Fachdidaktik Mathematik Fachspezfisch unterrichten

• Vorwissen der SuS beachten
• Können alle Schülerinnen und Schüler mitdenken? (RGM3)
• Besteht für die Lernenden ein sinnvoller Entscheidungsspielraum? (RGM3)

Siehe Bild

Forderung an Aufgaben:

• Möglichkeiten zum aktiven/entdeckenden Lernen (Konstruktivismus)
• Mathematik soll als ein stimmiges und authentisches Bild vermittelt werden. (Sinnzusammenhänge und Grenzen aufzeigen. Mögliche Anwendungen erklären und modellieren)
• Sie soll die möglichkeit bieten, Mathematik in einem sozialen Kontext zu lernen (kommunizieren, argumentieren, voneinander lernen

Aufgabentypen:

• Modellierungsaufgaben (zb. Fermieaufgaben)
• Problemlöseaufgaben
• Argumentationsaufgabe

Wie lassen sich Aufgaben öffnen?
 

• Dokumentieren von mehreren Lösungen. Offene Form: Löse die Aufgabe auf mind. Drei grundlegend unterschiedliche Arten
• Zielumkehr: 
  • Geschlossene Form: Finde alle Symmetrien eines echten Rechtecks. •
  • Offene Form: Gib drei wesentlich verschiedene Figuren an, die genau dieselben Symmetrien wie ein echtes Rechteck haben. Erkläre, wie du die Figuren gefunden hast.
• Abwandeln der Aufgabe durch SuS:
• Weglassen von informationen:
• Geschichten erfinden/ selbst Aufgaben erfinden:
• Fehler suchen
• Aufgaben variieren/ What-if-not-Strategien Dreiecksaufgabe
• Vorschläge sammeln und gemeinsam begutachten
• Öffnen von Textaufgaben

Risiken und Chancen:

• Offene Aufgaben erlauben: 
  • Zugänge auf verschiedenen Niveaus 
  • Eigene Fragestellungen
  • Verschiedene Bearbeitungstiefen 
  • Entscheidungen der Lernenden 
  • Individuelle Formulierungen und Darstellungen
  • Explorieren und Erforschen

 
Probleme:

• Die Korrektur ist schwierig
• Die Zuweisung zu den Kompetenzaspekten wird bei starker Öffnung oft schwieriger.

→Das MBU(Mathematische Beurteilungsumgebung) Grundsatz: Die Aufgaben soweit öffnen, dass eine Bewertung vom Aufwand her leistbar und auf Kriterien gestützt ist. Eine abschliessende Reflexion oder Diskussion in der Klasse kann aber durch eine Öffnung der Aufgabenstellung im Nachhinein intensiviert werden.
 

• „Geschlossene Modelle“ fragwürdig geworden sind, insbesondere, wenn es um Voraussagen geht
• Teamarbeit gefragt ist. Man muss darstellen, Argumente vorbringen, überzeugen bzw. sich überzeugen lassen.
• Die „geschlossene“ Mathematik eine Abarbeitung von Symbolfolgen ist. F¨r diese Tätigkeit gibt es heute Computer 
• „Offene Mathematik“ bei der Entwicklung von geschlossener Mathematik nützlich sein kann. (Als Darstellungs- und Kommunikationsmittel) → Das war im Forschungsprozess schon immer bedeutend. Es betont die Wissenschaft als perspektive und nicht als absolute Wahrheit

• Ich finde den Vorschlag gut. Man hat nur ein Thema über einen längeren Zeitraum und ist dann auch in diesem Thema drin. Es gibt keine Verwirrung zwischen verschiedenen Themen. Zudem kann man besser differenzieren zwischen den einzelnen SuS, wenn alle am gleichen Thema arbeiten.  
• Nachteile sind zum Beispiel, dass die Abwechslung (kein zweites Thema) fehlt und die SuS somit evt. weniger motiviert sind.
• Wenn man als Lehrperson soweit vorausplant, kann es gut sein, dass der Plan schon nach einer Lektion nicht mehr aufgeht. In diesem Moment muss man flexibel sein und ihn den Umständen anpassen.

