II: Modul 4 - QF

\(Price=\frac{cN}{\frac{y_s}{2}}*(1-\frac{1}{(1+\frac{y_s}{2})^{2T}})+\frac{N}{(1+\frac{y_s}{2})^{2T}}\)

y_s = Zinssatz bei halbjährlicher Verzinsung (s für semi-annual)

Die modifizierte Duration D^∗ ist eine normierte Version der Dollar-Duration. 

\(D^*(y)=\frac{DD(y)}{P(y)}=-\frac{P^´(y)}{P(y)}\)

\(P_\infty(y)=\frac{cN}{y}\)

cN = Coupon

y = Diskontierungssatz

\(Price=\frac{cN}{y}*(1-\frac{1}{(1+y)^T})+\frac{N}{(1+y)^T}\)

Es kann die Annuitätsformel verwendet werden, dies macht es einfacher, wenn viele Cash Flows anfallen sollten. Die obige Formel kann leicht modifiziert werden für periodische Verzinsung und Cash Flows.

\(DD=-P^´(y)=-\frac{dP}{dy}=D^**P(y)\)

Die Modifizierte Duration berechnet sich dabei wie folgt:

\(D^*=\frac{1}{1+y}*\frac{1}{P(y)}(\sum^T_{t=1}\frac{t*cN}{(1+y)^t}+\frac{T*N}{(1+y)^T})\)

Die Macaulay Duration ist:

\(D_{Macaulay}=\frac{1}{P(y)}(\sum^T_{t=1}\frac{t*cN}{(1+y)^t}+\frac{T*N}{(1+y)^T})\)

Folglich:

\(D^*=\frac{1}{1+y}*D_{Macaulay}\)

\(convexity=\frac{1}{P(y)}\sum^T_{t=1}\frac{t(t+1)*cN}{(1+y)^{t+2}}+\frac{T(T+1)*N}{(1+y)^{T+2}}\)

Die Dollar Konvexität ist die zweite Ableitung des Anleihenpreises nach dem Zinssatz.

Die Duration unterschätzt den Preis der Obligation nach der Zinsänderung und ist deshalb immer pessimistisch. Bei einem Zinsanstieg wird die Preisänderung überschätzt und bei einer Zinssenkung wird die Preisveränderung unterschätzt.

Die Macaulay Duration ist der gewichtete Mittelwert der Zeitpunkte, zu denen der
Anleger Zahlungen aus einem Wertpapier erhält. Als Gewichtungsfaktoren dieses Mittelwertes
werden die jeweiligen Anteile des Barwertes der Zins- und Tilgungszahlungen
zum jeweiligen Zeitpunkt am Gesamtbarwert aller Zahlungen herangezogen.

\(D_M(y)=(1+y)D^*(y)\)

Die erste Ableitung des Preises nach dem Zinssatz multipliziert mit -1

Die Einheit der Dollar-Duration sind Jahre.

Sie misst die negative Steigung der Tangente an die Preis-Rendite-Kurve im Startpunkt y₀

\(DD=-P^´(y)\)

Dem Abschätzen des Effektes von Veränderungen von Risikofaktoren (hier Zins) auf den Wertpapierpreis.

Dies ist von Bedeutung für das Hedging und das Risikomanagement.

• regelmässige Coupon Zahlungen (Prozentsatz des Nennwerts )
• kein Rückzahlungsdatum und somit keine Nennwertrückzahlung
• unendliche Laufzeit

Die interne (jährliche) Zuwachsrate einer Obligation.

1.) Der Preis sinkt

2.) Der Preis sinkt

\(P(y)=\frac{C_T}{(1+y)^T}\)

C_T: Nennwert zum Zeitpunkt der Fälligkeit T

y: Diskontierungssatz/Abzinsungszins

Das Risikomanagement befasst sich mit Veränderungen der Wertpapierpreise infolge von Veränderungen von bestimmten Variabeln, den sogenannten Risikofaktoren.

Haupt-Risikofaktor für Obligationen ist der aktuelle Zinssatz.

• Staatsanleihen (Staaten)
• Kommunalanleihen (Städte und Gemeinden)
• Hypothekaranleihen (spezielle Organisationen, die den Erlös in Immobilienkredite investieren)
• Unternehmensanleihen (grosse, meist börsenkotierte Unternehmen)