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Lernkarten
Was ist ein featurebasierter Datenaustausch? Welche Vorteile hat er?
Ein featurebasierter Datenaustausch berücksichtigt die im jeweiligen CAD-System kon-struierten Features und exportiert diese Features über Plug-Ins in das Zielsystem, wo –
ebenfalls über passende Plug-Ins – die Features zielsystemspezifisch wieder rekonstruiert werden können.
Warum können Computer nur im binären Zahlensystem rechnen?
Die Hardware von Computern arbeitet mit den Schaltzuständen „keine Spannung“ und „volle Spannung“ an den Ausgängen der Logikeinheiten. Zwischenzustände sind nicht möglich. Bei dieser Rechendarstellung handelt es sich um das Binärsystem.
(Quantencomputer arbeiten mit meherern Quantenzuständen)
Mit welchem internen Zahlensystem rechnet ein Computer? Wie können dann dezimale Zahlen berechnet werden?
Computer können von Haus aus nur die Zahlen 0 und 1 darstellen (das sogenannte binäre oder 2er-System). Die dezimalen Zahlen müssen anschließend vom 2er-System ins 10er-System umgerechnet werden.
Was ist der Grund zur Einführung der Gleitpunktarithmetik beim Berechnen von Zahlen mit Computern?
Ausgehend von den festen Stellen, war der Rechenumfang zu gering. Ferner trat bei großen Zahlen ein Überlauf auf. Aus diesem Grund war die Exponentialschreibweise eine naheliegende Lösung. Die Schreibweise ist dann mit der Mantisse m und dem Exponenten e.
Was verstehen Sie unter dem Begriff Maschinenzahl?
Die Maschinenzahl ist die jeweils rechenintern handhabbare größte und kleinste Zahl: Die größte Maschinenzahl ist
xmax = (1 - B-n)Bn,
Die kleinste Maschinenzahl ist
xmin = Bm-1
Wie ist der Begriff des absoluten Fehlers definiert ?
(Maschinenzahl)
Der absolute Fehler ist definiert mit der Gleichung f = |x| - x
Welche Probleme gibt es aufgrund einer Rundung?
Bei einer Rundung ist es möglich, dass die kleinsten Summanden verschwinden können. Besonders auffällig ist dies bei einer Summationsreihenfolge. Es sollte immer mit dem kleinsten Summanden begonnen werden.
Was bedeutet der Begriff FLOP?
Der Begriff FLOP bedeutet Floating Point Operations und wird meist für den Zeitraum von FLOPS pro Sekunde angegeben.
Wie wird der relative Fehler errechnet?
(Maschinenzahl)
Der relative Fehler wird als Verhältniszahl zwischen einer Näherung und einem exakten Wert angegeben. Die Formel dazu lautet
relativer Fehler :=\(\mid \tilde{x} -x \over x \mid\)
Was bedeutet der Begriff der Auslöschung?
Die Auslöschung ist ein Phänomen, welches bei einer Subtraktion von annähernd gleichgroßen Zahlen auftritt. Ab einer gewissen Untergrenze, die von der internen Rechenauflösung abhängt, wird die Subtraktion dann Null ergeben.
Untersuchen Sie die Fehlerfortpflanzung des absoluten Fehlers für f(x) = 200 x.
Die Fehlerfortpflanzung ist \(|f'(x_0)| = |f'(200x)| = 200\). Der Fehler wird sich also
um den Faktor 200 vergrößern.
Erklären Sie den Begriff Zwischenwertsatz!
Der Zwischenwertsatz findet eine Nullstelle durch Annäherung der beiden Funktionswerte f(a) und f(b) in der Gleichung
\(f(a) \leq c \leq f (b)\)
Dabei werden zunächst zwei Lösungen mit unterschiedlichem Vorzeichen durch Einsetzen von zwei Funktionswerten a und b gesucht und diese dann in die Gleichung eingesetzt. Die beiden Funktionswerte werden nun immer näher zueinandergelegt, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht wurde. Das Verfahren eignet sich zur groben Annäherung einer Nullstelle.
Was ist das Bisektionsverfahren?
Das Bisektionsverfahren arbeitet mit Mittelwerten zwischen den beiden Funktionswerten a und b. Dabei wird das Intervall schrittweise mit der Gleichung 0,5(a+b) schrittweise verkleinert, das Intervall halbiert sich dadurch. Dies kann beliebig oft wiederholt werden.