Wenn man über einen längeren Zeitraum an einem Thema arbeitet, ist es wichtig, dass man das ganze nicht nur mit einem Abschlusstest (summative Testphase) beurteilt, sondern auch den ganzen Lernprozess und Produkte in die summative Beurteilung miteinbezieht.

Die Planung der Lektionen sollten nach dem folgenden Kreisläufen erfolgen. Mithilfe dieser Kreisläufe können die verschiedenen Elemente der summativen Beurteilung bewertet werden. Beurteilungskreislauf als Bild.
 
 

Beurteilungsitems

Richtigkeit, Originalität / Individualität, Darstellung und Genauigkeit, Reflexion, Lernprozess, Erfüllung des Auftrags, Teamarbeit, Quantiät und Geschwindigkeit, Begründungen, Individueller Lernfortschritt, Verschiedene Denk- und Lösungswege, Anspruchsniveau, Aufwand und Sorgfalt

Mögliche Merkpunkte zum Thema Beurteilung

Gerechte Beurteilung/ unabhängig von persönlichen Variabeln

Bewertung ist begründet/ Punkte sind begründet

• Gewichtung der Aufgaben ist bekannt
• Diversifizierung des Schwierigkeitsgrades (Grundanforderungen, ...)
• Genügend Zeit geben (Stress und Angst vermeiden) versus Zeit vorgeben (z.B. 40 Minuten), Menge der aufgaben wird der Zeit angepasst (z.B. 3 Basisaufgaben, 2 erweiterte, 1...)
• Notenskala anpassen/ Linearität/ .. • Prüfungszeit überprüfen (z.B. 1= Zeit für LP, 3= Zeit für klassen) 
• Aufgaben sollten vorher besprochen worden sein/ Thema klar definiert 
• Prüfungsvorbereitungen (z.B. Probeprüfungen)

Kompetenzaspekte:

• Mathematisieren und Darstellen
• Erforschen und Argumentieren 
• Operieren und Benennen

Vorteile: Die Themen werden immer wieder aufgegriffen und bleiben somit immer etwas präsent in den Köpfen der SuS und ist somit nachhaltiger. 
 
 
Nachteile: Jedes Mal, wenn ein Thema wieder aufgegriffen wurde (welches bereits behandelt wurde), muss erneut eine kleine Einführung gemacht werden, da es ganz bestimmt einige SuS bereits vergessen haben. Dies ist sehr zeitintensiv.

Die Lernumgebungen sind grob in «Wiederholung» (im mathbuch 1 LU1-9), «Grundlegung» (im mathbuch 1 LU10-22) und «Vertiefung» (im mathbuch 1 LU23-32) aufgeteilt. So kann also für jeden Schüler/ jede Schülerin je nach Leistungsniveau immer eine Lernumgebung zur Verfügung gestellt werden.

Ich kann für jeden Schüler/ jede Schülerin sofort Aufgaben bereitstellen und somit sehr gut differenzieren. Für SuS die unterfordert sind, gibt es viele Möglichkeiten zur Vertiefung. Ausserdem gibt es noch das mathbuch 3+, das noch weiter geht und die Grundanforderungen übersteigt.

Ich frage mich wann es Sinn macht Erkenntnisse zu sichern. Ich muss als Lehrperson einen fachlichen und organisatorischen Rahmen festlegen, in dem Lernende eigene Erkenntnisse festhalten.  Ich kann die Ergebnisse stetig sichern lassen. Sobald die SuS etwas verstanden haben, sollen sie es sich notieren oder ich mache am Ende eines Lektionenblockes einen Theoriebeitrag, wodurch dann die Gefahr besteht, dass einige SuS Theoriebeiträge einfach abschreiben, ohne etwas zu verstehen. Ich könnte im Verlaufe dieses Lektionenblockes die Theoriehefter einmal einsammeln und dort wo ich sehe, dass noch Unsicherheiten bestehen, bzw. das Thema noch nicht verstanden wurde, weitere Übungseinheiten bereitstellen. Ich könnte gewisse Puffer in die Planung einplanen, um solche Unsicherheit noch beheben zu können.  Schlussendlich würde ich also nicht unbedingt eine Lektion am Ende bereitstellen, um Ergebnisse sichern zu lassen, sondern in jeder Lektion kleine Puffer einfügen, wo die SuS selber Zeit haben, sich das Gelernte zu notieren.

