Analysis 1
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Lernkarten
Euklidischer Algorithmus, Division mit Rest.
Zu jedem \(m\in \mathbb {N}\) und \(n\in \mathbb {N}_0\) existieren eindeutige \(k,l \in \mathbb{N}_0, l < m\), mit \(n=k\cdot m + l\).
Wohlordnungssatz
Jede nicht leere Teilmenge von \(\mathbb{N}_0\) besitzt ein kleinstes Element, d.h
\(\forall M \subset \mathbb{N}_0, M \neq \varnothing, \exists m_0 \in M: (\forall m \in \mathbb{M}: m_0\le m).\)
Die Menge der natürlichen Zahlen ist nach oben beschränkt, d.h
\(\nexists N \in \mathbb{N}_0: (\forall v \in \mathbb{N}_0: n\le N).\)
Geometrische Summenformel mit Beweis. Für alle reellen \(x\in \mathbb{R}\) mit \(x \ne 1\) gilt
Satz:
\(\displaystyle\sum_{k=0}^n x^k = 1+...+x^n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}\)
Beweis ( durch vollständige Induktion nach (\(n, n_0=0\)).
\(n=0:\) \(\displaystyle\sum_{k=0}^0 x^k = 1 = \frac{1-x}{1-x}\)
\(n\to n+1: \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}x^k = \displaystyle\sum_{k=0}^nx^k+x^{n+1}=^{i.v} \frac{1-x^{n+1}}{1-x}+x^{n+1}= \frac{1-x^{n+1}+(1-x)x^{n+1}}{1-x}= \frac{1-x^{n+2}}{1-x}\)
Definition Potenzen:
Für eine reelle Zahl\(x\in\mathbb{R}\) definiert man die Potenzen \(x^n, n\in\mathbb{N}_0,\)durch
Rekursive Definition:
(I) \(x^0:=1,\)
(II) \(x^{n+1}:=x\cdot x^n, n\in N_0\)
Definition Fakultät
Für \(n \in \mathbb{N}_0\) definieren wir \(n!:= \prod_{k=1}^n k = 1\cdot2\cdot ....\cdot n\)
(I) \(0! := 1,\)
(II) \((n+1)!:=(n+1)\cdot n!, n\in\mathbb{N}_0\)
Definition Permutation und Anordnungen einer Menge
Sei \(n\in \mathbb{N}_0\) und \(M\) eine Menge mit \(n\) Elementen, Eine Anordnung von \(M\) ist eine bijektive Abbildung von M nach \(\{ {1,2,...,n} \}\), eine Permutation von \(M\) ist eine bijektive Abbildung von \(M\) in sich.
Bsp:
- \(M = \{a\}\) besitzt 1 Anordnung \(a \to 1\) (kurz a),
1 Permutation \(a\to a\)
Anzahlssatz:
Die Anzahl der Anordnungen (Permutationen) einer Menge M mit n verschiedenen Elementen ist gleich n!.
Beweis: (durch vollständige Induktion nach \(n, n_0=1\)).
\(n=1:\) \(M = \{ a\}\) besitzt eine Anordnung & eine Permutation: \(a \to 1, a\to a;\)
\(n \to n+1:\) Es sei eine Menge mit n+1 verschiedenen Elementen. Fixiere eines davon, bezeichnet mit x. Für die Wahl von x eistieren n+1 Möglichkeiten. Die Anzahl der Anordnungen von M, die x an der 1. stelle haben ist nach Induktionsvoraussetzung n!, also gibt es \((n+1)\cdot n!=(n+1)!\) Anordnungen & Permutationen von M
Definition Binomialkoeffizient "n" über "k"
Für \(\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right):= \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
Proposition 2. 14 Additionsregel für Binomialkoeffizienten
\(\left( \begin{array}{c} n-1 \\ k-1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} n-1 \\ k \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)\)
Beweis. Nach Definition II.13 der Binomialkoeffizienten folgt
\(\left( \begin{array}{c} n-1 \\ k-1 \end{array} \right)+\left( \begin{array}{c} n-1 \\ k \end{array} \right)=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-1-(k-1))!} +\frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-1-k)!}\cdot(\frac{1}{n-k}+\frac{1}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)\)
Satz 2. 15 Die Anzahl einer k-elementigen Teilmenge einer n-Elementigen Menge- Satz.
Die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge ist gleich\(\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right);\) insbesondere ist \(\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)\in\mathbb{N}\).
Binomischer Lehrsatz
Für alle reellen \(x, y \in \mathbb{R}\) und \(n \in \mathbb{N}_0\) ist
\((x+y)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \left( \begin{array}{c} n \\ r \end{array} \right) x^ky^{n-k}\)
Definition Körper + Beispiele
Ein Körper (K,+, \(\cdot\)) ist eine Menge K, #K \(\geq\) 2, mit Verknüpfungen
\(+: K \times K \to K, (x,y) \to x+y\)
\(\cdot: K\times K\to K, (x,y) \to x\cdot y,\)
Axiome der Addition
A1 Assoziativität
A2 Kommutativität
A3 Existenz des neutralen Elements 0
A4 Existenz des inversen Elements
Axiome der Multiplikation:
(M1) Assoziativität
(M2) Kommutativität
(M3) Existenz des neutralen Elements
(M4) Existenz des inversen Elements
(D) Distributivgesetz
Definition III.3 Ist k ein Körper definiere für \(x \in K \) die ganzzahlien Potenzen
\(x_0 := 1,\)
\(x^n:=x\cdot x^{n-1}, n\in\mathbb{N}\)
\(x^{-n}:=(x^{-1})^n, n \in \mathbb{N}\)
Proposition III.4 Es sei K ein Körper, dann gelten für \(x, y \in K\) und \(n,m \in \mathbb{Z}\)
\((i) x^n\cdot x^m = x^{n+m},\)
\((ii) (x^n)^m=x^{n\cdot m},\)
\((iii) (x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n\)
Definition Anordnung
Ein Körper heisst angeordnet, wenn darauf eine Eigenschaft positiv ( > 0) definiert ist, die die folgenden Axiome erfüllt:
(AO1) Für alle \(x\in K \) genau eine der Eigenschaften \(x> 0,x=0\) oder \(-x>0.\)
(AO2)\(x>0\wedge y > 0 \implies x+y>0, x,y \in K.\)
(AO3)\(x>0\wedge y > 0 \implies x\cdot y > 0, x,y\in K\)
Bernoullische Ungleichung
Ist ein angeordneter Körper, so gilt für alle \(x \in K, x\geq-1\) und \(n\in \mathbb{N}_0:\)
\((1+x)^n \geq 1 + n\cdot x.\) (9.1)
Beweis durch Induktion nach n.
\(n=0: (1+x)^0=1=1+0\cdot x\)
\(n\to n+1:\) Da \(x \geq -1,\) ist \(1+x\geq0\) Mit der Induktionsvoraussetzung folgt dann
\((1+x)^{n+1}=(1+x)\cdot(1+x)^n\geq(1+x)\cdot(1+nx)=1+(n+1)\cdot x + n \cdot x^2 \geq 1+(n+1) \cdot x\)
Definition III. 8 Signum
Es sei \((K,+,\cdot,>)\) ein angeordneter Körper. DAnn definiert man für \(x \in K\) das Signum (Vorzeichen) von x als
signx \(:=\) 1, falls x>0, o falls x=0, -1 falls x<0,
Dreiecksungleichung. In einem angeordneten Körper (K,+,\(\cdot\),>) gilt:
\(\|x+y\| \leq \|x\| + \|y\|, x,y \in K.\)