Ermitteln Sie mit dem Bisektionsverfahren die Intervalle der folgenden Funktion, in denen sich die Nullstellen befinden:
\(p(x) = x^3 - x +0,1\)
Die Ausgangsformel lautet \(p(x) = x^3 - x +0,1\) . Eine Tabelle mit entsprechenden Intervallen könnte beispielsweise folgendes Aussehen haben:
siehe CAD303 S137 K9
Wie funktioniert das Fixpunktverfahren? Iterieren Sie eine Lösung anhand der Funktion \(p(x) = x^3-x+0,1\).
Das Fixpunktverfahren beruht darauf, die Polynomgleichung einfach nach x umzuformen. Aus der Gleichung
\(p(x) = x^3-x+0,1\) wird dann \(x = x^3 + 0,1\). Dieses x bleibt unter der gesamten Betrachtung immer gleich, wodurch auch der Name „Fixpunkt“ herrührt. Das Verfahren konvergiert sehr schnell. Für das Beispiel ist die Iteration dann wie folgt:
siehe CAD303 Seite 136 K3
| x x_n+1
-------------------------------------------------------------
Schritt 1 | -1,0000 -0,9
Schritt 2 | -0,9 -0,629
Schritt 3 | -0,629 -0,14886
Schritt 4 | -0,14886 0,09670
Schritt 5 | 0,09670 0,10090
Berechnen Sie die eine Nullstelle der Funktion \(p(x) = x^3-x+0,1\) mithilfe des NEWTON’schen Näherungsverfahrens.
Die allgemeine Iterationsvorschrift lautet \(x_{n+1} = x_n-f(x_n)/f'(x_n)\)
Ferner ist die Funktion \(p(x) = x^3-x+0,1\)
und daraus die Ableitung \(p(x) = 3x^2 - 1\)
Die Iteration ist nun wie folgt: \(x_{n+1} = x_n-{{x³_n-x_n+0,1} \over {3x_n² -1}}\)
Iterationsschritte:
xn p(xn) p'(xn) p(xn)/p'(x) xn+1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Schritt 1 3 24,1 26 0,92692 2,07308
Schritt 2 2,07308
Nennen Sie zwei Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen.
Zwei mögliche Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme sind das Gauß-Verfahren, welches mit Matrizen arbeitet, die eine bestimmte Form besitzen müssen, sowie iterative Verfahren wie beispielsweise das Gesamtschrittverfahren.
Welcher Matrizentyp wird beim Gauß-Verfahren verwendet?
Beim Gauß-Verfahren werden sogenannte Rechts-Oben-Dreiecksmatrizen verwendet.
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus 5 Unbekannten. Wie viele Rechenschritte sind notwendig, um das Gleichungssystem zu lösen?
303 K4
nach Gl.37 sind \(n(n+1)\over 2\) Rechnoperationen notwendig. In diesem Beispiel mit fünf Unbekannten wären es dann
\(n_{ge} = {{n(n+1)}\over 2} = {5*(5*1)\over 2}\) = 15 Rechenschritte
Was verstehen Sie unter dem Begriff Pivotisierung?
K7 303
Unter Pivotisierung versteht man beim Gauß-Verfahren den Einsatz von Faktoren vor den einzelnen Gleichungen in der Matrix, die eine Verrechnung mit den anderen Gleichungszeilen in der Matrix erlauben. Dabei wird mit Faktoren kleiner als 1 multipliziert oder dividiert, und dies im Zusammenhang mit einer Zeilenvertauschung. Die Pivotisierung vermindert den internen Rundungsfehler.
Was ist das sogenannte Gesamtschrittverfahren?
Das Gesamtschrittverfahren basiert auf der Fixpunktiteration. Dabei wird eine additive Zerlegung einer Matrix in zwei Dreiecksmatrizen sowie eine Koeffizientenmatrix vorgenommen. Das allgemeine Aussehen wäre ähnlich wie mit L = links-unten-Dreiecksmatrix, D = Koeffizientenmatrix, R = rechts-oben-Matrix und b ein Vektor des Gleichungssystems.
Wozu wird die Jacobi-Matrix verwendet, und was beinhaltet sie?
K18 303
Die Jacobi-Matrix beinhaltet die partiellen Ableitungen eines Gleichungssystems. Sie ermöglicht eine Linearisierung eines Gleichungssystems f an der Stelle x. Sie wird für das iterative Lösen von nichtlinearen Gleichungssystemen eingesetzt.