• Mädchen erhalten bessere Noten als Jungen
• Kinder mit sozioökonomisch privilegierter Herkunft werden besser beurteilt
• implizite Persönlichkeitstheorie 
• Tendenz zur Beharrlichkeit: Gefällte Urteile werden selten revidiert 
• Reihungseffekt: IN einer Serie von schlechten Prüfungen werdene die Arbeiten zunehmend besser beurteilt 
• Tendenz zur Mitte: Extremwerte werden vermieden. Noten bewegen sich zwischen 3 und 5
• Die Beurteilung hängt von der Klassenzusammensetzung ab

Produkt

Lernkontrolle

Lernprozess

Mit guten Feedbacks kann die Beurteilung lernfördernd gestalten werden.  Beurteilungen werden zu verschiedenen Zwecken eingesetzt. Es ist lernförderlich, wenn die Funktion einer Beurteilungssituation klar kommuniziert ist. Dabei sollen vor allem Lernziele und zu erreichende Kompetenzen klar kommuniziert werden. Soll die Kompetenz- und damit die Leistungsentwicklung optimal gefördert werden, ist die förderorientierte formative Beurteilung von besonderer Bedeutung.

Fehler sollten immer als Anlass für konstruktive Verbesserungen genommen werden. Dabei ist zu beachten, dass es keine schlechten Fehler gibt. Fehler sind erst dann schlecht, wenn man nicht darauf reagiert.

Nach einer formativen Beurteilung sollten Verbesserungen eingeplant werden. Die SuS wissen nach einer formativen Beurteilung, wo im Lernprozess sie stecken und bei welchen Kompetenzen sie noch Mühe haben. Eine Verbesserung ist deshalb wichtig!

• Zählen, Addition, Subtraktion, Ergänzen, Verdoppeln/Halbieren, Multiplikation, Division, Dezimalsystem (z.B. Stellenwertfehler), Textaufgaben, Operationsverständnis, (Halb-)Schriftliche Operationen
• Bsp. «Gleichheitszeichen =» : Auf der einen Seite steht das Endresultat anstatt der Vorstellung von Gleichheit (Waage-Modell ist auch nicht ideal) 
• Aus meinen eigenen Erfahrungen auch die Vorstellung, was eine Lösung sein kann. Bspw.: Ein Bruch ist genauso genau.
• Negative Zahlen sind auch immer wieder problematisch
   

Siehe Bild.

• Operationen, Begriffe und Beziehungen können handelnd (enaktiv), bildhaft (ikonisch) und sprachlich-symbolisch (EIS) dargestellt werden. Für das verstehensorientierte Lernen ist der Wechsel zwischen diesen drei Darstellungsformen bedeutsam.
• Hat ein Schüler Mühe mit der symbolischen Darstellung einer Aufgabe, ist es wichtig einen Schritt zurück auf die bildhafte oder gar auf die handelnde Ebene zu gehen.

Eigenes Tun und eigene (auch kleine) persönliche Erfolge vermögen Interesse auszulösen und regen zum Weiterdenken an. So kann die Arbeit an Zahlenfolgen, an Ornamenten oder auch an Sachaufgaben spannend sein, wenn diese selbst entwickelt, verändert, interpretiert und ausgetauscht werden. Beim Entwickeln eigener Lösungen, Gedanken und Fragen sowie beim Entdecken von Zusammenhängen erfahren die Schülerinnen und Schüler Mathematik als sinnhaltig. Der Fachbereichslehrplan misst dem Erkennen, Variieren, Erzeugen und Betrachten von Mustern grosses Gewicht bei. Ein spielerischer, explorativer Zugang zur Mathematik spricht die Lernenden emotional an und verstärkt das Interesse an Mathematik. Durch das Stellen von einfachen Aufgaben in einem neuen Themenbereich kann das Interesse stark gefördert werden, da es zu einem persönlichen Erfolg führt. Persönliche Erfolge erhöhen das Interesse. Fermi-Aufgaben können beispielsweise sehr interessant sein.