Die optimale Form von Getränkedosen entspricht nicht der theoretisch optimalen Form. Warum ist das so?
K[36] 303
Dies liegt daran, dass neben der Optimalität der Getränkedose selbst noch weitere Randbedingungen wie Palettengröße, Tray sowie Herstellungsverfahren der Dose selbst eine wichtige Rolle spielen und somit das Optimum entsprechend verschieben.
Ausgehend von den festen Stellen, war der Rechenumfang zu gering. Ferner trat bei großen Zahlen ein Überlauf auf. Aus diesem Grund war die Exponentialschreibweise eine naheliegende Lösung. Die Schreibweise ist dann
· 10
mit der Mantisse m und dem Exponenten e.
Antworten zu
den Kontrollfragen
å CAD303
142l
K34__(Seite 133)
In Mechanica ist eine eigenständige Optimierung möglich. Es funktioniert aber auch über das BMX-Modul, indem ein Analyse-KE definiert wird, welches Bezug auf das Mechanica-Ergebnis nimmt.
K35__(Seite 17)
Die Fehlerfortpflanzung ist |
|
|
200 | 200. Der Fehler wird sich also
um den Faktor 200 vergrößern.
K36__(Seite 71)
Dies liegt daran, dass neben der Optimalität der Getränkedose selbst noch weitere Randbedingungen wie Palettengröße, Tray sowie Herstellungsverfahren der Dose selbst eine wichtige Rolle spielen und somit das Optimum entsprechend verschieben. Prinzipiell gesehen ist dies eine Multiziel-Optimierung.
Nennen Sie den Unterschied zwischen einem lokalen und einem globalen Extremum.
K19 303
Ein lokales Extremum ist ein Minima/Maxima, welches zwar besser ist als der momentane Wert der Zielgröße, jedoch nicht so optimal wie das globale Extremum. Letzteres ist das Optimum, gesehen über den gesamten Gültigkeitsbereich der Optimierung (Wertebereich der Zielfunktion).
Was besagt das sogenannte Bracketing, und wozu dient es?
K8 303
Das Bracketing dient dazu, ein Optimum einzugrenzen. Dazu werden drei Punkte benötigt, welche folgende Anforderungen erfüllen:
\(f(b) < f(a)\) und \(f(b) < f(c)\)
und damit liegt mindestens ein Minimum zwischen den Punkten a und c.
Welche Optimierungsziele gibt es innerhalb von technischen Fragestellungen?
K12 303
Bei technischen Fragestellungen sind folgende Optimierungsziele im Vordergrund:
- Topologieoptimierung
- Formoptimierung
- Materialoptimierung
- Bemessungsoptimierung
Hinzu kommen noch eventuelle Restriktionen wie die Masse, Steifigkeit, Verformung usw.
Was ist ein sogenannter Suchraum?
K42 303
Ein Suchraum ist derjenige Bereich, in welchem das Extremum der Zielfunktion gefunden werden soll. Der Suchraum ist meist durch Restriktionen eingegrenzt.
Was versteht man unter Gleichheitsrestriktionen?
K38 303
Gleichheitsrestriktionen sind Randbedingungen, wie während der Zielsuche unbedingt einzuhalten sind (beispielsweise die Masse oder eine Materialspannung).
Welches Prinzip muss angewendet werden, um herauszufinden, ob es nur ein Optimum gibt?
K40
Hierzu dient das Prinzip der Konvexität.
Wie funktioniert die Polynominterpolation?
k25 303
Die Polynominterpolation versucht, einen Zielfunktionsverlauf durch ein Polynom anzunähern. Dazu werden zunächst drei Zielfunktionswerte ermittelt und durch ein Polynom 2ten Grades angenähert. Dann erfolgt am Polynom das Auffinden des Minimums. Die Funktionswerte dieses Minimums werden in die Zielfunktion eingesetzt und damit ein neuer Zielfunktionswert ermittelt, der als neuer Stützpunkt für ein neues Polynom 3ten Grades dient. Durch diese nun vier Punkte wird ein neues Polynom gelegt, welches wiederum ein Minimum hat usw. Normalerweise wird bei einem Polynomgrad von 6 abgebrochen.
Was ist ein Simplex, und wann wird es bei einer Optimierung eingesetzt?
2 303
Ein Simplex ist ein n-dimensionaler Körper, auch Polytop genannt. Jeder neue Eck-punkt erweitert dabei die Dimensionalität um 1. Ein Simplex wird bei der DSM-Methode eingesetzt.
Beschreiben Sie mit Worten die Funktionsweise der Suchrichtungsmethode.
28 303
Bei der Suchrichtungsmethode wird vom Startpunkt aus eine Suchrichtung festgelegt, entlang derer dann die Zielfunktion minimiert wird. Wenn das Minimum erreicht wurde, wird eine neue Suchrichtung festgelegt, an welcher wiederum die Zielrichtung minimiert wird usw. Es werden Methoden 0ter Ordnung, 1ter Ordnung und 2ter Ordnung verwendet. Die höherwertigen Methoden verwenden dabei die Steigung der Suchrichtung. Eine Suche endet immer tangential an einer Isolinie der Zielfunktion.
Was ist das Problem bei der sogenannten Liniensuche?
32 303
Das Problem bei der Liniensuche ist, dass am Ende der temporären Liniensuche diese immer senkrecht auf dem Gradienten am erreichten Punkt steht. Es muss daher immer eine neue Liniensuche initialisiert werden. Damit ist diese Methode nicht besonders effektiv.
Warum benötigt ein Optimierungsalgorithmus Abbruchkriterien?
43 303
Ein Optimierungslauf kann ohne Abbruchkriterien unendlich lange laufen. Daher werden meist zwei Abbruchkriterien definiert, die parallel geprüft werden:
- eine sogenannte Konvergenz, falls die Optimierung in ihren Zielwerten eine zu geringe Differenz zwischen den Schritten hat (wird meist in % angegeben), bricht die Optimierung ab,
- die sogenannte Anzahl der Iterationsschritte. Wenn die Anzahl der Iterationen eine Grenze überschreitet, wird die Optimierung ebenfalls abgebrochen.
Was verstehen Sie unter dem Begriff Restriktionen?
41 303
Restriktionen engen den Lösungsraum einer Zielfunktion ein. Dies sind beispielsweise Unter- und Obergrenzen von Bemaßungen, Spannungswerte usw. Es gibt Gleichheits-und Ungleichheitsrestriktionen.
Was ist das Optimalitätskriterienverfahren?
30 303
Beim Optimalitätskriterienverfahren handelt es sich um ein Optimierungsverfahren, welches Kriterien verwendet, die von vornherein als optimal gelten (beispielsweise eine Spannung oder eine Verformung). Es gibt zwei Arten:
- eine Klasse basiert auf Beobachtungen aus der Natur (z. B. adaptive Wachstumsregel),
- eine andere Klasse basiert auf mathematischen Methoden, z. B. die von KUHN-TUCKER.
Die Annahmen sind dabei heuristisch.
Was bedeutet der Begriff CAO, und wie funktioniert es prinzipiell?
5 303
Der Begriff CAO bedeutet Computer Aided Optimisation. Dabei handelt es sich um ein bionisch inspiriertes Verfahren. Es funktioniert prinzipiell so, dass es versucht, die Spannungen an der Oberfläche eines belasteten Bauelementes gleichmäßig zu verteilen. Bereiche, die eine hohe Spannung aufnehmen, erhalten dabei mehr Material zugewiesen, während bei Bereichen mit geringer Spannung Material entfernt wird (ähnlich wie beim menschlichen Oberschenkelknochen).
Was ist eine netzbasierte Formoptimierung?
15 303
Eine netzbasierte Formoptimierung erfolgt nur anhand eines FEM-Netzes, welches mit Verschiebungsvektoren optimiert wird. Es funktioniert ohne CAD-Modell. Vorteile sind CAD-Unabhängigkeit, Nachteile sind die Rückführung des Ergebnisses aus dem FEM-Netz in das CAD-Modell.
Nennen Sie den Unterschied zwischen einer Formoptimierung und einer Topologieoptimierung.
22 303
Eine Formoptimierung verändert nur die Oberfläche eines Bauelementes, während eine Topologieoptimierung auch Material aus dem Bauteil entfernen kann (über eine spezielle Dichteverteilungsformel). Dabei wird das FEM-Netz nicht verändert, sondern nur die Dichte innerhalb eines FEM-Elementes.
Was bedeutet die Abkürzung BMX?
16 303
BMX bedeutet Behaviour Modeling Extension und ist von PTC. Es ist integrierter Bestandteil von Pro/Engineer.