• Die disziplinierte, störungsfreie Unterrichtsführung erweist sich als relevant für die wahrgenommene Motivationsunterstützung
• Selbstbestimmt motiviertes Lernen gilt im schulischen Kontext als erstrebenswert
• Bedürfnisse nach sozialer Eingebundenheit
• Bedürfnisse nach Kompetenz 

Zusammenfassend: Die Beachtung der individuellen Lernprozesse und objektiver Bedingung erscheint leistungs- und motivationsfördernd: Alter, Geschlecht, kultureller Hintergrund und Kompetenzüberzeugung bei den SuS werden dabei als individuelle Voraussetzung thematisiert, die diesen Wahrnehmungsprozess beeinflussen. 

Handeln am konkreten Objekt

Wichtig ist es, sich vorab mit Blick auf die mathematischen Lernziele konkret die Handlungen der Schülerinnen und Schüler zu überlegen. Welche Erfahrungen werden – mit Blick auf den stimmigen Übergang zu anderen Darstellungsebenen – gemacht? Solche sogenannten Aneignungshandlungen (vgl. Prediger 2013) kann man für Begriffe, für inhaltliche Vorstellungen, für mathematische Zusammenhänge (Sätze) und für Verfahren (Algorithmen) formulieren. Nehmen wir als Beispiel einen Kreis: Es macht einen Unterschied, ob ich einen Kreis erzeuge, indem ich den Umriss eines (runden) Tellers umfahre, einen Zirkel benutze oder Faden und Stift. Im ersten Fall spüre ich die Form, ich kann die Linie "ohne Knicke" erzeugen. Die mathematische Eigenschaft eines Kreises (als die Menge aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt den gleichen Abstand haben) wird hier nicht direkt erfahrbar. Das gelingt mit der „Seil-Methode“ Z.B. die symbolische Darstellung des Einheitskreises x2 + y2 = 1, kann ich diese Punkte im Koordinatensystem zeichnen lassen (ikonische Darstellung) und auf die zeichnerische Erfahrung zurückgreifen. Hier wird schon deutlich: Das enaktive Handeln steht nicht nur am Anfang des Lernprozesses. Vielmehr sollte diese Darstellungsebene immer zugänglich bleiben.

Sachverhalte im Bild darstellen

 Arbeiten auf abstrakter Ebene

Symbolisch wird fälschlich oft mit „formal-algebraisch“ gleichgesetzt oder darauf reduziert. Ein Zeichen erhält die Eigenschaft symbolisch, wenn es dazu anwendbare Regeln für den Umgang mit diesem Zeichen gibt bzw. der Betrachter mögliche, mit dem Zeichen verbundene Regeln erkennt. Kann er sie anwenden, so hat er den Symbolgehalt erfasst. Ein nicht-numerisches Beispiel ist das Symbol für den rechten Winkel. Oder vielleicht auch ein Baumdiagramm (vgl. Lambert, 2015)

Aufgabe des Lehrers ist es, festzustellen, wo jeder Schüler steht; jeder Schüler muss von sei-nem Standort aus in einen privaten Dialog mit dem Stoff eintreten können. Die Sprache, in ihrer mündlichen und in ihrer schriftlichen Form, spielt dabei eine Schlüsselrolle. Nur wenn der Lehrer ernst nimmt, was der Schüler sagt und schreibt, kann er dessen Standort ausfindig machen, und nur wenn der Schüler mündlich und schriftlich über seine Auseinandersetzung mit dem Stoff be-richtet, kann ihm der Lehrer tatsächlich weiterhelfen.  Weil die Lerninhalte nicht mehr in einer absoluten Sprache fixiert sind - die Sprache des Lehrers und des Lehrbuchs -, sondern von Fall zu Fall neu formuliert werden müssen, erscheint Sprache in ihrer ursprünglichsten Form: als GESPRÄCH. Unterricht ist Gespräch zwischen Lehrern und Schülern und zwischen Menschen und Stoffen.

In der Mathematik geht es darum, sich von realen Gegebenheiten zu verabschieden, komplexe Zusammenhänge zu begreifen, Strukturen zu erkennen und später wieder auf die Wirklichkeit zu übertragen. Das Zusammenspiel von Sprache und Mathematik spielt dabei eine große Rolle. Schließlich kann nur durch die Sprache Lernwege zum Beispiel in einem Lerntagebuch dokumentiert und festgehalten werden. Die Sprache ist demnach ein Ausdruck des eigenständigen Lernens und fördert das selbstständige Erkennen von Strukturen und den persönlichen Zugang zu der Materie.   Hinzu kommt, dass das Erlernen, auch im Mathematikunterricht, durch dialogischen Austausch, vorangetrieben wird. Gemeint ist sowohl die intensive Auseinandersetzung mit dem Unterrichtsstoff selbst (die Produktion), als auch der Dialog zwischen Mitschülerinnen und Mitschülern und Lehrern (die Rezeption). Für beides ist die Sprache notwendig.

• Im Lehrplan nachschauen, was die SuS aus der 6. Klasse kommend können sollten
• Erfassung und Überprüfung der Vorkenntnisse
• Differenzierung durch unterschiedliche Zugangsweisen (Lösungsweg) und Tempo
• Festlegen von Grund- und erweiterten Anforderungen
• Reichhaltige Aufgaben stellen/verwenden (Fermiaufgaben)
• Stolpersteine im Vorfeld herausfinden und allfällige Massnahmen treffen und wo nötig vorbereitete Hilfestellungen anbieten
• Mathbuch ist nicht dazu gedacht, um es von A bis Z durchzuarbeiten
• Auswahl der Aufgaben liegt bei der Lehrperson
• Entsprechend der Grund- und erweiterten Anforderungen müssen die zu erledigenden Aufgaben definiert werden
• Selbstbeurteilung am Ende jeder Lernumgebung (LU)

• Gute Fehlerkultur führt dazu, dass diese nicht vertuscht werden und rechtzeitig geholfen werden kann.
• Selbstbeurteilung zur Reflexion und Förderung des Lernprozesses
• starke SuS fordern und nicht untergehen lassen, weil man zu beschäftigt ist, den Schwächeren zu helfen. Sonst führt dies zu Unterforderung, Faulheit und Langeweile, was wiederum zu Unterrichtsstörungen führt

• Schwächere SuS können stärkere SuS fragen (Lernen durch Lehren)
• Sind die erweiterten Anforderungen und die dazugehörigen Aufgaben klar, kann selbständig weitergearbeitet werden
• Im Zusammenhang mit der Berufswahl können neue Ziele und Anforderungen gesteckt werden. Dies hat eine sinnstiftende und dadurch hoffentlich motivierende Auswirkun

• Geschlossene Aufgaben:
  • haben eine ganz bestimmte Antwort oder Lösung 
  • verlangen nach einer zielgerichteten Antwort
  • überprüfen in erster Linie das Wissen über Einzelheiten, Begriffe, Aussagen und Definitionen
  • Lehrkraft kennt in der Regel die Antwort 
  • Beispiele: Multiple Choice, Zuordnungsaufgaben

• Offene Aufgaben:
  • Lösungsweg ist nicht vorgezeichnet und eindeutige Lösung ist nicht unbedingt erforderlich
  • verlangen weniger nach zielgerichteter Antwort
  • ermöglichen mehrere Vorgehensweisen und Lösungswege, welche Raum für eigene Fragestellungen und Zielsetzungen lassen (auch Irrwege dürfen beschritten werden)
  • Beispiele: Problemstellungen, in denen etwas Vorgegebenes interpretiert werden muss oder Assoziationen abgefragt werden